电路分析教程（第5版）课件 第6章 正弦交流电路稳态分析

第6章正弦交流电路稳态分析本章重点

电路在正弦交流电作用下的稳态情况是电路分析的重要内容，读者要认真理解和掌握以下内容：

1．正弦信号及相量表示。

2．电路的相量模型和相量分析法。

3．阻抗与导纳的概念。

4．正弦稳态电路的功率。学习导引：

简谐信号不平凡，正弦稳态最常见；巧把正弦转相量，代数分析更简单。6.1正弦信号与相量6.2电路的相量模型6.3阻抗与导纳6.4相量分析的一般方法6.5正弦稳态电路的功率6.6应用实例本章目录6.1正弦信号与相量6.1.1正弦信号图6-1所示是几种产生正弦交流信号的方法。其中图(a)为交流发电机，(b)为风力发电机，(c)为太阳能发电装置，(d)为函数发生器，它可以产生多种频率的正弦信号。图6-1正弦交流电的产生正弦信号的三要素

i(t)=Imsin(

t+

i

)

Im：振幅，最大值

：角频率，

i：初相位有效值（方均根值，rms）

设直流电流I在时间T内使电阻R产生的热能为I2RT，交流电流i(t)在T时间内产生的热能为。由定义，令可解得电流I为

I称为交流电i(t)的有效值。类似地，交流电压的有效值为

有效值又称为方均根值(root-mean-square，rms)。设i＝Imsin

t，则其有效值:即类似地，正弦电压的有效值为

这表明，正弦交流电的有效值是其最大值的0.707倍，或振幅为有效值的倍。这一关系很重要，要熟记。6.1.2相量的概念运用复数分析电路的方法称为相量法(phasormethod)。

1.复数

例如，3+j4对应于图6-2中复平面上的P1点。图6-2复平面复数还可以用复平面上的一个矢量来表示。如A=3+j4可以用一个从原点O到P点的矢量来表示。这种矢量称为复数矢量。任意一个复数A可对应一个复数矢量OP，如图6-3所示。矢量的长度定义为复数A的绝对值，称为复数的模。即图6-3复平面中的矢量矢量与实轴正方向的夹角θ称为复数A的辐角。图6-4复平面中的矢量因为根据欧拉公式上式又可以写为2.相量的概念

设有时间t的复值函数，利用数学中的欧拉公式：ej

t=cos

t+jsin

t

显然cos

t=Re(ej

t)sin

t=Im(ej

t)

这里，Re(·)和Im(·)分别为取实部和取虚部的符号。进一步，有Imej(

t+

)=Imcos(

t+

)

+jImsin(

t+

)

故正弦电流i(t)＝Imsin(

t+

)可以表示为i(t)＝Im[Imej(

t+

)]Imej(

t+

)称为复指数。记复数电流

则

在电路中，通常把电流的振幅（或有效值）与其初相角构成的一个复数称为电流相量。例如i(t)＝5sin(

t

30

)A

对应的相量为

若用有效值为相量的模，则有效值相量为

（振幅相量）

（有效值相量）图6-5相量图

设有电流和电压相量分别为（以有效值为模）

则它们的相量图如图6-5所示。相量的加减按平行四边形法则进行。

6.2电路的相量模型6.2.1KCL和KVL的相量表示

因对任何节点电流有KCL

i=0

故复指数电流也满足下式所以同理，对任何回路有KVL的相量形式6.2.2基本元件的相量模型

1.电阻元件的相量模型设电阻R上的电压为u=Umsin

t

，则电流其中电流振幅为相应地，电压振幅为

即有相量关系

大小和相位分别为U=RI

u=i

u与i同相得R的相量模型及电压、电流关系，如图6-6所示：图6-6（c）

（d）2.电感元件的相量模型

设电感L中有电流i=Imsinωt，则其两端的电压为或者式中，电压振幅为由上可知，电感L中电流i和电压u的相位差为90o，即电压超前电流90o，如图6-7所示。图6-7电感L中的电压与电流由上式可得令xL=ωL这里xL称为电感的感抗，其大小与频率成正比。电感对直流相当于短路。

再考虑相量关系。设电流相量为，由于电感中电压超前于电流90o，故其相量可表示为即有或者用有效值相量表示为上式又可表示为上式含两方面的内容，即电压、电流的大小关系和初相关系分别为上述表明，电感上电压与电流的大小之间也满足欧姆定律，其中ωL=XL称为电感的感抗，单位为Ω；电压的初相超前于电流的初相90o。图6-8电感的相量模型及其相量图电感上电压与电流的大小之间满足欧姆定律，其中ωL=XL称为电感的感抗，单位为Ω;电压的初相超前于电流的初相90o。3.电容元件的相量模型

即式中电流超前于电压90o，如图6-9所示。对于直流，电容上电流为零，相当于开路（断路）。图6-9电容C中的电压与电流由式可得容抗为若用有效值相量表示，由于电流超前电压90o，故有或者

