教学材料《测量学》-第七章

第一节测量误差的概念一、测量误差及其产生的原因在测量工作中，尽管观测者按照一定的操作方法认真地工作，但由于仪器设备不够完善（仪器误差）、观测者感官的局限性（观测误差），以及外部环境瞬间变化的随机性（外界影响），使得对某一量的观测值偏离了该量的真值或理论值，而产生真误差或闭合差，统称为测量误差，简称为误差。例如.对某一个三角形的内角进行观测，三内角观测值之和不等于180°（三角形内角和的理论值）；又如观测某一闭合水准路线，其高差闭合差的观测值不等于零（理论值）等，均说明观测中存在误差的客观性和普遍性。研究误差的来源和规律，可采取各种措施来减小误差的影响。在整个测量工作中，测量误差产生的原因主要有以下三个方面：下一页返回第一节测量误差的概念1.仪器设备测量工作是利用测量仪器进行的，而每一种测量仪器都具有一定的精确度，因此，会使测量结果受到一定的影响。例如，钢尺的实际长度和名义长度总存在差异，由此所测的长度总存在尺长误差。再如水准仪的视准轴不平行于水准管轴，也会使观测的高差产生

i角误差。2.观测者由于观测者的感觉器官的鉴别能力存在一定的局限性，所以，对于仪器的对中、整平、瞄准、读数等操作都会产生误差。例如，在厘米分划的水准尺上，由观测者估读毫米数，则1mm以下的估读误差是完全有可能产生的。另外，观测者技术熟练程度也会给观测成果带来不同程度的影响。上一页下一页返回第一节测量误差的概念3.外界环境观测时所处的外界环境中的温度、风力、大气折光、湿度、气压等客观情况时刻在变化，也会使测量结果产生误差。例如，温度变化使钢尺产生伸缩，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差等。上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。在同一观测条件下的观测称为等精度观测，反之，称为不等精度观测，而相应的观测值称为等精度观测值和不等精度观测值。上一页下一页返回第一节测量误差的概念二、测量误差的分类与处理原则测量误差按其对观测成果的影响性质，可分为系统误差和偶然误差两大类。前者为大误差.多发生于仪器设备；后者属小误差，多由一系列不可抗拒随机扰动所致。1.系统误差在相同的观测条件下，对某一观测量进行一系列的观测，若误差的大小及符号相同，或按一定的规律变化，则这类误差称为系统误差。例如用一名义为30m长、而实际长度为29.992m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少8mm，该8mm误差在数值上和符号上都是固定的，且随着尺段数的增加呈累积性。由于系统误差对测量成果影响具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有以下几种：上一页下一页返回第一节测量误差的概念（1）检校仪器。把系统误差降低到最小程度，如校正竖盘指标差等。（2）加改正数。在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。（3）采用适当的观测方法。使系统误差相互抵消或减弱，如测水平角时采用盘左、盘右观测以消除视准轴误差，测竖直角时采用盘左、盘右观测以消除指标差，采用前后视距相等来消除由于水准仪的视准轴不平行于水准轴带来的i

角误差等。2.偶然误差在相同的观测条件下，对观测量进行一系列的观测，大量的观测数据表明，误差出现的大小及符号在个体上没有任何规律，具有偶然性。上一页下一页返回第一节测量误差的概念但从总体上看，误差的取值范围、大小和符号却服从一定的统计规律，这类误差称为偶然误差.或随机误差。例如，在厘米分划的水准尺上读数，由观测者估读毫米数时，有时估读偏大，有时估读偏小。又如大气折光使望远镜中目标成像不稳定，使观测者瞄准目标时，有时偏左，有时偏右等。偶然误差是不可避免的，在测量中为了降低偶然误差的影响，提高观测精度，通常采用以下方法：（1）提高仪器等级。可使观测值的精度得到有效的提高，从而限制了偶然误差的大小。（2）降低外界影响。选择有利的观测环境和观测时机，避免不稳定因素的影响，以减小观测值的波动；提高观测人员的技术修养和实践技能，正确处理观测与影响因子的协调关系和抗外来影响的能力，以稳、准、快地获取观测值；上一页下一页返回第一节测量误差的概念严格按照技术标准和要求操作程序观测，等等，以达到稳定和减少外界影响，缩小偶然误差的波动范围。（3）进行多余观测。在测量工作中进行多于必要观测的观测，称为多余观测。例如一段距离用往、返丈量，如将往测作为必要观测，则返测就属于多余观测；又如，由三个地面点构成一个平面三角形，在三个点上进行水平角观测，其中两个角度属于必要观测，则第三个角度的观测就属于多余观测。有了多余观测，就可以发现观测值的误差。根据差值的大小，可以评定测量的精度.差值如果大到一定程度，就认为观测值中有的观测量的误差超限，应予重测（返工）；差值如果不超限，则按偶然误差的规律加以处理，以求得最可靠的数值。上一页下一页返回第一节测量误差的概念需要注意的是，观测中应避免出现粗差，即由观测者本身疏忽造成的误差，如读错、记错。粗差不属于误差范畴，是可以避免的。测量时必须遵守测量规范，要认真操作、随时检查，并进行结果校核。上一页返回第二节偶然误差的特性测量误差理论主要讨论具有偶然误差的一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评定观测成果的精度。为此，需要对偶然误差的性质作进一步的讨论。设某一量的真值为X，对此量进行n

