电路分析教程（第5版）课件 第5章 动态电路的瞬态分析

第5章动态电路的瞬态分析本章重点

动态电路的时间域分析涉及许多重要概念和方法。学习本章，要掌握好以下内容：

1.

储能元件概念，一阶电路微分方程与在直流信号和阶跃信号作用下的零状态响应。

2.

换路定律与零输入响应的概念，时间常数的概念与求法。

3.

分析一阶电路的三要素法经常应用，要认真掌握好。

4.

冲激函数与冲激响应的概念。5．二阶电路微分方程和零输入响应的特点。

6．二阶电路阶跃响应和冲激响应的求法。学习导引：

宇宙万物之中，静是相对的，动是绝对的。一池静水固然怡人，但知变化之道者，则不疾而速，不行而至。5.1储能元件5.2一阶电路的零输入响应5.3一阶电路的零状态响应5.4一阶电路：三要素法5.5冲激函数与冲激响应5.6二阶电路与零输入响应5.7二阶电路的零状态响应5.8应用实例本章目录5.1储能元件5.1.1电容元件实际电容器是一种能聚集电荷的元件，所以电容器具有储存电场能量的本领。可以用只储存电场能量的理想电容元件(capacitor)作为实际电容器的模型。图5-1为电容元件的结构、符号与特性曲线。图5-1电容元件及其特性

一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电荷q与电压u的关系可以唯一地用u-q平面上的一条曲线所表征，即有代数关系f（u，q）＝0

则此二端元件称为电容元件。

电容上电荷与电压的关系最能反映这种元件的储能特性。因此，电容元件的概念为：图5-1电容元件及其特性如图5-1(e)所示，在任意时刻其特性是通过u-q平面坐标原点的一条直线，则称之为线性时不变电容元件，以后简称为电容。若电容量的大小为C，则电容上必有现在来研究电容的电压电流关系(VCR)。若电容上电压与电流方向一致（如下图所示），考虑到故有上式表明，在任一时刻，电容电流与其电压的变化率成正比。对于直流电压，由于，故i(t)=0，即电容元件对直流相当于开路（断路）。

若电容上电流i(t)为已知，则在时刻t，由上式，可得电容上积累的电压为上式表明，某一时刻t电容上电压的值与t时刻以前电流的全部历史有关。即使t时刻电流为零，但电容上电压仍可能存在。这说明电容有记忆作用，因而常称电容为记忆元件。上式中以积分变量x区别于积分上限t。若电容上u与i方向不一致(非关联)，则有

再来看电容的储能情况。电容的记忆特性是它具有储存电场能量本领的反映。由于在t时刻电容的瞬时功率为从而电容在t时刻的储能为通常总是假定t=-∞时电容上电压为零，从而图5-2实际电容器图5-3各种电容器5.1.2电感元件1831年法拉第用他的简单装置发现了电磁感应定律，如图5-4所示。电感元件(inductor)是实际线圈的模型。图5-4电感的磁场及应用电感元件中电流i(t)与磁通

(t)的关系最能反映该元件的性质，所以电感元件的概念可叙述如下：

一个二端元件，如果在任一时刻t，其电流i(t)和磁通

(t)的关系可以唯一地用i-

平面上的一条曲线所表征，即有代数关系f（i，

）＝0

则此二端元件称为电感元件。图5-5所示为电感元件及其典型的特性曲线。如果电感元件的磁通为电流的线性函数，即式中，L为常数，则此电感元件称为线性的，它的特性曲线如图5-5(b)所示，其斜率即为电感量L。若在任何时刻该直线的斜率不变，则称为线性时不变电感，以后简称为电感。若电感元件不是线性的，则为非线性电感，如图5-5(c)所示。图5-5电感元件及其特性1.电感的电压电流关系(VCR）在电流与电压的关联参考方向下，如果电压的参考方向与磁通的方向符合右手法则，根据法拉第电磁感应定律，感应电压与磁通的变化率成正比。即对线性电感，因