由此可知电容上电压与电流的大小关系和初相关系分别为上式表明，电容元件上U与I也存在着欧姆定律关系，其中称为电容的容抗，单位为Ω；而电容上电流超前于电压90o。图6-10电容的相量模型及电流、电压相量图

例如图6-11(a)RL电路，R=1

，L=1H，

uS=10sin(3t)V，试求电流i。图6-11

解由相量电路模型，可列出KVL方程为从而其中相量，感抗

L=3×1=3

所以最后得稳态电流i(t)＝Im[ej

t]=2sin(3t

36.9

)A

例

如图6-12(a)所示RC并联电路，已知R=1kΩ,C=0.05μF，电源电压U=10V,ω=104rad/s。试求总电流，并画出各电流相量图。图6-12

解

先画出相量模型电路如图6-12(b)所示。设电源电压初相角为0o，即有效值相量为。由图6-12(b)所示相量电路通过R的电流为电容中的电流相量为由KCL，总电流的相量从而得到稳态电流各电流的相量关系如图6-12(c)所示。相量方法（符号法）：省掉建微分方程的过程图6-13正弦量的相量有什么物理意义？利用相量模型分析电路的本质是什么？阅读与思考6.3阻抗与导纳6.3.1阻抗

欧姆定律的相量形式

Z：电路或元件的阻抗。对电阻R：对电感L：对电容C：R的阻抗：ZR=R

L的阻抗：ZL=j

L=jXL

C的阻抗：

一般而言，设一不含独立电源的二端网络N，在正弦稳态下，其端口电压和电流分别用相量和表示，并设参考方向关联，则该二端网络的阻抗Z定义为阻抗的串联

对R、L、C串联电路（如图6-14所示），由KVL，得图6-14

即

或者

式中，为该电路的总阻抗。该阻抗又可写为

其中，R为电阻分量，X

为电抗分量。它是频率的函数。再论阻抗ZZ=R+jX=

Z

式中

Z

称为阻抗Z的模或绝对值，

称为阻抗Z的阻抗角。反过来，又有R=

Z

cos

X=

Z

sin

另一方面，由于相比较，有6.3.2导纳阻抗的倒数定义为导纳（admittance），用符号Y表示，即

对于基本元件R、L和C而言，它们在交流电路中所对应的导纳分别为

对图6-15所示

RLC并联电路，由KCL，得图6-15

故

从而阻抗与导纳的关系

其中

阻抗Z与导纳Y通常是频率的函数

例如：

当，X<0，电路呈电容性；当，X>0，电路呈电感性；当，X=0，电路呈电阻性。

例

如图4-32所示电路，设R=10Ω,L=1H,C=0.005F,试求电流i、uC、uR和uL。图6-16阻抗的串联

解

根据已知，首先求出相量模型电路中的各量:总阻抗故电流相量进而得有效值相量最后有(注意将有效值变为振幅)稳态电流各电压的相量关系如图6-17所示。图6-17

例如图6-18所示电路,试求其电流和总阻抗Z。图6-18

解令Z1

=

(3

+j4)

=553.1

Z2

=

(

4

j3)

=536.9

电感支路电流电容支路电流总电流总阻抗图6-19

例音频信号产生器是由放大器和RC移相电路所组成，如图6-19所示。理论已证明,当和同相时，它能自行产生某一频率的正弦信号。试分析与同相的条件。+−

解实际电路中，放大器的输入阻抗很高，可以近似认为是开路，即=0；由图可得取二者之比，得若R1=R2=R，C1=C2=C，则

如果和同相，二者之比应为实数，即也就是说，满足上式时，和同相，可得频率为阻抗一般是频率的函数，若阻抗Z呈电感性，其电压与电流的相位有何关系？如何利用对偶性简化电路分析？阅读与思考6.4相量分析的一般方法1.网孔分析法2.节点分析法3.戴维宁定理6.4.1网孔分析法

