36 第三十六讲 拉普拉斯变换及其性质

1、二端口网络的连接方式2、接负载的二端口网络分析3、回转器与负阻抗变换器电气工程学院电工基础教研室第十二章动态电路的复频域分析

第36讲

拉普拉斯变换及性质

教材：§12-1，12-2基波（和原函数同频）二次谐波（2倍频）

直流分量高次谐波对于周期为T的周期信号f(t)，展开成付里叶级数：周期信号可以表示成为直流信号和一系列余弦信号之和。也可表示成：系数的计算：系数之间的关系为傅氏级数的复指数形式可直接从三角形式得到：令n=－m一、傅立叶级数、傅里叶变换称为傅里叶系数即一、傅立叶级数、傅里叶变换令

0=0一、傅立叶级数、傅里叶变换91.傅里叶变换的定义T

时，

d

，n

，且Fn趋于无穷小周期为T的周期信号fT(t)的傅里叶复系数F(j

)称为f(t)的频谱密度函数，简称频谱10T

时，信号非周期，幅度谱的幅值减小为无穷小，频谱成为连续谱11类似的，可以由F(j

)得到f(t)一、傅立叶级数、傅里叶变换12傅里叶变换(FT)：傅里叶反变换(IFT)：简记为：一、傅立叶级数、傅里叶变换13[说明]①FT存在的条件依然是Direchlet条件(充分条件)f(t)绝对可积Direchlet条件：1.连续或只有有限个第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）；2.有限个极大或极小值；一、傅立叶级数、傅里叶变换②f(t)和F(j

)是一一对应的，它们是相同信号的不同表达形式，包含了相同的信息，但自变量不同。FT将以时间为自变量的函数变成了以频率为自变量的函数，将信号从时域变换到了频域。一、傅立叶级数、傅里叶变换15|F(j

)|幅度频谱、

(

)相位频谱④③

FS：连续周期函数

←→非周期离散函数

FT：连续非周期函数←→非周期连续函数

时域频域R(j

)、X(j

)分别为F(j

)的实部和虚部162.傅里叶变换的物理意义(b)F(j

)是一个连续谱(c)F(j

)包含了从零到无穷高频的所有频率分量(a)F(j

)是一个密度函数的概念一、傅立叶级数、傅里叶变换信号f(t)的FT为对于不满足绝对可积条件的f(t)，乘以衰减因子e

-

t(

为实常数

)，使得f(t)e-

t的FT存在1、拉普拉斯变换的定义二、

拉普拉斯变换(LaplaceTransform)相应的令s=

+

j

，称为复频率，s具有频率的量纲即则ds=j

d

，二、

拉普拉斯变换(LaplaceTransform)双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为Fb(s)的原函数单边拉普拉斯变换：二、

拉普拉斯变换(LaplaceTransform)20例1

求函数f(t)=1(t≥0)的拉氏变换。解：根据公式(1)，有这个广义积分当s>0时是收敛的。所以21

例2

求指数函数f(t)=ekt

(t≥0)的拉氏变换。解根据公式(1)，有

所以为了简便起见，求拉氏变换时，可以不再指出收敛区域。22

例3

求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换。解根据公式(1)，有即

同理可得余弦函数的拉氏变换23例4求幂函数f(t)=t

的拉氏变换。解：根据公式(1)，有

即24

例5求幂函数f(t)=t2

的拉氏变换。解根据公式(1)，有：同理可以得到由归纳法我们可以求出幂函数f(t)=tm(m为正整数)的拉氏变换常用拉氏变换对：

拉普拉斯变换的性质

线性

尺度变换

时移特性

复频移特性

时域微分特性

时域积分特性

卷积定理

s域微分和积分

初值定理和终值定理27二、拉氏变换的性质1、线性性质若α,β为常数，且L[f1(t)]=F1(s);

L[f2(t)]=F2(s);则有L[αf1(t)+βf2(t)]=αL[f1(t)]+βL[f2(t)]

=αF1(S)+βF2(S);28

L-1[αF1(S)+βF2(S)]=αL-1[F1(S)]+βL-1[F2(S)]=αf1(t)+βf2(t);

函数线性组合的拉氏变换，等于求拉氏变换后的线性组合。

【例1】求函数的拉氏变换。解

对于实常数a＞0，有2、尺度变换

[注意]讨论单边拉氏变换,故此处a>0对实常数t0>0，则更一般地a＞0，b≥03、时移特性[注意]f(t)(t)都要延时t0时移性质举例[例2]

求信号的拉氏变换.[解]“连根拔”,向(t)靠拢思考:的拉氏变换?有始信号的时移时移性质举例[例3]

4、复频移特性收敛轴平移

说明：象原函数f(t)乘以ekt后求拉氏变换，相当与将象

函数F(s)作位移k。4、复频移特性[例4]

已知

利用复频移特性，

求

的象函数.则收敛域至少是Re

[s]＞σ0

若f(t)为因果信号，则5、时域微分特性

时域微分性质举例[例5]

已知

的象函数，利用时域微分特性，求

的象函数.[解]时域微分性质举例[例6]

已知f(t)=cost的象函数，利用时域微分特性，求sint的象函数.[解]时域微分性质举例[例7]

求f1(t)和f2(t)的象函数。1直接求解2应用时域微分性质求解[解]注意：正确确定初始状态！若f(t)←→F(s)，Re［s］＞σ0,则有6、时域积分特性1．时域卷积定理其收敛域至少是F1(s)、F2(s)收敛公共部分。

*2.复频域卷积定理7、卷积定理则，复频域微分：8、复频域微分和积分复频域积分：复频域微分性质举例

[例1]求f(t)=tnε(t)的单边拉氏变换。[解]复频域积分性质举例[例]求正弦积分函数的象函数[解]由频域积分性质，有（1）初值定理设f(t)不包含冲激及其各