(t)=Li(t)，故在u、i方向一致时，有若电感上电压与电流方向为非关联参考方向，则关系如下2.电感的储能在任一时刻，电感的储能为设t=-∞时i(-∞)=0，则与电容的推导相类似，可得即电感在任一时刻的储能仅取决于该时刻的电流，而与i(t)的历史无关。电感对直流相当于短路。图5-6实际电感器图5-7实际电感器

例如图5-8(a)所示，将电感接于电压源uS(t)。设L=0.5H，i(0)=0，试求电感中的电流。图5-8

解

电压uS(t)的表达式为uS(t)=3V(0≤t≤0.5s)0(t>0.5s)当0≤t

≤0.5s时，i(t)=6tA(0≤t≤0.5s)3A(t>0.5s)当

t

>0.5s时，归纳起来为其波形如图5-8(c)所示。2.电视机偏转线圈扫描电压的产生电视机显像管的电子束水平扫描电路模型如图5-9(a)所示。图5-9电视机偏转线圈模型分析一次正程扫描时间为回程扫描时间为所以，当0≤t

≤

53.5s时，当53.5s≤t≤63.5s时，其波形如图5-9(c)所示。结论：电容和电感元件均为储能元件。电容上电流与其电压的变化率成正比；电感上电压与其电流的变化率成正比。这与电阻元件不同。电容和电感元件均是记忆元件。因为电容在t时刻的电压与t时刻以前的电流有关；电感上在t时刻的电流与t时刻以前的电压有关。线性正电容和正电感都是无源元件。电容对直流相当于开路；电感对直流相当于短路。

基本变量的关系图5-10引出忆阻器

5.1.3电容和电感的等效电容的并联等效图5-11电容并联及其等效电路由等效概念，等效电容：C=C1+C2i(t)=i1+i2

图5-11(a)所示为两个电容并联。在u、i方向一致时，根据KCL可得电容的串联等效

图5-12电容的串联与等效电路式中u(t)=u1+u2

图5-12(a)所示为两个电容串联。在u、i方向一致时，由KVL可得即等效电容：电感的串联等效：与电容的并联对偶，即

图5-13电感的串联及其等效电路电感的并联等效：与电容的串联对偶，即

图5-14电感的并联及其等效电路扩展：电压型支路与电流型支路的等效互换，如图5-15所示。

图5-15

对图5-15(a)：电压型电源支路

电流型电源支路二者有相同的VCR关系，故等效。其余类推，请思考。阅读与思考储能元件又称动态元件，如何理解动态元件的记忆特性？电容和电感元件变换电压或电流波形的本质是什么？5.2一阶电路的零输入响应1.一阶电路与换路定律2.零输入响应与时间常数5.2.1一阶电路与换路定律图5-16RC电路一阶电路方程

（在时域中的描述）

图5-17RL电路uR(t)+uC(t)=uS(t)iR(t)+iL(t)=iS(t)

一般形式：y

(t)+ay(t)=f(t)

换路定律

1、一般情况下，电容电流iC为有限值，也为有限值，在极小的时间间隔dt内，duC也应该为极小值，即电容电压uC是随时间连续渐变的，即不能跃变。如果uC发生跃变，则有iC就不是有限值了。所以，一般情况下电容电压是不能跃变的，电容电压的变化需要时间。对于t=0时刻来说，电容电压的连续性可以表示为式中表示0时刻前的瞬间，表示0时刻后的瞬间。称为初始状态。

2、一般情况下，电感电压uL为有限值，也为有限值，在极小的时间间隔dt内，diL也应该为极小值，即电感电流iL是随时间连续渐变的，即不能跃变。如果iL发生跃变，则有uL就不是有限值了。所以，一般情况下电感电流是不能跃变的，电感电流的变化需要时间。对于t=0时刻来说，电感电流的连续性可以表示为式中表示0时刻前的瞬间，表示0时刻后的瞬间。称为初始状态。换路定律：

若把换路时刻t=0取为计时起点，以t=0_表示换路前的最后瞬间，以t=0+表示换路后的最前一瞬间，则电容上电压和电感中电流可分别表示如下电容的电流值有限时，uC(t)不能跃变；电感上电压值有限时，iL

(t)不能跃变。

所以t=0+时有

按换路定律，有

uC(0+)=uC(0

)iL(0+)=iL(0

)

