线性代数 第六章

线性代数第6章线性空间与线性变换线性空间的定义与性质维数、基与坐标基变换公式和坐标变换公式线性空间的同构4123线性变换56.1线性空间的定义与性质线性空间的性质线性空间的定义216.1.1线性空间的定义定义1设V

是一个非空集合，R

为实数域.如果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V

与之对应，称为α

与β

的和，记作γ=α+β；又对于任一数λ∈R

与任一元素α∈V，总有唯一的一个元素δ∈V

与之对应，称为λ

与α

的积，记作δ=λα；并且这两种运算满足以下8条运算规律()：(1)(2)(3)在V

中存在零元素0，对任何α∈V，都有。(4)对任何α∈V，都有α

的负元素β∈V，使。(5)(6)(7)(8)那么，V

就称为(实数域R上的)向量空间(或线性空间)，V

中的元素不论其本来的性质如何，统称为(实)向量。例1次数不超过n的多项式的全体，记作

，即通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，故只要验证

对运算封闭。所以

是一个向量空间。例2n次多项式的全体对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空间。这是因为即

对运算不封闭。例4设是数域F

上n

次多项式全体所成的集合，关于多项式的加法和数乘不构成数域F

上的线性空间。这是因为V关于多项式的加法不封闭，例如但。例5设是数域F

上n

维列向量全体。集合Sn

非空，如果在集合Sn

上这样定义加法和数乘运算:设定义集合Sn

关于上面定义的加法和数乘运算封闭，但运算不满足规律(5)。因为当α≠0时，

。所以，Sn

关于如上定义的加法和数乘运算不构成线性空间。6.1.2线性空间的性质零元素是唯一的。性质1证所以设01，02

是线性空间V

中的两个零元素，即对任何α∈V，有

，于是特别有任一元素的负元素是唯一的。α

的负元素记作-α。性质2证设α

有两个负元素β，γ，即

，于是性质3证所以所以性质3如果

则

或。证若

在

两边乘

，得所以而6.2维数、基与坐标定义1在线性空间V

中，如果存在n个元素

满足:(1)线性无关;(2)V

中任一元素α总可由

线性表示,那么

就称为线性空间V

的一组基，n称为线性空间V

的维数。只含一个零元素的线性空间没有基，规定它的维数为0。维数为n

的线性空间称为n

维线性空间，记作Vn。对于n维线性空间Vn，若知

为Vn

的一组基，Vn

可表示为若

为Vn

的一组基，则对任何α∈Vn，都有唯一的一组有序数

，使反之，任给一组有序数

，总有唯一的元素这样Vn

的元素α

与有序数组

之间存在着一一对应的关系，因此可以用这组有序数来表示元素α。于是有下列定义：定义2设

是线性空间Vn

的一组基，对于任一元素α∈Vn，总有且仅有一组

使那么，

就称为元素α

在

这组基下的坐标，并记作例1在线性空间

中，

是它的一组基，任取一个次数不超过4的多项式它在基

下的坐标是。显然，

也是的一组基,且因此，f(x)在基

下的坐标是6.3基变换公式和坐标变换公式使(6.3.1)设

与

是n维线性空间V

的两组基，于是存在可逆矩阵及可逆矩阵Q即(6.3.2)可把式(6.3.1)和式(6.3.2)写成(6.3.3)及(6.3.3)式(6.3.1)与式(6.3.2)(或式(6.3.3)与式(6.3.4))称为基变换公式。P

