第11讲 对数的运算（讲练案）-2027届高考数学一轮复习（含答案）

第页共页第11讲对数的运算（讲练案）2027届高考数学一轮复习知识整合体系重构激活思维1．(教材经典题)计算log327＋lg100－lne的值为()A．4B．5C．6D．72．(教材经典题改编)若lg2＝a，则lg5＝()A．1－aB．a－1C．2－aD．a－23．(教材经典题)计算(lg2)2＋lg2·lg5＋lg5的值为()A．0B．1C．lg5D．lg2·lg54．(教材经典题改编)若log23＝a，log25＝b，则log245＝()A．2a＋bB．a＋2bC．2abD．a2b5．(多选)下列各式正确的是()A．log28＝3B．lg2·lg5＝lg10C．log34＝2log32D．loga(M＋N)＝logaM＋logaN聚焦知识1．对数的概念若a的b次方＝N(a＞0，a≠1，N＞0)，则b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN．其中a叫做底数，N叫做真数．【提醒】底数必须满足a＞0且a≠1，真数必须满足N＞0．零和负数没有对数，这一步没看清，后面全错．2．对数的基本性质(1)loga1＝0，logaa＝1(a＞0且a≠1)．(2)a的logaN次方＝N(a＞0且a≠1，N＞0)，即底数的对数次幂还原成真数．(3)常用对数lgN＝log10N，自然对数lnN＝logeN，其中e＝2.71828…．3．对数的运算法则(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，积的对数拆成对数的和．(2)loga(M/N)＝logaM－logaN，商的对数拆成对数的差．(3)logaMn＝n·logaM(n∈R)，真数的幂可以提到对数前面．(4)loga(M的n次方根)＝(1/n)logaM(n∈N*，n＞1)．【提醒】三条法则都要求M＞0，N＞0．真数能拆才拆，若真数本身含有待定字母，要先把取值范围写在草稿上．4．换底公式及推论(1)换底公式：logab＝(logcb)/(logca)(a＞0且a≠1，b＞0，c＞0且c≠1)，常取c＝10化为常用对数，即logab＝(lgb)/(lga)．(2)logab·logba＝1(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)．(3)logab＝1/(logba)．【提醒】后两式都是换底公式代入后的结果，考场现推只用一步，不必死记．5．换底公式的常用变形式名称表达形式使用要点换底公式logab＝(lgb)/(lga)新底可任取，一般取10倒数关系logab·logba＝1底数与真数互换，两式互为倒数幂底公式log49＝log23底与真数同时升幂，幂次相除后约去倒数换底logab＝1/(logba)分母上的对数不能为06．常用结论(1)lg2＋lg5＝1，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2．化简含lg2、lg5的式子时，先把它们换成同一个字母，能省一大半计算．(2)比较两个对数的大小：同底比真数，同真数比底数，底数真数都不同时，先与0、1比较，再换底或借中间量．(3)底数与真数同大于1，或同小于1时，对数取正值；否则取负值．判断对数符号用这一条最快．题型突破思维拓展举题说法目标1对数的概念与基本性质例1(1)若对数式log(x－1)(3－x)有意义，则x的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)∪(2，3)C．(1，2)D．(2，3)(2)计算log2(1/8)＋log31＋5的log53次方的值为()A．－1B．0C．1D．3【方法】求对数式，先把底数与真数能化成同底幂的部分化成幂，再用基本性质求值．判断对数式是否有意义，要把底数、真数、底数不为1三个条件一次性列全．变式1(1)若log2[log3(log4x)]＝0，则x＝______．(2)已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，且f(4)＝2，则a＝______．目标2对数的运算法则与化简求值例2计算下列各式的值．(1)(lg5)2＋lg2·lg50；(2)lg25＋(2/3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2．【方法】化简对数式有三条常用路：一是把真数拆成幂的乘积，把幂提到对数前面；二是把lg5换成1－lg2，全式统一成一个字母；三是把出现多次的lg2＋lg5当成整体．第(1)小题走第一条，第(2)小题走第三条．变式2(1)计算log2(1/25)·log3(1/8)·log5(1/9)＝______．(2)计算4的log23次方＋9的log32次方＝______．目标3换底公式及其应用例3(1)(log43＋log83)(log32＋log92)的值为()A．5/4B．5/6C．3/2D．5(2)已知log23＝a，log37＝b，则log4256＝______(用a，b表示)．(3)已知2的x次方＝5的y次方＝10，则(1/x)＋(1/y)＝______．【方法】不同底的对数相乘，先把各项的底统一到同一个数(常用2、3、10)，再用logab·logba＝1收尾．第(1)小题两个括号各提公因式，第(2)小题把42与56都拆成质因数的积，第(3)小题把指数式化成对数式后再取倒数．