0+起始值

初始状态5.2.2零输入响应与时间常数概念

一阶电路中，设f(t)=0，则y

(t)+ay(t)=0

特征根

=

a

故

y(t)=y(0+)e

at(t≥0)

从观察的起始时刻t0起不再加输入信号（即零输入），仅由t0以前的历史输入或t0时刻动态电路的储能状态引起的响应称为零输入响应（或称储能响应）。图5-18电容的放电

对t

≥0而言，由图5-18，有(t

≥0)

特征根

故储能响应

其中uC(0+)=uC(0

)=U0uC(t)的变化快慢取决于电路参数RC。(t

≥0)

上述RC电路的放电过程的快慢取决于指数式中的RC乘积，这一电路常数称为时间常数(timeconstant)，用τ表示，单位为秒(s)。它与特征根的关系为

RC电路：

RL电路：不同t值对应的y(t)t0

2345…

10.3680.1350.0500.0180.007…0图5-19不同t值时y(t)衰减曲线

时常数越小，表明变化越快。工程上一般认为5

以后瞬态过程就结束了。图5-20过渡过程的不同情形

例如图5-21所示电路，已知R=4

，L=0.1H，US=24V，开关在t=0时打开，求t

0时的电流i，其中电压表的内阻RV=10k

，量程为100V。问开关打开时，电压表有无危险？图5-21

解因t=0

时，电感相当于短路，故u(0

)=0。而

所以iL(0+)=iL(0

)=6A

时常数

所以(t

≥0+)电压u(t)为

故u(0+)=

60kV

这就是说，在开关打开瞬间，电压表两端要承受

60kV的高压，而表的量程只有100V，所以电压表立即被打坏。工程中为安全起见，应在开关断开前先把电压表移去。或者改善电路接法，你能想到方法吗？5.3一阶电路的零状态响应1.零状态响应的概念2.阶跃函数与阶跃响应3.线性与时不变性5.3.1零状态响应的概念零状态响应

一阶电路微分方程的一般形式为y

(t)+ay(t)=f(t)

当电路中储能状态为零时，由外加激励信号产生的响应（电压或电流）称为零状态响应。求解公式（对一阶电路）

依此可以导出求零状态响应y(t)的一般方法。将上式两边乘以eat，得eaty

(t)+aeaty(t)=eat

f(t)

即从0

到t积分上式，有

即

设激励f(t)在t=0时加入，它不可能在t=0以前引起响应，故y(0

)=0，从而得零状态响应(5-1)(t

≥0)1.RC电路的零状态响应

电路方程图5-22RC电路

利用公式(5-1)，有(t

≥0)(t

≥0)(t

≥0)图5-23RC电路的零状态响应

例设RC电路如图5-24所示。设t=0时开关接通“1”，当t=30ms时开关接通“2”，当t=48ms时开关再接通“3”。试求这三种状态时uC(t)和iC(t)的瞬态响应。图5-24

解在t=0电源开始对C充电，响应为故有

当开关接通“2”时，电容应保持电压不变，因t=30ms，远大于5τ，故电压uC=10V。

当开关接到“3”时，电容通过电阻R2放电，这时放电时间常数为从而可解得

综合起来，t≥0后的uC(t)和iC(t)变化曲线如图5-25所示。图5-252.RL电路的零状态响应

电路方程图5-26电感的充电过程即这里，代入式(5-1)中，得零状态响应：响应的分解（一般输入）

如图5-27所示电路，输入uS(t)=(1

e

2t)，t≥0

；求t≥0

时响应uC(t)。开关打开前电路已处稳态。图5-27

初始状态：uC(0

)=4V

起始值：uC(0+)=uC(0

)=4Vt

0时电路方程：

零输入响应：

零状态响应：(t

≥0)(t

≥0)

完全响应：5.3.2阶跃函数与阶跃响应单位阶跃函数

若阶跃信号迟延，则

1(t>0)0(t<0)

(t)=

1(t>t0)0(t<t0)

(tt0)=图5-28阶跃响应

若一阶电路方程y

(t)+ay(t)=b

(t)

