版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领
文档简介
第35讲平面向量的概念与坐标运算·讲义
一、考情分析.....................................................................................................................................1
二、知识清单.....................................................................................................................................2
三、典题精练.....................................................................................................................................5
考点一：平面向量的基本概念..............................................................................................5
考点二：平面向量的线性表示..............................................................................................5
考点三：平面向量共线定理的应用......................................................................................7
考点四：平面向量基本定理及应用......................................................................................7
考点五：平面向量的直角坐标运算......................................................................................8
考点六：向量共线的坐标表示..............................................................................................9
考点七：平面向量的新定义问题........................................................................................10
四、高考真题...................................................................................................................................11
一、考情分析
1.考查频次与题型
年份题号与题型分值考察类型考察内容
2026第2题单选题5分直接平面向量基本定理
2025第6题单选题5分直接向量的加减法运算及几何意义
2024第3题单选题5分直接向量的坐标运算与垂直条件
近三年全国一卷中，平面向量的概念与坐标运算每年均有考查，题型均为单选题，分
值为5分。考查内容涵盖了平面向量基本定理、向量的线性运算及其几何意义、向量的坐
标运算与垂直条件，属于基础题。
2.命题角度与特色
（1）侧重基础与概念：主要考查向量的线性运算、坐标表示以及共线、垂直的充要
条件，难度较低。
（2）注重几何直观与实际情境：如2025年结合帆船比赛的实际情境，考查向量加减
法的几何意义及模长计算，强调数学知识的实际应用能力。
3.备考策略
（1）熟练掌握平面向量的加减法、数乘运算的几何意义及坐标运算法则，确保基础
运算零失误。
（2）牢记向量共线与垂直的坐标表示公式，能够熟练进行代数与几何的相互转化。
（3）深刻理解平面向量基本定理，能够利用基底准确表示未知向量，并能结合实际
情境构建向量模型解决问题。
二、知识清单
1.向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作.
（3）特殊向量：� � � � |� � |
①零向量：长度为的向量，其方向是任意的.
②单位向量：长度等0于个单位的向量.
③平行向量：方向相同或1相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：与任一向
量平行. 0
④相等向量：长度相等且方向相同的向量.
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算和向量共线定理
（1）向量的线性运算
运算定义法则（或几何意义）运算律
①交换律
求两个向量
加法②结合律（
和的运算 � + � = � + �
（
三角形法则平行四边形法则 � +�)+ � =
求与的 � +�+ � )
相反向量
减法 � 的和�的（
运算叫做
− � � − � = � +− � )
与的差三角形法则
�
（）
� 1
求实数与（（
（2）当时，与的方向相同；当
数乘向量的积|� � |=|�|| � |（
�时，与的方向相反；�� � )=��) �
的运算�>0� � � （
� 当时，�+�) � =� � +� �
�<0� � �
� � + � )=� � +� �
【易错提醒】�=0� � =0
（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成.
（2）两个向量共线要区别于两条 0直 线共线，两个0向量共线满足的条件是：两个向量
所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系.
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个
向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运
用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，
，� � −� � .=� � � � −� � =
�3 . � 平 面� 向 � 量=基� � 本 +定� 理 � 和⇔性� 质 � −� � =� � ⇔� � −� � =� � +� � =� �
（1）共线向量基本定理
如果（，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，
使. �（ =口�诀 � ：�数∈乘�即)得平 � 行∥， � 平行必有数乘 � ）∥. � � ≠ 0 �
� =（�2 �） 平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都
存在唯一� 的 1 一� 对 2 实数，使得，我们把不共线向量叫做表示 � 这一
平面内所有向量的一�组1,基�2底，记为 � =�1� 1 ，+�2� 2 叫做向量关于� 基1 ,� 底 2 的分解
式.{� 1 ,� 2 }�1� 1 +�2� 2 � {� 1 ,� 2 }
①推论1：若，则.
②推论2：若 � =�1� 1 +�2� 2 =�3，� 1 则+�4� 2 �1.=�3,�2=�4
【易错提醒】由平 � 面=向�量1� 基1 +本�定2� 理2 =可 0 知：只�1要=向�量2=0与不共线，平面内的任一向量都
可以分解成形如的形式，并且这样的� 1分 解� 2 是唯一的.叫做 � 的
一个线性组合.平 � 面=向�量1� 基1 +本�定2� 理2 又叫平面向量分解定理，是平面向�量1� 正 1 +交�分2� 解 2 的理� 论1 ,依� 2
据，也是向量的坐标表示的基础.
（3）线段定比分点的向量表达式
在中，若点是边上的点，且（，则向量.在
� � +�� �
向量线△性表𝐴示�（运算）�有关的�问�题中，若能� 熟 � 练=利�用� � 此结�论≠−，1往)往能有“� 化 � 腐=朽为1+神�奇”
之功效，建议熟练掌握.