次观测，得到的观测值为l1，l2，…，ln

在每次观测中产生的偶然误差（又称“真误差”）为

1，2，…，n

则定义：

i=X–li

（7-1）从单个偶然误差来看，其符号的正负和数值的大小没有任何规律性。但是，如果观测的次数很多，观察其大量的偶然误差，就能发现隐藏在偶然性下面的必然规律。进行统计的数量越大，规律性也越明显。下面结合某观测实例，用统计方法进行分析。下一页返回第二节偶然误差的特性在某一测区，于相同的观测条件下共观测了217个三角形的全部内角。由于每个三角形内角之和的真值（180°）为已知，因此，可以按式（7-1）计算每个三角形内角之和的偶然误差

i（三角形内角和闭合差），将它们分为负误差、正误差和误差绝对值，按绝对值由小到大排列次序;以误差区间d

=3″进行误差个数ni

的统计，并计算其相对个数ni/n（n=217），ni/n称为误差出现的频率。偶然误差的统计见表7-1。从表7-1的统计中，可以归纳出偶然误差的特性如下：（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。（2）绝对值较小的误差出现频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。（3）绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。上一页下一页返回第二节偶然误差的特性（4）当观测次数无限增大时，偶然误差的算术平均值

趋近于零。即偶然误差具有抵偿性，用公式表示为：（7-2）式中，[]

表示取括号中数值的代数和。误差的分布情况，除了采用表7-1的形式表达外.还可用图形来表达。如图7-1所示，按表7-1的数据以横坐标表示误差的正负和大小，以纵坐标表示误差出现于各区间的频率（ni/n）除以区间（d

），每一区间按纵坐标作成矩形小条，则每一小条的面积代表误差出现于该区间的频率，而各小条的面积总和等于1。图7-1称为“频率直方图”，它形象地表示了误差的分布情况。上一页下一页返回第二节偶然误差的特性当在同一观测条件下，随着观测个（次）数的无限增多（n

→∞），同时又无限缩小误差的区段值d

（d

→0），则图7-1中各小长条顶边的折线就逐渐成为如图7-2所示的一条光滑曲线，称为误差分布曲线，该曲线在概率论中称为“正态分布曲线”。它完整地表示了偶然误差出现的频率，即当n

→∞时，偶然误差出现在各区段的频率也就趋于一个确定的数值，这就是偶然误差出现在各区段的频率。由此可见，偶然误差的频率分布随着n

的增大，是以正态分布为极限的。正态分布曲线的数学方程为：（7-3）式中，e——自然对数的底（e=2.7183）；上一页下一页返回第二节偶然误差的特性

——标准差；标准差的平方

2

为方差。方差为偶然误差平方的理论平均值：（7-4）标准差为：（7-5）上一页返回第三节观测值的算术平均值及改正值在实际测量工作中，只有极少数观测量的理论值或真值是可以预知的，一般情况下，由于测量误差的影响，观测量的真值是很难测定的。为了提高观测值的精度，测量上通常采用有限的多余观测，通过计算观测值的算术平均值来代替观测量的真值X，用改正数vi代替真误差

i

以解决实际问题。一、算术平均值在等精度观测条件下，对某未知量进行了n

次观测，其观测值分别为：l1，l2，…，ln，将这些观测值取算术平均值，作为该量的最可靠值，称为该量的“最或是值”：（7-6）下一页返回第三节观测值的算术平均值及改正值多次获得观测值而取算术平均值的合理性与可靠性，可以通过偶然误差的特性来证明。设某一量的真值为X，对此量进行n次观测，得到的观测值为l1，l2，…，ln，在每次观测中产生的真误差为