则阶跃响应为

储能状态为零的动态电路，在单位阶跃信号作用下产生的受激响应称为阶跃响应。用s(t)表示。5.3.3线性与时不变性线性

对线性电路，必有a1f1(t)+a2f2(t)

a1y1(t)+a2y2(t)微、积分特性

时不变性

线性时不变（Linear-TimeInvariant，LTI）图5-29

例如图5-29所示电路，输入为方波uS(t)，试求零状态响应uC(t)。设，A=5V。

解

uS(t)=A

(t)

A

(t

t0)电路方程

10

(t)作用

由时不变性，10

(t

t0)作用

由线性，则响应叠加(t

≥0)(t

≥t0)

零状态响应波形：图5-30(a)对脉冲序列输入，应用时不变性：图5-30(b)5.4一阶电路:三要素法

对一阶电路方程

y

(t)+ay(t)=f(t)(t

≥

0)

其解一般由稳态响应与瞬态响应组成，对直流或阶跃信号而言，其稳态解为常数，所以

三要素公式：

(t

≥0)

令t=0+，则起始值y(0+)=y(

)+K

从而K=y(0+)

y(

)

故得一般公式：（三要素：y(

)、y(0+)、

）对电压响应和电流响应可分别表示为三要素的求法

y(0+)：换路前，求初始状态uC(0

)或iL(0

)

定uC(0+)或iL(0+)；用电压源uC(0+)和电流源iL(0+)分别代替电容和电感，则可求其他元件的起始值。y(

)：换路后，作t

的等效电路：电容开路可定uC(

)，电感短路可定iL(

)。继而可定其他y(

)。

：换路后，除电容和电感外，将电路等效为戴维宁电路或诺顿电路（图5-31）。则时间常数

=R0C（对RC电路）（对RL电路）图5-31求时间常数的最简电路

例

如图5-32所示电路，已知R1=3Ω,R2=6Ω,C=1F,

US=18V,t<0时电路已处于稳态。试对t≥0+求响应uC(t)和i(t)。图5-32

解

(1)求uC(0+)。首先在t=0_的电路上，即开关未合上时，求uC(0-)。由于t=0_时电路已稳定，电容上充电电流为零，电容相当于开路，故其两端电压uC(0-)=US=18V，由换路定律，得(2)求uC(∞)。当开关合上后，电路再达稳定时，C又相当于开路，如图5-32(b)所示，此时C两端的开路电压取决于R2上的分压，即(3)求τ。换路后，即合上开关，断开电容C，得到二端子电阻网络，如图5-32(b)所示。可得戴维宁等效电阻故时间常数所以，根据三要素公式得其波形如图5-33(a)所示。图5-33(4)求i(t)。因为t≥0+时，

uC(t)的变化即R2上电压的变化，故有注意：i(t)的时间常数仍为2s。

例如图5-34所示电路，已知t<0时电路已处于稳态。试对t

≥0+

求响应uL(t)和uC(t)。图5-34

解

t<0时，可得

对电容回路，用三要素法：

uC(0+)=uC(0

)=9VuC(

)=10V

1=R0C=2

1s=2s

所以(t

≥0)

对含电感的一阶电路，用iL(0+)=3A的电流源替代电感，在t=0+

的电路上可求得

uL(0+)=

1V

又

uL(

)=0

故有

uL(t)=

et(t≥0)

结论：用三要素法可同时确定完全响应（电压或电流）。

例

如图5-35(a)所示电路，为直流发电机的励磁绕组电路模型。已知绕组电阻R=20Ω，电感L=20H，外加额定电压U=200V，试求:1)当开关S闭合后，励磁电流i的变化规律和电流达到10A稳态值所需要的时间。

2)如果先将电压提高到250V，在3s后再调到200V，问励磁电流达到额定值所需的时间。图5-35解

(1)根据三要素法可得零状态响应电流为其中电压U=200V,τ=L/R=20/20=1s。故有当电流达到10A时所需时间应为5

τ

，即t=5s。(2)若提高电压到250V，则电流可表示为当电流i’达到10A时所需时间t’应满足解得t‘=1n5=1.6s，显然比额定电压为200V时要快得多。微分电路图5-36微分电路及响应