（4）三点共线定理
平面内三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中
，为平面�内,�一,�点.此定理在向量问题中经常用到�,，�应熟� 练 � 掌=握�� . � +�� � �+
�=1�三点共线等价于以下任一条件：
�①,�存,�在唯一的实数，使得；
②存在唯一的实数�，使得� � =�� � ；
③存在唯一的实数�，使得� � =� （ � +�� � ；
④存在，�使得� � =1−�).� � +�� �
（5）中�线+向�量=定1理� � =�� � +�� �
在中，若点是边的中点，则中线向量（，反之亦正确.
1
4.平面△向量𝐴的�数量积与�投影��� � =2� � +� � )
（1）向量的夹角：已知两个非零向量和，作，，则
（叫做向量与的夹角.当 � 时 �， 两向� 量 � 同=向 � ；� 当 � = � 时，∠�两�向�量=反向；
�当0≤时�≤，两�)向量垂直 ，� 记 � 作.�=0�=�
�
�=（22）数量积的定义：已知 � 两⟂ �个 非零向量和，它们的夹角为，则数量叫
做与的数量积（或内积），记作，即 � � .规定：�零向量与|任 � ||一 � |向co量s�的
数 �量 积 � 为. � ⋅ � � ⋅ � =| � || � |cos�
（3）0投影：
①投影量（数量投影）：叫做向量在向量上的投影量，计算公式为
.| � |cos� � �
� ⋅ �
| � |cos�=| � |
②投影向量：向量在向量上的投影向量为（.
� � ⋅ �
2
（4）数量积的性质 � ： � | � |cos�⋅| � |=| � |) �
①或.
2
② �若 ⋅ � =为| �非 |零向| � 量|=，则 � ⋅ � .
③ � , � （当且仅 � ⟂当 � ⇔ � 时⋅ �等 =号0成立）.
（5| ）� ⋅数 � |量≤积| � 的|| � 运|算律： � ∥ �
①交换律：.
②数乘结合 �律 ⋅： � （= � ⋅ � （（.
③分配律：（� � )⋅ � =� � ⋅ � ).= � ⋅� � )
5.平面向量的坐标表 � +示 �及 )坐⋅ � 标=运 � 算⋅ � + � ⋅ �
（1）平面向量的坐标表示
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，
那么由平面向量基本定理可知，对�于平面�内的一个向量，有且只有一对实数 �,� 使
，我们把有序实数对（叫做向量的坐标，记 � 作（.�,� � =
� �+（� �2）向量的坐标表示和以�,坐�)标原点为起 � 点的向量是一 � 一=对应�的,�)，即有
向量（向量点（.
（3）设�,�)⇔（� � ， ⇔（��,�)，则（，（
， �即 =两个�向1,量�1的)和 � 与=差的�2坐,�标2)分别 �等 +于 � 这=两个�向1+量�相2,应�1坐+标�2的)和 � 与−差 � .=�1−
�2,�1若−�2)（，为实数，则（，即实数与向量的积的坐标，等于用该实
数乘原 �来 =向量�的,�相)应�坐标.� � =��,��)
（4）设（，（，则（，即一个向
量的坐标等于�该向�1量,�的1)有向�线�段2,的�2终)点的� 坐 � 标=减� � 去 −始� 点 � 坐=标.�2−�1,�2−�1)
6.平面向量的直角坐标运算
（1）已知点（，（，则（，
��1,�1)��2,�2)� � =�2−�1,�2−�1)|� � |=
（（.
22
2121
�（−2）�已)知+�（−�)，（，则：
①线性运算 � ：=�1,�1（) � =�2,�2)，（.
②数量积： � ± � =�1±�.2,�1±�2)� � =��1,��1)
� ⋅ � =�1�2+�1�2
③模长：.
22
| � |=�1+�1
④夹角公式：.
� ⋅ � �1�2+�1�2
cos�=| � || � |=2222
⑤共线与垂直的充要条件：�1+�1�2+�2
；
� ∥ � ⇔�1�2−�2�1=0（为非零向量）.
【防 �坑 ⟂警 � 示⇔】�1�2+�1�2=0 � , �
（1）向量的数量积不满足结合律，即（（，因为前者是与共线的向
量，后者是与共线的向量. � ⋅ � ) � ≠ � � ⋅ � ) �
（2）由 � 且，不能推出，只能推出（.
（3）向 �量 ⋅的 � 模=满 � ⋅足 � 三 �角 ≠不 0 等式： � = � � ⟂ � −， � )当且仅当共线
时等号成立.|| � |−| � ||≤| � ± � |≤| � |+| � | � , �
三、典题精练
考点一：平面向量的基本概念
考法1：辨析平面向量的基本概念
例1.（2026·山东济南·二模）已知为非零向量，则“与共线”是“与共
线”的�,��+��−���
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【考点一方法总结】
1.证明向量共线的充要条件时，常设或利用线性组合的系数关系进行推导.