称为由基

到基

的过渡矩阵；Q

称为由基

到基

的过渡矩阵，其中Q=P-1。在基

下的坐标为设数域F

上n

维线性空间V的向量α在基

下的坐标为因为及或式(6.3.5)和式(6.3.6)称为坐标变换公式。(6.3.6)(6.3.5)且α

在基

下的表示法唯一，所以有例1在

中取两组基以及求

中任一多项式在这两组基下的坐标变换公式。解因为

也是

的一组基，且其中于是得到坐标变换公式用矩阵的初等行变换求B-1A:把矩阵(B┊A)中的B

变成E，则A

即变成B-1A，计算如下即得6.4线性空间的同构设V

是数域F

上的n

维线性空间，

是V

的一组基。由6.3节可知，对任意的α,β∈V，它们在这组基下有唯一确定的坐标:于是，对任意的λ∈F，这样可以在线性空间V

与有序n

元数组所生成的向量空间Fn

之间建立起一个一一对应的映射，使显然，映射f

还保持了线性空间V

与Fn

的线性运算关系，即我们把具有这些性质的映射f

称为从线性空间V

到Fn上的同构映射。(1)f是从V1

到V2

上的一一映射，即对任意α,β∈V1，f(α)=f(β)当且仅当α=β，且对任意β∈V2

，一定有唯一的α∈V1，使f(α)=β(2)对任意的α,β∈V1，有f(α+β)=f(α)+f(β);(3)对任意的α∈V1，任意的λ∈F,有f(λα)=λf(α)则称f

是V1

到V2

上的一个同构映射。如果两个线性空间之间存在一个同构映射，就称这两个线性空间同构。定义1设V1，V2

是数域F

上的两个线性空间，如果从V1

到V2

有一个映射

，满足定理1数域F上任意一个n维线性空间V和数域F

上有序n元数组的向量空间Fn同构。线性空间的同构具有下述性质:由定义1(2)，(3)知在定义1(3)中，分别取，就有(1)(2)如果由(2)，有反之，由得因为f

是一一映射的，所以必须(4)同构的线性空间的维数相等，反过来，维数相等的线性空间都同构。(3)设

是线性空间V1

到V2

上的同构映射，那么V1

中的向量组

线性相关当且仅它们在V2

中的像

线性相关。6.5线性变换本节内容

1线性变换的定义

3线性变换的矩阵表示

2线性变换的性质6.5.1线性变换的定义定义1设有两个非空集A，B，如果对于A

中任一元素α，按照一定的规则，总有B

中一个确定的元素β

和它对应，那么这个对应规则称为从集合A到集合B

的映射。常用字母表示一个映射，例如把上述映射记作T，并记(6.5.1)或设α1∈A，T(α1)=β1，就说映射T

把元素α1

变为β1。β1

称为α1

在映射T下的像，α1称为β1在映射T

下的源。A

称为映射T的源集，像的全体所构成的集合称为像集，记作T(A)，即显然。定义2设Vn，Um

分别是n

维和m

维线性空间，T

是一个从Vn

到Um

的映射，如果映射T满足:(1)任给(从而)，有(2)任给(从而)，有那么T

就称为从Vn

到Um

的线性映射，或称为线性变换。例1如图6-1所示，在平面上建立了直角坐标系xOy以后，如果用平面向量

的终点P坐标的列向量来表示向量

，那么定义了平面上的一个旋转变换Rθ:它把平面向量

逆时针旋转θ角后变为平面向量

。根据矩阵运算(加法和数乘)的基本性质，容易看出，这是二维实向量空间R2上的线性变换。定义例2考虑数域F

上次数不超过n的一元多项式全体所成的线性空间

上的微商算子。对任意的根据多项式微商的基本性质，D是

上的线性变换。6.5.2线性变换的性质线性变换具有下述基本性质:(1)(2)若,则(3)若

线性相关，则

亦线性相关。

注意性质(3)的否命题是不成立的，即基

线性无关，则

不一定线性无关。(4)线性变换T

的像集T(Vn)是一个线性空间，称为线性变换T

的像空间。证设

，则有

，使

，从而由上述证明知它对Vn

中的线性运算封闭，故是一个线性空间。(5)使

的α

的全体也是一个线性空间。ST

称为线性变换T

的核。证若即则若即则所以以上表明ST

对线性运算封闭，所以ST是一个线性空间。例3设有n

阶矩阵其中,定义Rn

中的变换

为则T为线性变换。这是因为设

则又由于T的像空间就是由

所生成的向量空间T的核ST

就是齐次线性方程组

的解空间。6.5.3线性变换的矩阵表示(6.5.1)用矩阵形式来表示，有定义3设

是数域F

上n维线性空间V

的一组基，T

是V

上的线性变换，那么基向量在T

下的像可由这组基唯一地线性表示(6.5.2)其中，矩阵