2027届高考数学复习考点考法通关训练第36讲 平面向量的数量积及运算分类练习(练习卷)

第36讲平面向量的数量积及运算·分类练习

考点一：平面向量的投影、投影向量.............................................................................................1

考法1：求解投影向量的坐标及模长...................................................................................1

考法2：已知投影（向量）求参数或模长...........................................................................2

考法3：投影与投影向量的综合应用...................................................................................2

考点二：平面向量的数量积运算.....................................................................................................2

考法4：利用定义与坐标公式计算数量积...........................................................................2

考法5：利用基底与线性表示计算数量积...........................................................................2

考法6：利用几何性质与投影计算数量积...........................................................................3

考法7：求解向量数量积的最值与范围...............................................................................3

考法8：数量积的综合应用与新定义...................................................................................3

考点三：平面向量的模长.................................................................................................................3

考法9：利用坐标运算求解向量模长...................................................................................3

考法10：利用数量积与平方法求解向量模长.....................................................................3

考法11：求解向量模长的最值与范围.................................................................................4

考点四：平面向量的夹角.................................................................................................................4

考法12：利用坐标运算求解向量夹角.................................................................................4

考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角.................................................................4

考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角.................................................................4

考法15：求解向量夹角的范围及综合问题.........................................................................4

考点五：平面向量的垂直问题.........................................................................................................5

考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题.........................................................................5

考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题.....................................................................5

考点六：平面向量的实际应用与综合.............................................................................................5

考法18：建立坐标系解决向量问题.....................................................................................5

考法19：向量的综合与创新应用.........................................................................................5

考点一：平面向量的投影、投影向量

考法1：求解投影向量的坐标及模长

1.（2026·安徽马鞍山·一模）已知，在上的投影向量是，则

1

（）|�|=2��2�|�−�|=

A.B.2C.D.4

323

2.（2026·山东淄博·模拟）平面向量，，则在上的投影向量坐

标为＿＿＿＿＿＿.�=(3,0)�=(1,2)��

考法2：已知投影（向量）求参数或模长

3.（2026·江苏苏北四市·一模）已知平面向量在向量上的投影向量为

，则＿＿＿＿＿＿.�=(�,5)�

(2,1)|�|=

考法3：投影与投影向量的综合应用

4.（2026·山东泰安·模拟）已知在中，，，，M

12

为BE与CD的交点，则向量在△�上��的投影�向�量⋅�的�模=的2最�小�值=为3（����）=��

A.B.����C.D.

4621

7732

考点二：平面向量的数量积运算

考法4：利用定义与坐标公式计算数量积

5.（2026·安徽淮南·检测）已知向量，，与的夹角为

，则（）�=(1,3)|�−�|=1��−�

∘

60A.�⋅�=B.C.1D.3

已知向量，，若

6.（20245·−河3北沧衡八县·一模2）−3

2

，则＿＿＿＿＿＿.�=(sin�−1,−1)�=(1,cos2�)

1

tan�=2�⋅�=

考法5：利用基底与线性表示计算数量积

7.（2026·湖南永州·二模）已知菱形的边长为2，，是的中点，

∘

则（）𝐴𝐴∠�𝐴=60���

��A.⋅1��=B.2C.4D.6

8.（2026·湖北云学联盟·模拟）中，，，是的中点，则

（）△𝐴�𝐴=3��=4���

��⋅A��.=B.7C.D.25

725

9.（20225·浙江杭州二中·检测）在中，内角2，，满足

．△𝐴����sin�+sin�=

s（in1(）�求−�)；

（2）若∠�为边上一点，，，，求的面积．

21

�����=3��+3��|��|=1𝐴⟂𝐴△𝐴�

考法6：利用几何性质与投影计算数量积

10.（2026·湖南株洲·检测）已知向量，将向量绕坐标原点逆

时针旋转角得到向量��，=则(c下os列�,说sin法�)正确的是（��）�

∘∘

A.���(B0.<�<180)C.