� =� �
考点二：平面向量的线性表示
考法2：化简向量的线性表达式
例2.（2026·广东深圳·二模）在平行四边形中，，则
A.𝐴��B.� � =2� � � � =
5212
−3� � +3� � −3� � +3� �
C.D.
1252
考法3：3利� � 用+基3底� � 表示目标向量3� � +3� �
例3.（2026·江苏南京·二模）已知四边形为正方形，为线段上一点（不包括
端点，），则𝐴�����
�A.�（� � =，（B.（，（
C.�（� � +� � )，�∈（0,1)D.�（� � +� � )，�∈（0,2)
考法4：�利� 用 � 向−量� 线 � )性表�∈示求0参,1数)�� � −� � )�∈0,2)
例4.（2025·江西萍乡·一模）在中，是上一点，满足，是的
中点，若，则△𝐴����� � =2� � ���
A.� � =𝐴 � +𝐴 � B.�+�=C.D.
5755
例5.（26026·江西九江·二模）8在平行四边形中4，，分别是，8的中点.若
，则𝐴��������
� � =A�.� � +�� � �−�B=.C.D.
3113
考法5：−利4用向量线性运算求模−长444
例6.（2026·浙江宁波·二模）已知正方形的边长为，则
A.B.𝐴��C.1|� � +� � D −.� � |=
考法：结合几何性质解决向量综合问题
60122
例7.（2026·福建厦门双十中学·检测）已知点是的重心，点是所在平面
内一点.若，且�△（𝐴��），△则𝐴�
A.� � =�1� � +�1� � � � =�2� � +�2� B � .�1,�2,�1,�2∈�
C.�1=3�2,�1（=3�2D.�2=3�1,�2（=3�1
【考点二�1方+法�1总=结3】�2+�2)�2+�2=3�1+�1)
1.平面向量的线性表示与化简：
（1）平面向量线性表示的核心是“目标拆解”，利用三角形法则或平行四边形法则，
将未知向量向已知基底方向逐步转化.
（2）基底转换问题的关键是找到新旧基底之间的线性关系，通过代入消元实现基底
的统一.
（3）求多个向量和差的模长，首选化简向量表达式，将其转化为单个已知模长的向
量，再进行计算.
2.结合几何性质的向量问题：
（1）点在线段上（不含端点）可转化为向量的数乘关系，系数（.
（2）利用平面向量基本定理求参数，通常从几何图形出发，推�导∈目标0向,1量)的基底表
示，对比系数即可求解.
（3）三角形重心的向量性质是实现向量转化的重要桥梁.
�� � +� � +� � =�
考点三：平面向量共线定理的应用
考法7：利用向量共线定理求参数
例8.（2026·山东淄博·二模）已知向量，不共线，且，（
，若与共线，则实数的值为 � � � =� � + � � =2 � +2�−
3) � A. � � �B.C.或D.或
111
【考点三2方法总结】−22−2−22
1.若不共线，且，则必有且.
� , � � � +� � =� � +� � �=��=�
考点四：平面向量基本定理及应用
考法8：利用平面向量基本定理求参数
例9.（2026·湖南邵阳·联考）在平行四边形中，点在线段上，且.若
2
，其中，则𝐴�����𝐴=3��
� � =A�.� � +�� � �,�B∈.��+�=C.D.
1221
考法9：−利3用平面向量基本定理−与3三点共线定理求参数33
例10.（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形中，，点是靠近的三
等分点，过的直线分别交射线于不同的两点𝐴，�𝐴=6，�，�则下
列选项中不�正确的是𝐴,���,�� � =�� � � � =�� �
A.B.
217
C.� � =3� � +3� � D.cos∠�的�最�=小值21为
128
例11.（22�02+6·�浙=江3宁波十校·联考）（多选）如图所�示+，�已知3，点，满足
，，与交于点，交于点，△𝐴�，则��
11
� � =2� � � � =3� � ��𝐴������� � =�� �
A.B.
122
C.� � =5� � +5� � D.� � =5� �
222
考法10�：=利5用平面向量基本定理与三点共线定理求最� 值 � =5� � +5� �
例12.（2026·安徽铜陵·模拟）在中，点为边的中点，过点的直线与，
两边（或其延长线）分别交于点△，𝐴，�设�，��（�，𝐴则
1
�的�最小值为��� � =�� � � � =�� � �>0,�>0)�+
2
�A.B.C.D.
13
例13.（22+0262·山东济宁·二模1）+是2的重心，过2+点2且不过顶点2的+直2线分别
交边，于点，，记�和△𝐴�的面积分别为�，则△�的��最小值是___�__.
