《控制工程基础》-第7章现代控制理论简介

7.1概述现代控制理论的基本内容包括五个方面，简单说明如下。1.最优控制在图7-1所示系统中，有一组输入函数u(t)作用在受控系统上，其相应状态变量是x(t)，通过量测系统可得到这些状态的某种组合y(t)，此即系统输出。根据实际需要，可为受控系统指定一些目标（性能指标）。2.最优估计

图7-1所示系统中，输出量y(t)是通过量测系统由状态转换过来的。但实际的量测系统常受到噪声v(t)的干扰，如图7-2所示。如果将整个系统看成是一个信息传递系统，用输入噪声w(t)表示这个系统的模型误差，也称动态噪声，则从y(t)中，克服w(t)和v(t)的影响估计出状态x(t)来，称为最优状态估计问题。下一页返回7.1概述3.随机最优控制实际系统都是受到许多噪声干扰的，如图7-3所示，其中主要是动态噪声w(t)和量测噪声v(t)。在这种情况下的最优控制问题就叫做随机最优控制。这时系统的目标函数一般用统计平均值来表示。4.系统辨识在分析、研究及控制一个系统时，首先必须建立起系统的数学模型，即要通过对系统输入u(t)和输出y(t)数据的量测与处理来建立系统的数学模型，如图7-4。这一类问题称作系统辨识，它在实用上和理论上都有着重要意义。5.自适应控制自适应控制是指随时辨识系统的数学模型，随时按此模型来调整最优控制规律u*(t)，在图7-5所示系统中，就是要按w(k)、v(k)、y(k)、x(k)及u(k)来确定u*(k+1)。上一页返回7.2控制系统的状态空间表达式7.2.1状态、状态变量状态：系统运动信息的集合。状态变量：可以完全确定系统的运动状态且数目最小的一组变量。所谓完全确定，是指只要给定t0时刻的这组变量的值和系统在t≥t0时系统的输入函数，则系统在t>t0的任意时刻的状态就可完全确定。所谓数目最小是指：如果变量数目大于该值，则必有不独立的变量；小于该值，又不足以描述系统的运动状态。状态向量：n个状态变量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)所构成的向量X(t)就是系统的状态向量，记作X(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xn(t)]T下一页返回7.2控制系统的状态空间表达式

状态空间：以状态变量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)为坐标轴所构成的n维空间称为状态空间Rn。在某一时刻t的状态向量X(t)就是状态空间中的一个点。随着时间t的推移，X(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。7.2.2状态空间表达式——动态方程如果能确定系统的状态变量X（t），那么对于给定的输入向量u（t），任何时刻t的系统输出Y（t）都可以求得，即对于任意时刻t，系统的输出均由时刻t的状态和时刻t的输入决定。这就是说，状态空间描述包括两个步骤：（1）确定并求解状态变量；（2）根据状态变量求输出。

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在数学上，可用两个方程来表示，即状态方程和输出方程。状态方程和输出方程合称系统的动态方程，亦称为状态空间表达式。状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量的关系称为状态方程，它是一阶向量微分方程，它的一般形式为

(7-4)

输出变量与状态变量、输入变量的关系称为输出方程，它是矩阵代数方程。输出方程的一般形式为

(7-5)下一页上一页返回7.2控制系统的状态空间表达式

如果系统是时变系统，即其系数（只要有一个）随时间而变化，则式（7-4）和式（7-5）应分别改写为

图7-7就是由式（7-4）和式（7-5）所确定的多变量系统动态方程的方块图，通常称为状态变量图。图中双线箭头表示向量信号，标量信号仍然用单线箭头表示。对于非线性系统，由于不能应用迭加原理，其系统动态方程应表示成下一页上一页返回7.2控制系统的状态空间表达式

由于引入了系统状态变量概念，能够完全了解系统的动态信息，所以系统的动态方程也称为系统内部模型。动态方程的非唯一性和系统的不变量：由于状态变量的选择不是唯一的，因此，一个系统的动态方程也不是唯一的。这一点可从线性代数的线性变换理解。但是，系统的特征值（极点）不变。特征向量的物理意义：状态方程的任意非零解向量，称为系统矩阵A对于特征根λi的特征向量。在振动学中，每个特征向量表示振动系统的一种振动形态，称为主振型或主模态。在控制工程中称为主振型。下一页上一页返回7.2控制系统的状态空间表达式7.2.3动态方程的建立方法系统动态方程主要有三种建立的方法：（1）机理法，直接从系统的物理模型写出系统的动态方程；（2）从系统已经建立的运动微分方程或传递函数转换成动态方程；（3）由系统的方块图（结构图）直接写出动态方程，显然系统的方块图和动态方程可以相互转换。下一页上一页返回7.2控制系统的状态空间表达式7.2.4线性系统状态方程的解1.线性时变系统状态方程的解线性时变系统的状态方程为根据微分方程理论，它具有通解和特解。一般先求出它的通解（即齐次方程的解），然后求出其特解，于是便得到全解。它对应的齐次方程为下一页上一页返回7.2控制系统的状态空间表达式其解为式中，Φ(t,t0)是微分方程的解。下一页上一页返回7.2控制系统的状态空间表达式2.离散系统状态方程及其解与分析线性连续系统相似，线性离散系统的状态方程和输出方程可表示为式中，T为采样周期。为简单起见，通常略去采样周期T而直接写成下一页上一页返回7.2控制系统的状态空间表达式

式中，G(k)为系统矩阵，H(k)为控制矩阵，C(k)为输出矩阵，D(k)为直接传递矩阵。离散系统的方框图见图7-11。如果系统是定常的，则G(k)、H(k)、C(k)、D(k)均为常数矩阵，因而式（7-31）又可进一步表示为下面求离散系统状态方程的解。设线性定常离散系统的状态方程为