图6-20为一正弦稳态电路的相量模型。图6-20网孔分析示例由于非公共支路有一电流源，故只需列两个网孔方程化简为由于所以从而解得电容上电流稳态响应

例如图6-21所示电路，试用网孔法求电流。图6-21即

解

先设出两个网孔电流和，则可得6.4.2节点分析法

例图6-22所示为RC振荡器的电路模型，设R=1

，C=1F，试确定参数A和角频率

。图6-22

解列节点方程代入数据整理得

该线性齐次方程组存在非零解的充要条件为其系数行列式等于零，即展开可得上式的实部和虚部应分别为零，即解得

例图6-23所示为多功能有源网络，试求电压比。图6-23

解应用节点分析法，对节点a，有又所以最后得

适当选择各导纳的元件性质，则电压比的功能将不同，请读者试之。6.4.3戴维宁定理

例交流电桥应用广泛，图6-24(a)所示为原理电路，试分析平衡条件。图6-24

解若令=0，则电压表中无电流，故电桥平衡条件为Z2Z3

Z1Z4=0或者Z2Z3=Z1Z4

图6-24(b)所示是测量电容Cx及其漏电阻Rx的电桥。若把Cx和Rx的组合认为Zx，R4和C4的组合认为Z4，电桥平衡时，应有R2Zx=R1Z4

即具体化为解之可得图6-25

例叠加定理应用。如图6-25所示电路，设多频信号

f1=50Hz，f2=100Hz，负载RL=20

。当f1=50Hz时，XL=10

，XC=20

，试求电流i(t)。

解因输入为多频信号，可应用叠加定理并结合戴维宁定理求解。

1.对直流分量，uS1=10V，因电容相当于开路，电感相当于短路，故RL上电压u1=10V，从而I1=0.5A。

2.对f1的正弦分量，有效值电压相量断开RL后，则开路电压等效阻抗故输出电流相量

故

3.对f2的正弦分量，则XL=20

，XC=10

，且，则

最后合成稳态电流6.4.4-Y阻抗等效变换图6-26-Y互换图

对图6-26(a)所示电路列网孔方程为

由第三个方程得

将上式代入式（1）的前两个方程，得(1)

式中，Z

=ZAB+ZBC+ZAC

在图6-26(b)所示电路中，其网孔方程为

令各系数对应相等，可解得

也就是说，当已知

形接法的各阻抗后，等效变换为Y形联结的各阻抗（ZA，ZB，ZC）可用上式求得。(2)

若已知Y形联结的各阻抗，则变换为形联结时各阻抗为

式中，ZY=ZAZB+ZBZC+ZAZC。(3)

这与电阻电路的形式是一样的。

有源电路等效阻抗变换

例如图6-27所示电路，试证明其输入端等效为一电感。图6-27

解可以推得输入阻抗

其中等效电感在多频正弦周期信号输入下，其稳态如何分析？如何理解阻抗变换？阅读与思考6.5正弦稳态电路的功率1.平均功率2.复功率3.共轭匹配6.5.1平均功率电阻

设i=Imsin

tu=Umsin

t

则功率p(t)=ui=UmImsin2(

t)

平均功率图6-28

如图6-28所示。电感

设i=Imsin

tu=Umsin(

t+90)

则p(t)=ui=UmImcos

t

sin

t

平均功率（纯电感不消耗功率！）

无功功率图6-29

如图6-29所示。电容

设u=Umsin

ti=Imsin(

t+90)

则p(t)=ui

平均功率即电容元件不消耗功率！图6-30

如图6-30所示。二端网络N（一般化）

设则p

(t)=ui

平均功率图6-31若N中无独立电源，则N的等效阻抗

Z=

Z

，

=

u

i则平均功率（下图为测量方法）图6-32

例

某变电所输出的电压为220V，其视在功率为220kV·A。如向电压为220V,功率因数为0.8,额定功率为44kW的工厂供电，试问能供几个这样的工厂用电?若用户把功率因数提高到1,该变电所又能供给几个同样的工厂用电?

解变电所输出的额定电流为当λ=0.8时，每个工厂所取的电流应为故供给的工厂个数为而当λ=1时，每个工厂所取的电流应为这时供给工厂的个数为

例

如果某水电站以U=22×104V的高压向某地输送P=24×104kW的电力，若输电线的总电阻为10Ω，试计算当功率因数由0.6提高到0.9时，输电线在一年中电能损失会减少多少?

解

当λ1=0.6时，用户要从电站取用的电流为当λ2=0.9时，用户取用的电流为因此在一年内输电线上可以少损耗的电能为

可见，若用电设备的功率因数很低，一方面发电机的容量不能充分利用，另一方面又会增加输电线上能量损耗。所以设法提高用电设备的功率因数，是电力系统中很重要的问题。6.5.2复功率概念

设阻抗Z=R+jX

则复功率

即

视在功率：S=UI(V·A)图6-33功率因数提高方法

[如图6-34(a)所示]:并联电容法图6-34感性负载并电容，使I<IL由P=UIcos

，P不变，U不变，I变小，cos

变大！则6.5.3共轭匹配

如图6-35电路，ZL可变，则图6-35

平均功率：

最大功率：

得条件

RL=RS

且XL=

XS

即

此时

例如图6-36所示电路，若负载Z可变，问ZL为何值时它可获得最大功率？此时最大功率为何值？图6-36

解断开ZL后，开路电压令独立源为零，可得戴维宁等效阻抗Z0=(4+j3)

=R0+jX0所以当ZL=Z0*时，即ZL=(4

j3)

负载可得到最大功率。该最大功率为

例在图6-37所示电路中，设R1=10Ω，L=10mH，uS(t)=10sin（103t）

V。为使R2和C并联之负载获得最大功率，问R2和C的值各为多少？图6-37

解由图6-37可知，由相量模型，令

ZS=R1+j

L=（10+j10）

令R2和C的并联阻抗为ZL，则

根据ZL=ZS*的条件，应有

ZL=(10

j10)

即

解得

R2=20