变式3(1)计算(log23＋log49)(log34＋log92)＝______．(2)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)(x＞0，y＞0)，则x/y的值为______．目标4对数运算的实际应用例4(1)里氏震级M＝lgA－lgA0，其中A是地震仪记录的最大振幅，A0是相应的标准地震振幅．若某次地震的最大振幅A＝1000，此时标准地震的振幅A0＝0.001，则此次地震的震级为()A．4B．5C．6D．7(2)声强级L＝10lg(I/I0)(单位：dB)，其中I0＝10－12W/m2．若某处的声强I＝10－3W/m2，则该处的声强级为______dB．【方法】实际应用问题先按题设代公式，再把真数整理成10的整数次幂，用lg10n＝n直接得数．量级比较大小时，算两式之比再取对数，比直接算数更省力．变式4已知某次地震的震级为7.0，另一次地震的最大振幅是它的1/1000，则另一次地震的震级为______．易错清零精准避坑五个高频错点1．把法则用反方向：误认为loga(M＋N)＝logaM＋logaN．法则只对真数的"积、商、幂"成立，和对数的对象必须是一个整体真数，和不能直接拆开．2．漏掉真数必须为正：凡出现lgx、lgy的式子，都要先写下x＞0、y＞0．解方程解出的结果要代回原式检验，把使真数非正的根去掉．3．把loga1记成1：loga1＝0，logaa＝1．这两个值最容易被记混，写题时认准真数是"1"还是"a"．4．换底时取了c＝1：换底公式中的新底c必须满足c＞0且c≠1，取1作底没有意义．5．把lg2·lg5与lg2＋lg5混为一谈：lg2＋lg5＝1，而lg2·lg5≈0.21．只有"和"等于1，"积"不是．随堂内化即时反馈1．计算log26－log23＝______．2．计算lg4＋2lg5＝______．3．已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝______(用m，n表示)．4．已知2的a次方＝3，3的b次方＝5，则log215＝______(用a，b表示)．配套精练分层落实A组基础过关1．计算log525＋log3(1/9)＝()A．0B．1C．2D．－12．计算lg2＋lg5＝()A．1B．2C．lg7D．03．已知lg3＝a，则lg300＝()A．a＋1B．a＋2C．a＋3D．2a4．若log2x＝－1，则x＝()A．2B．1/2C．－2D．15．计算(1/2)lg25＋lg2－lg(1/10)＝______．6．计算2的log27次方＋log39＝______．B组能力提升1．计算lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2＝______．2．已知log23＝a，log37＝b，则log214＝______(用a，b表示)．3．(多选)下列说法正确的是()A．loga(MN)＝logaM＋logaN对任意M，N都成立B．lg2＋lg5＝1C．log23·log32＝1D．loga(M/N)＝logaM－logaN对任意M，N都成立4．已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)(x＞0，y＞0)，则x/y的值为______．C组真题体验1．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷·10)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20lg(p/p0)，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2B．p2＞10p3C．p3＝100p0D．p1≤100p22．(2022·天津卷·6)化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为()A．1B．2C．4D．6参考答案与解析激活思维1．A解析：log327＝3，lg100＝2，lne＝1，所以原式＝3＋2－1＝4．故选A．2．A解析：lg5＝lg(10/2)＝lg10－lg2＝1－lg2＝1－a．故选A．3．B解析：原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2×1＋lg5＝lg2＋lg5＝1．故选B．4．A解析：log245＝log2(9×5)＝log232＋log25＝2log23＋log25＝2a＋b．故选A．5．AC解析：A中log28＝log223＝3，正确；B中lg2·lg5≈0.21，并不等于1(等于1的是lg2＋lg5)，错误；C中log34＝log322＝2log32，正确；D中法则要求M＞0，N＞0，且左边是真数"和"的对数，不能拆成对数的和，错误．故选AC．题型突破例1(1)B解析：要使对数式有意义，需同时满足x－1＞0，x－1≠1，3－x＞0．由x－1＞0且x－1≠1得x＞1且x≠2；由3－x＞0得x＜3．所以1＜x＜3且x≠2，即x∈(1，2)∪(2，3)．故选B．(2)B解析：log2(1/8)＝log22－3＝－3；log31＝0；5的log53次方＝3．所以原式＝－3＋0＋3＝0．故选B．变式1(1)64解析：由log2[log3(log4x)]＝0得log3(log4x)＝20＝1；再由log4x＝31＝3得x＝43＝64．(2)2解析：由f(4)＝loga4＝2得a2＝4，又a＞0且a≠1，所以a＝2．