(7-33)下一页上一页返回7.2控制系统的状态空间表达式运用迭代法有：

(7-34)式（7-34）就是离散系统状态方程（7-33）的解。下一页上一页返回7.2控制系统的状态空间表达式3.连续时间状态方程的近似离散化当采用数字计算机对连续时间状态方程求解，或对连续系统实施计算机在线控制时，都必须先将连续时间状态方程离散化。假定连续系统的动态方程为如果离散化按一个等采样周期T的采样过程来处理，则其离散化后的系统动态方程为式中下一页上一页返回7.2控制系统的状态空间表达式

而C和D则仍与式（7-37）中的一样。在采样周期T较小，一般当其为系统最小时间常数的1/10左右时，G(T)和H(T)可分别近似为下一页上一页返回7.2控制系统的状态空间表达式7.2.5线性系统的能控性及能观测性系统能控性定义为：若存在一个无约束的控制U(t)，能在有限时间区t0≤t≤tr内，将系统某一初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的每一个状态x(t0)都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。线性定常连续系统的能观测性定义为：如果在有限时间区间t0≤t≤tf内，根据量测到的输出Y(t)，能够唯一地确定系统在t0时刻的某一初始状态x(t0)，则称此状态是能观的。若系统在t0时刻的每一个状态x(t0)都是能观测的，则称此系统是状态完全能观测的，简称系统是能观的。上一页返回7.3状态反馈与输出反馈7.3.1状态反馈状态反馈方块图如图7-12所示。对受控系统用状态向量的线性反馈-KX(t)构成的闭环系统，称为状态反馈系统。设受控系统的动态方程为状态向量X(t)通过状态反馈矩阵K，负反馈至参考输入r(t)，得到控制规律为状态反馈系统的动态方程为下一页返回7.3状态反馈与输出反馈应当指出：（1）如果受控系统能控，用状态反馈，通过状态反馈矩阵K的设计，可以任意配置闭环极点。因为引入状态反馈后，系统矩阵及其特征值改变了。（2）状态反馈不改变系统的能控性，对于任何常数矩阵K，闭环系统能控的充分必要条件是受控系统状态完全能控。（3）引入状态反馈后，原来能观测的系统可以变成不能观的，原因是可能出现零点、极点对消；原来不能观测的系统可能变成能观测的系统。（4）状态反馈不影响系统的阶次，不影响零点。下一页上一页返回7.3状态反馈与输出反馈7.3.2输出反馈输出量通过输出反馈矩阵K负反馈到参考输入r(t)，构成输出反馈，如图7-13所示。输出反馈得到的控制规律为输出反馈系统的动态方程为下一页上一页返回7.3状态反馈与输出反馈7.3.3状态反馈系统的极点配置众所周知，系统动态性能取决于系统极点的位置。因此，系统的性能指标要求，可以用s平面上给出的一组希望的极点位置来表征，然后，通过选择状态反馈矩阵K，使闭环系统的极点，即(A-BK)的特征值恰好位于希望的极点位置上。显然，希望极点的位置有任意性。极点配置的理论问题是：什么样的系统能任意配置极点？用状态反馈任意配置极点的充分必要条件是受控系统是状态完全能控的。此外希望极点（性能指标）如何选择？通过时域、频域指标来确定。选取原则：物理可实现性；注意不要出现零点、极点对消现象；合理考虑抗干扰和灵敏度要求。上一页返回7.4最优控制7.4.1概述最优控制属于最优化的范畴。所谓最优化是指人们在从事某项工作时，总是想着采取合理的措施，以期达到最好的结果。在最优化问题中，“结果”称为目标函数，用J=f(X)表示，X是某些变量，最优化的任务就是在某种约束条件下求取X，使目标函数J为最小值（或最大值）。下一页返回7.4最优控制1.最小误差控制系统最小误差控制系统根据系统受控参数的变化规律可分为：（1）最优镇定（调节）系统。能以最小的误差维持平衡状态的系统，例如，要保持炉温为恒值的系统，电动机的恒速控制系统等。（2）最优随动（跟踪）系统。能以最小的误差跟踪目标或期望轨迹的系统，如用雷达天线跟踪某一飞行器的系统。2.最速控制系统最速控制系统为在给定控制功率的条件下，能最快地从初始状态X(t0)转移到任意状态X(t)的系统，如希望导弹能在最短时间内击中目标的系统。下一页上一页返回7.4最优控制3.最优终值控制系统最优终值控制系统即具有要求的最优终端状态X(tf)的系统，如机床的最准确定位控制系统。4.最低能耗控制系统最低能耗控制系统即消耗最少能量（燃料）的系统。由上看到，最优控制系统的性能指标可归纳为以下三种形式：1.积分型或称Lagrange型2.终端型或称Mayer型3.综合型或称Bolza型下一页上一页返回7.4最优控制7.4.2具有二次型性能指标的线性系统的最优控制当受控对象是线性系统，且其性能指标是二次型时，就可实现具有状态反馈的线性闭环最优控制，这在工程上有较大的实用价值。为此，首先介绍邦特略京极小值原理。若系统的状态方程为初始状态X(t0)=X0，终端状态X(tf)自由，性能指标为下一页上一页返回7.4最优控制定义哈密顿函数为极小值原理就是在t0≤t≤tf时间区间内，能使性能指标J为最小的最优控制U*(t)必须满足如下条件：（1）若有最优控制U*(t)存在，则必须存在一个协状态变量λ*(t)和状态变量X*(t)，它们满足正则方程组下一页上一页返回7.4最优控制（2）正则方程的边界条件，根据系统给定情况而