由图5-36(a)，有

u1(t)=uC+u2

若u2

0，则u1

uC

故

实际输出：由三要素法

又u2(T)=

U1

（

<<T时）则

如果输入信号周期变化，则有如下波形：u1(t)图5-37uR(t)uC(t)，

较小uC(t)，

较大积分电路

图5-38积分电路及响应

由图5-38(a)，有

uS(t)=uR+uC

实际输出：

若

>>T，uC(T)=U0

则

若uC

0，则uS

uR，

(t

≥T)

例确定RC分压器的阶跃响应u2(t)。图5-39

解已知uC1(0

)=uC2(0

)=0，由KVL，在t=0+

时

u1(0+)+u2(0+)=A(1)

由电荷守恒原理，应有

C1u1(0+)=C2u2(0+)(2)

联合式(1)和(2)解之

又

由三要素公式，得图5-40如何求一阶电路的三要素？正弦信号输入时三要素如何求？如何认识微分电路和积分电路的本质？阅读与思考5.5冲激函数与冲激响应1.单位冲激函数2.冲激响应5.5.1单位冲激函数

图5-41(a)是一矩形脉冲。表示为

pa(t)=

图5-41冲激函数的示意图

当a0，，面积为1，则pa(t)(t)称为单位冲激函数(或称狄拉克函数)。定义：

两种波形：图5-42冲激函数及其延时波形(t)与

(t)的关系

因

故

即

相应地图5-43(t)

的性质

1.

(t)是偶函数：

(

t)=

(t)2.具有筛选性:若f(t)

在零处连续，则f(t)

(t)=f(0)

(t)

进而

简单地，若一阶方程为y

(t)+ay(t)=b

(t)

则从式（5-1）得h(t)=y(t)=be

at·

(t)概念

5.5.2冲激响应

储能状态为零的电路，在单位冲激信号作用下产生的零状态响应称为冲激响应，记为h(t)。

例如图5-44所示RC电路，设uC(0

)=0，输入信号为

(t)，试以uC(t)为响应，求冲激响应h(t)。图5-44

解该电路的微分方程为

令，得冲激响应

由

(t)的筛选性质，容易得

或写作(t

≥0)

电路的KCL和KVL方程：对前节RC分压器电路例

消去u1，则有

即

参考主教材公式，可解。结论

若有一阶方程y

(t)+ay(t)=b

(t)

则如何理解冲激函数的物理意义和它的筛选性质？阅读与思考5.6二阶电路与零输入响应1.二阶电路方程2.零输入响应5.6.1二阶电路方程图5-45RLC串联电路

如图5-45所示RLC串联电路，在t

0时可列KVL方程：

又因

所以有

即有标准形式(t

≥0)

其特征方程为可求得特征根

1和

2常称为二阶电路的固有频率，它们仅依赖于电路本身的参数，

为阻尼系数，

0为固有振荡角频率。

令和，则上式可以写成GCL并联电路（对偶）

对图5-46，由KCL图5-46(t

≥0)

因为

所以有标准形式方程

从而可由特征方程得特征根（固有频率）

令和，上式变为

可见，二阶电路方程的一般标准形式为y

(t)+a1y

(t)+a0y(t)=bf(t)5.6.2零输入响应

如RLC串联电路，当输入为零时，则

即

特征根

对式(1)，令t=0，应有

K1+K2=UK1

1+K2

2=0

1.当

>

0，即，称为过阻尼情况，这时

1和

2为两个不相等的负实根。

uC(t)可表示为式中，K1和K2为待定系数，由起始条件决定。由电路的假设知

uC(0+)=Ui(0+)=0(t

≥0)(1)