D.|��|<2|��+��|≥|��−��||��+��|≥

11.（20(2�6·�+广�东�汕)⟂头(�·�一−模��）)为圆的一条弦，且，则的值为＿＿

＿＿＿＿.𝐴�𝐴=2��⋅��

考法7：求解向量数量积的最值与范围

12.（2026·山东聊城·模拟）已知，，且满足，则

的最大值为（）|��|=2|��|=4��⋅��=0��⋅

��A.12B.16C.20D.24

13.（2026·山东枣庄·检测）在中，在上，，，

23

与的夹角为，则△的�最��大值为�＿,�＿＿�＿�＿＿.��=��=��|��|=3

�

����6��⋅��

考法8：数量积的综合应用与新定义

14.（2026·山东九五协作体·检测）已知为向量，则“”是

“或”的（）�,�,�(�−�)⋅�=0

�A=.�充分不�=必�要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件

考点三：平面向量的模长

考法9：利用坐标运算求解向量模长

15.（2025·广东深圳高中园·一模）已知向量满足，，

则（）�,��+�=(2,3)�−�=(2,−1)

22

|�A|.−|�|=B.C.0D.1

−2−1

考法10：利用数量积与平方法求解向量模长

16.（2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，，

，则（）�,�,�|�|=1|�|=2

|�|=A3.|�+�+�|=B.36C.或6D.3或36

33

考法11：求解向量模长的最值与范围

17.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知均为单位向量，且

，则（）�,�,�|3�+�|=−

27�A⋅.�

B.�⟂(�+2�)

242

C.|当�实+数�|=变化7时，的最小值为

3

D.若�，|�则+��|2

⟨�,�⟩=⟨�,�⟩�⋅(�−�)=0

考点四：平面向量的夹角

考法12：利用坐标运算求解向量夹角

18.（2025·广东衡水金卷·联考）已知向量，则

（）�=(1,3),�=(−2,1)cos⟨�,�−2�⟩=

A.B.C.D.

46523565435

19.（202665·山东临沂·模拟）已35知向量65，则向量35与的夹

角正切值为＿＿＿＿＿＿.�=(1,2),�−2�=(−5,0)��

考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角

20.（2026·广东东莞·模拟）已知，，与互相垂直，则

与的夹角为（）�=(1,−1)|�|=1�+2��−�

�A�.B.C.D.

���2�

4323

考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角

21.（2025·河北沧州五县·一模）已知向量满足，且，

则与的夹角为（）�,�|�|=|�|=1|�−2�|=3

�A.�B.C.D.

����

22.（20626·安徽安庆·二模）4已知向量，，且3，2，

则向量，夹角的余弦值为（）��|�|=|�|=2|�+�|−|�−�|=2

A.��B.C.D.

7773

±4−444

考法15：求解向量夹角的范围及综合问题

23.（2025·广东上进联考·联考）在中，“且”是

“为锐角三角形”的（）△𝐴���⋅��>0��⋅��>0

△𝐴�

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件

24.（2025·河北衡水中学·检测）已知向量，且

�+�

，则与夹角的最大值为（）|�|=|�|=4,�⋅�=−8,�=2|�−

�|=A1.��B.C.D.

���5�

64312

考点五：平面向量的垂直问题

考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题

25.（2026·安徽江淮十校·模拟）已知四边形为平行四边形，、

、，，若，则的𝐴值𝐴为（）�(2,−1)�(4,−

3)A�.(8,2)�=(�,−2)B.��⟂��C.D.7

44

26.（20−267·河北沧州八校·二7模）已知向量−7，，若，

则＿＿＿＿＿＿.�=(−2,�)�=(−1,1)�⟂(�+�)

�=

考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题

27.（2025·江西稳派上进·联考）已知向量，，若，则

（）�=(2,−1)�=(3,�)�⟂�

|�|=A.