�1
【考�点�四方��法总结�】�△𝐴�△𝐴��1,�2�2
1.平面向量基本定理与三点共线的综合应用：
（1）向量的线性表示常以图形为载体，利用向量的加减法法则进行首尾相接的拆分.
（2）三点共线，若，则必有.
（3）“爪�子,型�,”�图形中，利� � 用=双�重� � 三 +点�共� 线� 列方程组�是+求�解=交1点向量表示的通法.
（4）三点共线定理常与基本不等式结合，解题步骤为：找共线得关系式乘“1”
展开用基本不等式求最值.→
（→5）面积比问题常转化为边长比（即向量的系数比），结合三点共线关系式，利用
代数方法求最值.
考点五：平面向量的直角坐标运算
考法11：进行平面向量的坐标线性运算
例14.（2026·广东华南师大附中·检测）在平面直角坐标系中，点的位置如图所
示，则_____.（用坐标表示）�,�,�,�
2� � −� � =
考法12：利用坐标运算求向量的模
例15.（2026·广东佛山·二模）设向量（，（，则
A.B. � =3,−C7.) � =−5,8)D| � .− � |=
考法：建系坐标化解决几何问题
13581517
例16.（2026·山东潍坊·二模）已知正方形的边长为，点满足（
1
，则_____.𝐴��2�� � =2� � +
� 考 � 法)14：|� 解 � 决|=平面向量坐标运算的综合问题
例17.（2026·安徽淮北·一模）（多选）将平面向量绕起点逆时针旋转角得到的向量
记为（，已知向量（，（，� （（�，则
�∗
�1 �+1�4
A.� （ )（（� =1,0)�=2,0)� =� )+��∈�)
B.（� )�)�=（� )2�（
C.� +（ � )�=（� )�+ � )�
��
D.� 3 =� 1 )2+ � )4+2 �
【考点五2方025法总结】
|� |=1
1.平面向量坐标运算的技巧：
（1）网格图中的向量问题，首选建立直角坐标系，将几何运算转化为坐标的代数运
算.
（2）向量坐标运算中，是基础，需熟练掌握.
22
（3）对于规则的几何图|形 � |（=如正�方+形�、矩形等），建系坐标化是避免复杂几何推理
的有效手段.
（4）新定义问题需紧扣定义，将其转化为熟悉的坐标运算，寻找规律（如周期性）
是解题关键.
考点六：向量共线的坐标表示
考法15：判断向量共线或平行的坐标条件
例18.（2026·山东泰山教育联盟·模拟）已知向量（，（，则“
”是“”的 � =�,1) � =4,�)�=
2 � ∥ �
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
例19.（2026·湖南师大附中·模拟）已知向量（，（，则，
（)，则下列表述正确的是 � =2,1) � =2,−1)� =� � + �
� = �A +.存� �在 唯�一,�的∈实�数对（，使得
B.存在唯一的实数对（�,�)，使得� ∥ �
C.存在唯一的实数对（�,�)，使得� ⟂ �
D.存在唯一的实数对（�,�)，使得� = �
考法16：利用向量共线的坐�标,�表)示求参|数� |=| � |
例20.（2026·安徽临泉田家炳实验中学·二模）已知向量（，（，若
，则 � =3,4) � =�,1)
� �
| � |=A|�.|�=B.C.D.
3443
例21.（42026·浙江台州·二模3）已知平面向量（−3，（，−4，若
，则的最小值为_____. � =1,2) � =�,�−
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 儿童玩物甄选活动方案策划(3篇)
- 出仓作业应急预案(3篇)
- ppr带压力施工方案(3篇)
- 冰雪防冻防滑应急预案(3篇)
- 丙纶布施工方案报价(3篇)
- 1-1-3-1-Terphenyl-4-4-4-6-tetracarboxylic-acid-生命科学试剂-MCE
- 哈啰新媒体营销方案(3篇)
- 围墙窗口施工方案范本(3篇)
- 地铁支撑的施工方案(3篇)
- 大型室外泳池施工方案(3篇)
- 第8课《回忆鲁迅先生》课件+++2025-2026学年统编版语文八年级上册
- 2025年综合类-心理咨询师考试-心理咨询师（三级）历年真题摘选带答案(5卷100道集锦-单选题)
- 克罗恩病超声表现
- TCS-900系统组态工程师培训-系统硬件
- 利他销售培训
- 用电安全与人走断电规范
- 建筑装饰装修室内空间照明设计应用标准
- 《神经退行性疾病》课件
- 贵州省考试院2025年4月高三年级适应性考试化学试题及答案
- 2025年郑州铁路职业技术学院单招职业适应性测试题库必考题
- 水库施工便道合同
评论
0/150
提交评论