第1讲 集合及其运算（课件）-2027届高考数学一轮复习

第1讲集合及其运算2027届高考数学一轮复习·全国卷通用目录01考情解读·备考定位02知识梳理·基础夯实03核心题型·方法突破04真题演练·易错清零0201考情解读·备考定位集合是高考第一道必得分题，先把它的底摸清。03近三年集合题，考了什么题型固定、题号靠前、只占5分，是必须拿满分的基础题。年份题号·题型·分值考查内容2024新高考Ⅰ卷第1题·单选·5分三次不等式与离散集合求交集2025新高考Ⅰ卷第1题·单选·5分正整数集合的补集运算2025新高考Ⅱ卷·单选·5分由x³=x化简集合后求交集2026第3题·单选·5分三角函数求值与交集运算考查集中在交、并、补运算与集合关系的判断。04命题趋势与得分策略集合题不再孤立考运算，越来越爱和函数、不等式、三角函数搭着考。命题特点题型从单一的抽象集合运算，转向与其他板块交汇：·高次不等式·分式与绝对值不等式·指数对数不等式·三角函数求值做题顺序：先定全集、再看关系，最后算运算，步步落在定义上。通法一·数集画数轴连续数集画数轴定位，端点要看清：空心圈表示取不到，实心点表示取得到。通法二·抽象集与点集离散或抽象集合，画Venn图看清关系；点集则联立方程，看它的几何意义。得分底线①审题先分清全集与子集②解完参数回代检验互异性③含参关系先想空集0502知识梳理·基础夯实考点不多，但每一条都要能落地。06元素与集合：先分清“是什么、在哪”判断元素与集合的关系，靠的是集合的三个性质。集合的三个性质①确定性给定集合后，任一元素在不在就确定了。②互异性同一集合中，元素互不相同。③无序性{a,b}与{b,a}是同一个集合。元素与集合的关系只有两种：属于∈、不属于∉常用数集符号N自然数集N*正整数集Z整数集Q有理数集R实数集三种表示法列举法元素少时逐个列出描述法写清符号与共同特征Venn图画圈直观表示集合07集合间的关系：别忘了空集讨论包含关系时，空集是必须单独拎出来的一类。关系符号含义子集A⊆BA中任意元素都在B中真子集A⊊BA是B的子集，且B中至少有一个元素不在A中相等A=B两个集合互相包含空集∅不含任何元素，记作∅。∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。→见A⊆B，先想A是否为空集子集个数（含n个元素）子集2ⁿ真子集2ⁿ−1非空子集2ⁿ−1非空真子集2ⁿ−208集合的运算：交、并、补与两条定律三种运算，都能在数轴或Venn图上“看”出来交集A∩B={x|x∈A且x∈B}既属于A又属于B的元素组成的集合。在数轴上取两段的重合部分。并集A∪B={x|x∈A或x∈B}属于A或属于B的元素组成的集合。在数轴上把两段并在一起。补集∁UA={x|x∈U且x∉A}全集U中不属于A的元素组成的集合。在数轴上挖去A剩下的部分。德摩根定律∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)常用性质A∩B=A⟺A⊆BA∪B=B⟺A⊆B易混辨析数集{y|y=x²}（值域）的元素是实数；点集{(x,y)|y=x²}的元素是抛物线上的点。两者元素类型不同，不存在公共元素。{y|y=x²}∩{(x,y)|y=x²}=∅0903核心题型·方法突破四类高频题型，一类一类过。10题型一元素与集合：解完必须回头验含参求出结果后，检验互异性这一步不能省题目已知集合A={a,a²}，且1∈A，则a=____。要求：写出完整的求解与检验过程，不能只给一个答案。规范解答①由1∈A，得a=1或a²=1；②若a=1，则A={1,1}，两元素重复，不满足互异性，舍去；③若a²=1，则a=1或a=−1，其中a=1已舍去；④当a=−1时，A={−1,1}，元素互不相同，符合题意。答案：a=−1易错点拨只由a²=1解得a=±1就作答，漏掉互异性检验，会多出一个a=1的错误解。11题型二子集个数：套公式前先化简题目若集合A={x∈N|−1<x<3}，则A的子集个数为____。规范解答①先化简集合A：x是自然数且−1<x<3，可取x=0,1,2，故A={0,1,2}。②A中共有3个元素，子集个数为2³=8个。答案：8（子集个数2³=8）延伸：若改问真子集个数，则为2³−1=7个。易错点拨2ⁿ中的n是化简后集合里元素的个数，不是题目中出现的字母个数，也不是范围端点的个数。12题型三含参包含关系：先空后非空（重点）题目已知A={−1,3}，B={x|ax−1=0}，若B⊆A，则实数a构成的集合是____。规范解答①a是否为0决定B是否为空集，须分类讨论；②当a=0时，方程ax−1=0变为−1=0，无解，B=∅，而∅⊆A恒成立，符合题意；③当a≠0时，方程有唯一解x=1/a，即B={1/a}；由B⊆A得1/a=−1或1/a=3，解得a=−1或a=1/3。综上：a∈{−1,0,1/3}得分点漏掉「a=0时B=∅」是本题最常见的失分点，占全题一半分值。13题型四交并补运算：数轴上一画就清楚题目设全集U=R，A={x|x<−1或x≥3}，B={x|0≤x<4}，求A∩B及∁U(A∪B)。数轴示意A−2−1012345B规范解答①在数轴上分别画出A、B两段区间；②A∩B取公共部分，得{x|3≤x<4}；③A∪B={x|x<−1或x≥0}；④在数轴上去掉A∪B，得∁U(A∪B)={x|−1≤x<0}。端点提醒A中−1取不到、3取得到，B中0取得到、4取不到，空心圈与实心点别画反。1404真题演练·易错清零用真题检验，用规范解答收口。152025高考真题精选（一）真题的难度，就是你该达到的熟练度。真题12025·全国一卷设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1,3,5}，则∁UA中元素个数为（）A.0B.3C.5D.8答：选CU={1,2,3,4,5,6,7,8}，∁UA={2,4,6,7,8}，共5个。真题22025·全国二卷已知集合A={−4,0,1,2,8}，B={x|x³=x}，则A∩B=（）A.{0,1,2}B.{1,2,8}C.{2,8}D.{0,1}答：选D162025高考真题精选（二）补集题的关键，全在端点上。真题32025·天津已知集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，B={2,3,5}，则∁U(A∪B)=（）A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{4}答：选DA∪B={1,2,3,5}，∁U(A∪B)={4}。真题42025·上海全集U={x|−2≤x≤5,x∈R}，集合A={x|2≤x<4,x∈R}，则∁UA=______。−20245答：∁UA={x|−2≤x<2或4≤x≤5}17规范解答示范：含参题怎么写才不丢分题目：已知集合A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2(a+1)x+a²−1=0}，若B⊆A，求实数a的取值范围。第一步解x²+4x=0得x=−4或0，故A={−4,0}。第二步因B⊆A，分三类讨论：①B=∅：方程无实根，Δ=8(a+1)<0，得a<−1，符合②B为单元素集：Δ=0，得a=−1，方程化为x²=0，B={0}⊆A，符合③B=A={−4,0}：由根与系数关系，−2(a+1)=−4且a²−1=0，解得a=1，符合综上：a≤−1或a=1书写规范：用①②③分类，每类写完给出结论，舍去的情形写明理由，末尾单独一行写“综上”。18易错警示清单：五处最易丢分集合题丢的分，八成丢在这几个细节上。①漏空集出现A⊆B，先把B是否为空集讨论一遍；方程ax=b要当心a=0