解得

由此可得(t

≥0)(2)2.当

=

0，即，称为临界阻尼情况，这时

1=

2=

为相等的实根。

uC(t)可表示为与上类似，可以求得

K1=UK2=

U

故有uC(t)=U(

1+

t)e

(t

≥0)(3)3.当

<

0，即，称为欠阻尼情况，这时

1和

2为共轭复根。

式中，。则解为

根据t=0时的起始条件，可得

K1=U

代入式（4）可求得uC(t)，它是一个衰减振荡。式（4）还可以表示为

uC(t)=Kcos(

d

t+

)（5）式中图5-47

上述解答的三种波形示意图：

例

在图5-48中，设C=0.25F,L=1H,uC(0-)=2V,i(0-)=-1A，试分别求当R为如下值时的零输人响应uC(t)。(1)R=5Ω；(2)R=4Ω；(3)R=2Ω

；(4)R=0Ω。图5-48解

(1)当R=5Ω时，有微分方程即从而得特征根为两个负实根，即λ1=-l,λ2=-4。通解的形式为起始值从而有解得K1=4，K2=-2。所以响应为过阻尼波形。(2)当R=4Ω时，有微分方程其特征根为两相等的负实根，即λ1=λ2=-2。通解的形式应为所以可得K2=8。于是得响应为临界阻尼波形。(3)当R=2Ω时，有微分方程可得特征根为共扼复根解的形式为从而有解得A=4,φ=60o。所以响应为衰减正弦振荡波形。(4)当R=0时，有微分方程其特征根为纯虚根，即λ1=j2,λ2=-j2。解的形式为从而有解得。于是可得响应为正弦振荡波形。5.7二阶电路的零状态响应1.冲激响应2.阶跃响应3.状态变量与状态方程5.7.1冲激响应

定义算子：算子方程

设有方程y

(t)+a1y

(t)+a0y(t)=bf(t)(6)

则算子方程(p2+a1

p+a0)y(t)=bf(t)

设特征根为

1和

2，则(p

1)(p

2)y(t)=bf(t)

即图5-49求解方法

分解为一阶算子求响应。

例如，对典型的二阶电路微分方程式（6），当输入f(t)=

(t)时，其响应y(t)即为h(t)，即有

进而

把看作新的输入f(t)，则由图5-46(c)，有

最后得(t

≥0)(7)

例在RLC串联电路中，设uC(0

)=0，iL(0

)=0，输入信号uS(t)=

(t)，试求在下列情况下的冲激响应uC(t)。（1）R=4

，L=1H，C=F；（2）R=2

，L=1H，C=1F；（3）R=1

，L=1H，C=1F。

解对于（1），以uC(t)为求解量，可列方程其特征方程的根为

1=

1，

2=

3

算子方程为(p2+4p+3)uC(t)=3

(t)

或

对每个因式应用图5-49中的结论，得

把e

3t看作新的f(t)，从而得

即h(t)=uC(t)=1.5e

t

1.5e

3t(t

≥0)

对于情况（2），可列方程

其特征根为

1=

2=

1

对应的算子方程为(p2+2p+1)uC(t)=

(t)

即

进而

把e

t看作新的f(t)，从而得

即h(t)=uC(t)=te

t(t

≥0)

对于情况（3），用类似方法得

由上可以看出，引用算子方程后，求解变得规范、简便，免去了用经典法求解非齐次微分方程的繁琐过程。(t

≥0)5.7.2阶跃响应

对RLC串联电路，当输入uS(t)=(t)时，对上例情况（1），有

算子方程为(p2+4p+3)uC(t)=3

(t)

即

进一步表示为

解得s(t)=uC(t)=1

1.5e

t+0.5e

3t(t

≥0)

同法，对情况（2），则有s(t)=1

e

t

te

t(t

≥0)

对于情况（3），可类似地得

电容电压

阶跃响应的测量结果：

过阻尼

临界阻尼

欠阻尼

无阻尼图5-50(t

≥0)图5-51所示为本例借助计算机分析得到的波形图。

（1）过阻尼情况（）（2）临界阻尼情况(）（3）欠阻尼情况()（4）无阻尼情况(R=0)图5-51状态变量

若电路中一组变量能够反映动态电路的储能状态，并且一旦由这组变量的初始状态和可能的外加输入解出这组变量时，电路中任意处的响应均可以唯一地确定，则这组变量就称为状态变量。5.7.3状态变量与状态方程分析动态电路还可以应用状态方程的方法。下面介绍状态变量与状态方程的概念。通常，选择电路中电容的电压和电感的电流