《最短路径问题》课件

《最短路径问题》1.两点一线型.如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C,使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.BlAC知识回顾如图，点A，B是直线l同侧的两点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C，此时点C就是所求作的点.B′ABlC1.两点一线型.2.两线一点型问题.如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△AMN的周长最小.此时过点A分别作关于直线l1，l2的对称点A1，A2，连接A1A2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.l1l2AA1NA2M3.两线两点型问题.如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形AMNB的周长最小.这时分别作点A，B关于直线l1，l2的对称点A1，B1，连接A1B1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.l2l1BAB1MA1N如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直）课堂导入这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？如图所示，将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？ABab∙∙MN知识点

造桥选址问题新知探究分析：由于河宽是固定的，则MN的大小是固定的.当AM+MN+BN的值最小时，也即AM+BN的值最小.ABab∙∙MN你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？如图，直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小.ABab∙∙MN分析：将AM沿着与直线a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB的值最小.ABab∙∙MNA′如图，连接A′，B，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线b的交点即为所求的点N的位置，即在此处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.ABab∙∙MNA′证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，∴A′N+NB<A′N′+BN′.即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′.∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′，即AM+NB+MN的值最小.ABab∙∙MNA′M′N′如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？跟踪训练AB新知探究解：（1）如图，过点A作AC垂直于河岸，且使得AC的长等于河宽；（2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作MN⊥EF于点M，则MN即为所建桥的位置.FHEGABMNC某大学建立分校,本部与分校隔着两条平行的小河.如图,小河甲的两岸为l1,l2,且l1//l2,小河乙的两岸为l3,l4,且l3//l4，A为本部大门,B为分校大门.为了方便两校区人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B两点间来往路径最