4.3 二次函数表达式的求法 课件 湘教版数学九年级上册

二次函数表达式的求法湘教·九年级上册复习导入一次函数的表达式是y=kx+b

，只要求出____和____的值，就可以确定一次函数的表达式y=kx+b.kb如何才能确定一个二次函数的表达式？探究新知例1已知二次函数的图象的顶点坐标是(－1，－6)，并且图象经过点(2，3).求这个二次函数的表达式.解因为二次函数图象的顶点坐标是(－1，－6)所以可设该二次函数的表达式为y=a(x+1)2－6(a为常数，a≠0).例1已知二次函数的图象的顶点坐标是(－1，－6)，并且图象经过点(2，3).求这个二次函数的表达式.又因为图象经过点(2，3)，将该点的坐标代入上式，得3=a(2+1)2－6解得a=1因此，所求二次函数的表达式是y=(x+1)2－6.归纳二次函数表达式的求法——顶点式已知二次函数的顶点坐标、对称轴或最值通常设函数的解析式为顶点式：y=a(x－h)+k然后将已知点(非顶点)的坐标代入，解方程。针对训练1.已知二次函数的顶点为(1，－1)，且经过点(2，1)，求这个二次函数的表达式.解因为二次函数图象的顶点坐标是(1，－1)所以可设该二次函数的表达式为y=a(x－1)2－1.又因为图象经过点(2，1)，将该点的坐标代入上式，得1=a(2－1)2－1.解得a=2因此，这个二次函数的表达式是y=2(x－1)2－1.2.已知二次函数图象经过点(－1，3)，且它的顶点是原点，求这个二次函数的表达式.解因为二次函数图象的顶点坐标是(0，0)所以可设该二次函数的表达式为y=ax2.

又因为图象经过点(－1，3)，将该点的坐标代入上式，得3=(－1)2a解得a=3因此，这个二次函数的表达式是y=3x2.3.已知二次函数图象经过点(3，0)和(2，－3)，且以直线

x=1为对称轴，求这个二次函数的表达式.解因为二次函数图象的对称轴为x=1，所以可设该二次函数的表达式为y=a(x－1)2+k.又因为图象经过点(3，0)，(2，－3)将两点的坐标代入上式，得所以y=(x－1)2－4.4a+k=0，a+k=－3，解得a=1，k=－4.例2已知三个点的坐标，是否存在一个二次函数，它的图象经过这三个点？(1)P(1，-5)，Q(-1，3)，R(2，-3)；解设二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的图象经过P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a+b+c=－5，a－

b+c=3，4a+2b+c=－3，解得a=2，b=－4，c=－3.因此，二次函数y=2x2－4x－3的图象经过P，Q，R三点.(2)P(1，－5)，Q(－1，3)，M(2，－9).例2已知三个点的坐标，是否存在一个二次函数，它的图象经过这三个点？解设二次函数y=ax2+bx+c的图象经过P，Q，M三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a+b+c=－5，a－

b+c=3，4a+2b+c=－9，解得a=0，b=－4，c=－1.由于a=0，因而不存在一个二次函数，其图象经过P，Q，M三点.数学上可以证明：二次函数y=ax2+bx+c的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上.还可以证明：若给定不共线三点的坐标(且它们的横坐标两两不等)，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.共线的三点可以确定一个二次函数吗？思考设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a

≠0)如果三点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)共线，说明三点满足一次函数y=kx+m.把共线三点代入二次方程，最后得出a=0，若a=0时，式子就变成一次函数，不再是二次函数。归纳二次函数表达式的求法——一般式已知二次函数上任意三点的坐标。通常设函数的解析式为一般式：y=ax2+bx+c然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解。针对训练根据下列条件，求出对应二次函数的解析式.(1)已知二次函数过点(－1，2)，(0，1)，(2，－7)；解设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a－

b+c=2，c=1，4a+2b+c=－7，解得a=－1，b=－2，c=1.因此，二次函数为y=－x2－2x+1.根据下列条件，求出对应二次函数的解析式.(2)已知二次函数过点(－1，－5)，(0，－4)，(1，1)；解设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a－

b+c=－5，c=－4，a+b+c=1，解得a=2，b=3，c=－4.因此，二次函数为y=2x2+3x－4.思考已知二次函数过点P(－1，0)，Q(3，0)，R(2，－6)，求这个二次函数的表达式.与x

轴的交点解因为二次函数图象过点P(－1，0)，P(3，0)所以可设该二次函数的表达式为y=a(x+

1)(x－3).又因为图象经过点(2，－6)，将该点的坐标代入上式，得－6=a(2+1)(2－3)解得a=2.所以y=2(x+1)(x－3)=2x2－4x－6.归纳二次函数表达式的求法——交点式已知二次函数与x

轴的两交点坐标。通常设函数的解析式为交点式：y=a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程。已知二次函数与

x轴交于点

A(－2，0)，B(1，0)，且经过点

C(2，8).求二次函数的解析式.解：A(－2，0)，B(1，0)在

x轴上，设二次函数解析式为

y=a(x+2)(x－1).针对训练所以

y=2(x+2)(x－1)=2x2+2x－4.又因为图象过点

C(2，8)，代入解析式得，8=a(2+2)(2－1)解得a=2设解析式的技巧：看顶点在原点在y

轴上在x

轴上在任意位置设y=ax2设y=ax2+k设y=a(x－h)2设y=a(x－h)2+k设解析式的技巧：看与x轴的交点含原点有两个交点(x1，0)，(x2，0)设y=ax2+bx设y=a(x－x1)(x－x2)练习1.已知二次函数图象的顶点坐标为(1，2)且图象过原点，求这个二次函数的表达式.【选自教材P153练习第1题】解因为二次函数图象的顶点坐标是(1，2)所以可设该二次函数的表达式为y=a(x－1)2+2.又因为图象经过原点(0，0)，将该点的坐标代入上式，得0=a(0－1)2+2.解得a=－2因此，所求二次函数的表达式是y=－2(x－1)2+2.2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(0，2)，

B(1，3)，C(－1，－1)三点，求这个二次函数的表达式.【选自教材P153练习第2题】解设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a+b+c=3，c=2，a－

b+c=－1，解得a=－1，b=2，c=2.因此，二次函数为y=－x2+2x+2.3.已知对于二次函数y=ax2+bx+c，当x分别取－4，－3，－2时，其函数值依次为3，5，3.求当x=1时y的值。【选自教材P153练习第3题】解设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：9a－3b+c=5，4a－2b+c=3，16a－4b+c=3，解得a=－2，b=－12，c=－13.因此，y=－2x2－12x－13.将x=1代入方程得y=－2

－12

－13=－274.已知一个二次函数的图象经过三点(1，3)，(－1，－5)，(3，－13)，求这个二次函数的表达式.解设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a－

b+c=－5，9a+3b+c=－13，a+b+c=3，解得a=－3，b=4，c=2.因此，二次函数为y=－3x2+4x+2.5.已知二次函数的顶点为

A(1，－4)且过

B(3，0)，求二次函数解析式.解因为二次函数图象的顶点坐标是(1，－4)所以可设该二次函数的表达式为y=a(x－1)2－4.又因为图象经过点(3，0)，将该点的坐标代入上式，得0=a(3