1、2、…、n，则由式（7-1）有：

1=X–l1

2=X–l2…

n=X–ln将上等式相加，并除以n

得到：上一页下一页返回第三节观测值的算术平均值及改正值（7-8）根据偶然误差的第（4）个特性，当观测次数无限增多时，就会趋近于零，即，从而有：。也就是说，当观测次数无限增多时，观测值的算术平均值趋近于该量的真值X。但是在实际测量中，不可能对某一量进行无限次观测，因此，就把有限个观测值的算术平均值作为该量的最或是值。二、观测值的改正数算术平均值与观测值li

（i=1，2，…，n）之差，称为观测值的改正数vi：上一页下一页返回第三节观测值的算术平均值及改正值（7-9）将上等式相加得到：（7-10）由此可见，一组观测值取算术平均值后，其改正数之和恒等于零。这一公式可以作为计算中的校核。上一页返回第四节评定观测值精度的标准在等精度的观测条件下，若偶然误差较集中于零附近，可以称其误差分布的离散度小，表明该组观测质量较好，也就是观测精度高；反之称其误差分布离散度大，表明该组观测质量较差，也就是观测精度低。所谓精度，就是指误差分布的离散程度。衡量离散程度的大小，可用精度衡量，衡量精度的指标有多种，我国目前采用的以下几种。一、中误差为了统一衡量在一定观测条件下观测结果的精度，取标准差

作为依据是比较理想的。不同的

对应着不同形状的分布曲线，

越小，曲线越陡；

越大，曲线越缓。

的大小能反映精度的高低，故多用标准差来衡量精度的高低。但是，在实际测量工作中，不可能对某一量做无限多次观测，因此，定义按有限次数观测值的真误差求得标准差

的估值为“中误差”，通常以m

表示。下一页返回第四节评定观测值精度的标准1.Ž€用真误差来确定中误差在等精度观测条件下，对真值为X

的某一量进行n

次观测，其观测值为l1，l2，…，ln，则每次观测中产生的真误差为

1、2、…、n，取各真误差平方的平均值的平方根，作为观测值的中误差，即：（7-11）[例7-1]

对10个三角形的三个内角进行了两组观测，根据两组观测值的偶然误差（三角形的角度闭合差），求得中误差，如表7-2所列。由计算得出，第二组观测值的中误差m2

大于第一组观测值的中误差m1，说明第二组观测值相对来说精度较低。上一页下一页返回第四节评定观测值精度的标准在实际测量工作中，观测值的真值X

往往是不知道，因此，真误差

i

也无法求得，此时，就不能用公式（7-11）求中误差。而是通过计算观测值的算术平均值来代替观测量的真值X，用观测值的改正数vi

代替真误差

i。在此情况下，中误差的计算公式为（在此不做推导）：（7-12）[例7-2]

对于某一水平角，在等精度的条件下进行了5次观测，求其算术平均值及观测值的中误差，如表7-3所列。上一页下一页返回第四节评定观测值精度的标准二、容许误差由偶然误差的第一特性得到：在等精度的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过某一极限值。实践表明：在大量同精度观测的一组误差中误差

落在（-

，+

）、（-2

，+2

）、（-3

，+3

）的概率分别为：可见，绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅有0.3%，绝对值大于两倍中误差的偶然误差出现的概率约为4.6%，因此通常以两倍中误差作为偶然误差的极限值

限，并称为极限误差或容许误差。即：上一页下一页返回第四节评定观测值精度的标准

限

=2m（7-13）在测量工作中，如某观测量的误差超过了容许误差，就可以认为它是错误，其观测值应舍去重测。三、相对误差衡量观测值精度的高低，有时单靠中误差还不能完全表达测量结果的好坏。例如，用钢尺丈量100m和200m的两段距离，中误差均为±2cm。虽然它们的中误差相同，但考虑到丈量的长度不同，两者精度并不相同。因此当观测量的精度与观测量本身大小相关时，则应该采用相对误差来衡量测量精度的高低。相对误差是用误差的绝对值与观测值之比来衡量精度高低的指标，是个无名数，在实际应用中一般将比值的分子化为1，用1/N