例2(1)1解析：因为lg50＝lg(2×25)＝lg2＋2lg5，所以原式＝(lg5)2＋lg2(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg2·lg5＋(lg2)2＝(lg2＋lg5)2＝12＝1．(2)3解析：lg25＝2lg5，(2/3)lg8＝(2/3)×3lg2＝2lg2，lg20＝lg(2×10)＝lg2＋1．所以原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(lg2＋1)＋(lg2)2＝2(lg2＋lg5)＋[lg2·lg5＋(lg2)2＋lg5]＝2×1＋[lg2(lg5＋lg2)＋lg5]＝2＋(lg2＋lg5)＝2＋1＝3．变式2(1)－12解析：log2(1/25)＝log25－2＝－2log25，log3(1/8)＝log32－3＝－3log32，log5(1/9)＝log53－2＝－2log53．所以原式＝(－2)(－3)(－2)×(log25·log32·log53)＝－12×(log25·log53·log32)＝－12×1＝－12．(2)13解析：4的log23次方＝(22)的log23次方＝2的2log23次方＝2的log29次方＝9；9的log32次方＝(32)的log32次方＝3的2log32次方＝3的log34次方＝4．所以原式＝9＋4＝13．例3(1)A解析：log43＝(1/2)log23，log83＝(1/3)log23，所以log43＋log83＝(1/2＋1/3)log23＝(5/6)log23；log92＝(1/2)log32，所以log32＋log92＝(1＋1/2)log32＝(3/2)log32．所以原式＝(5/6)×(3/2)×(log23·log32)＝(5/4)×1＝5/4．故选A．(2)(ab＋3)/(1＋a＋ab)解析：由log23＝a得lg3＝a·lg2；由log37＝b得lg7＝b·lg3＝ab·lg2．又56＝7×8＝7×23，42＝2×3×7，所以log4256＝(lg56)/(lg42)＝(lg7＋3lg2)/(lg2＋lg3＋lg7)＝(ab·lg2＋3lg2)/(lg2＋a·lg2＋ab·lg2)＝(ab＋3)/(1＋a＋ab)．(3)1解析：由2的x次方＝10得x＝log210，由5的y次方＝10得y＝log510．所以(1/x)＋(1/y)＝1/(log210)＋1/(log510)＝log102＋log105＝lg2＋lg5＝1．变式3(1)5解析：log49＝log23，所以log23＋log49＝2log23；log92＝(1/2)log32，所以log34＋log92＝2log32＋(1/2)log32＝(5/2)log32．所以原式＝2×(5/2)×(log23·log32)＝5×1＝5．(2)4解析：由lgx＋lgy＝2lg(x－2y)得lg(xy)＝lg(x－2y)2，所以xy＝(x－2y)2，整理得x2－5xy＋4y2＝0．两边同除以y2，得(x/y)2－5(x/y)＋4＝0，解得x/y＝1或x/y＝4．又由x－2y＞0得x/y＞2，故舍去x/y＝1，取x/y＝4．例4(1)C解析：M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6．故选C．(2)90解析：L＝10lg(I/I0)＝10lg(10－3/10－12)＝10lg109＝10×9＝90(dB)．变式44.0解析：设两次地震的最大振幅分别为A1、A2，震级分别为M1、M2．由M＝lgA－lgA0得M1－M2＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝lgA1－lgA2＝lg(A1/A2)．因为A2＝A1/1000，即A1/A2＝1000，所以M1－M2＝lg1000＝3，故M2＝M1－3＝7.0－3＝4.0．随堂内化1．1解析：log26－log23＝log2(6/3)＝log22＝1．2．2解析：lg4＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2×1＝2．3．m＋2n解析：loga18＝loga(2×32)＝loga2＋2loga3＝m＋2n．4．a＋ab解析：由2的a次方＝3得a＝log23；由3的b次方＝5得b＝log35，所以log25＝log23·log35＝ab．故log215＝log2(3×5)＝log23＋log25＝a＋ab．配套精练A组1．A解析：log525＝2，log3(1/9)＝log33－2＝－2，所以原式＝2＋(－2)＝0．故选A．2．A解析：lg2＋lg5＝lg(2×5)＝lg10＝1．故选A．3．B解析：lg300＝lg(3×100)＝lg3＋lg100＝a＋2．故选B．4．B解析：由log2x＝－1得x＝2－1＝1/2．故选B．5．2解析：(1/2)lg25＝lg5，lg(1/10)＝－1，所以原式＝lg5＋lg2－(－1)＝1＋1＝2．6．9解析：2的log27次方＝7，log39＝2，所以原式＝7＋2＝9．B组1．2解析：因为lg50＝lg(100/2)＝lg100－lg2＝2－lg2，所以lg2·lg50＝lg2(2－lg2)＝2lg2－(lg2)2．所以原式＝2lg5＋2lg2－(lg2)2＋(lg2)2＝2(lg2＋lg5)＝2×1＝2．2．1＋ab解析：log214＝log2(2×7)＝log22＋log27＝1＋(log23·log37)＝1＋ab