表示。即:上一页下一页返回第四节评定观测值精度的标准（7-14）式中，K——相对误差；

m——观测误差（中误差）；

L——观测量的值；

N——相对误差分母。相对误差分母犖越大，精度越高。如对于上述两段距离，其相对误差分别是：上一页下一页返回第四节评定观测值精度的标准也说明第二段距离的丈量结果比第一段的丈量结果精度高。需要注意的是：相对误差是无名数，而真误差、中误差、容许误差是带有测量单位的数值。上一页返回第五节误差传播定律及应用上一节介绍了对于某一量（例如一个角度、一段距离）进行多次观测，从而计算其观测值中误差或相对误差的方法。但是，在测量工作中，有一些需要知道的量并非直接观测得到的，而是根据与直接观测值的函数关系求得，因此称这些量为观测值的函数。例如，两点间的水平距离D

分为n

段来丈量，各段量得的长度分别为d1、d2、…、dn，即D=d1+d2+…+dn。又如，用尺子在1∶1000的地形图上量得两点间的距离犱，其相应的实地距离D=1000d，则犇是犱的函数等。由于观测中含有误差，使函数受其影响也含有误差，称之为误差传播。解决观测值中误差与其函数中误差的关系的定律称为误差传播定律。下一页返回第五节误差传播定律及应用一、线性函数的中误差设有线性函数：Z=k1x1±k2x2±…

±knxn

（7-15）式中，k1，k2，…，kn——任意常数；

x1，x2，…，xn——独立观测值。当各独立观测值

x1，x2，…，xn

含有真误差

1，2，…，n

时，函数Z

必将产生真误差Z。设各独立观测值x1，x2，…，xn的中误差为m1，m2，…，mn，则函数Z

的中误差为mZ，可导出（推导从略）：（7-16）上一页下一页返回第五节误差传播定律及应用即观测值函数中误差的平方，等于常数与相应观测值中误差乘积的平方和。也可以写成：（7-17）[例7-3]在比例尺为1∶500的地形图上，量得A、B

两点间的距离md=134.7mm，图上量距的中误差md=±0.2mm。求A、B

两点实地距离D

及其中误差mD。[解]由题意知，实地距离D

与图上距离d

的函数关系为：D=Md=500d（M为比例尺分母，是一个常数）根据式（7-15），此时线性函数简化成为简单的倍数函数，再由式（7-16）或式（7-17）得到：上一页下一页返回第五节误差传播定律及应用D=500d=500×134.7=67.35（m）mD=±Mmd=±500×0.2=±0.1（m）则这段距离及其中误差可以写成为：D=（67.35±0.1）m[例7-4]

在三角形ABC中，对∠A和∠B进行了观测，其观测的中误差mA

和mB

分别为±3″和±4″，试推算∠C

的中误差mC。[解]

因三角形的内角和为180°，故有：∠C=180°-（∠A

+∠B）=180°-

∠A

-

∠B根据式（7-15），此时线性函数简化成为简单的差函数，再由式（7-16）或式（7-17）以及180°为常数没有误差，得到：上一页下一页返回第五节误差传播定律及应用[例7-5]

对某一量X

进行n

次等精度观测，各次观测中误差为m，求其算术平均值的中误差M。[解]

算术平均值可以写成为：根据式（7-15），再由式（7-16）或式（7-17）得到：算术平均值的中误差由于进行的等精度观测，各次观测中误差均为m。由此得到按观测值的中误差计算算术平均值的中误差公式：（7-18）上一页下一页返回第五节误差传播定律及应用由此可见，算术平均值的中误差是观测值中误差的。二、一般函数的中误差设有一般函数：Z=f（x1，x2，…，xn）（7-19）式中，（x1，x2，…，xn）——独立观测值。当各独立观测值（x1，x2，…，xn）含有真误差

1，2，…，n

时，函数Z必将产生真误差Z

。设各独立观测值x1，x2，…，xn

的中误差m1，m2，…，mn，则函数Z的中误差为mZ，可导出（推导从略）：（7-20）上一页下一页返回第五节误差传播定律及应用即：一般函数中误差的平方等于该函数对每个观测值取偏导数后与相应观测值中误差乘积的平方之和。[例7-6]

如图7-3所示，用仪器测得图示斜距L=（1278.44±10）m