4.4 二次函数与一元二次方程的联系 课件 湘教版数学九年级上册

二次函数与一元二次方程的联系湘教·九年级上册探究新知画出二次函数y=x2–2x–3的图象，你能从图象中看出它与x

轴的交点吗？二次函数y=x2–2x–3与一元二次方程x2–2x–3＝0有怎样的关系？图4.4-1

y=x2–2x–3二次函数y=x2-2x－3的图象与x

轴的交点坐标分别是(-1，0)，(3，0).当x

＝-1时，y

＝0，即x2

-2x

-3＝0，也就是说，x

＝-1是一元二次方程

x2-2x

-3＝0的一个根.同理，当x

＝3时，y

＝0，即x2

-2x

-3＝0，也就是说，x

＝3是一元二次方程x2

-2x

-3＝0的一个根.一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，那么一元二次方程ax2+bx+c

＝0有两个不相等的实数根x

＝x1，x

＝x2.

y=x2–2x–3图4.4-1说一说观察二次函数y=x2－6x+9，y=x2－2x+2的图象(如图4.4-2所示)，分别说出一元二次方程x2－6x+9＝0和x2－2x+2＝0的根的情况.图4.4-2y=x2－6x+9y=x2－2x+2y=x2－6x+9y=x2－2x+2二次函数y=x2－6x+9的图象与x

轴有一个交点，其坐标是

(3，0)，而一元二次方程x2－6x+9=0有两个相等的实数根：x1=x2=3.二次函数y=x2－2x+2的图象与x

轴没有交点，而一元二次方程x2－2x+2=0没有实数根.综上可知，由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x

轴的交点情况可以判断一元二次方程

ax2+bx+c=0的根的情况.反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图像与x轴的位置关系.具体如下表所示：二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根判别式Δ=b2－4acΔ>0Δ=0Δ<0x1x2x1=x2有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=没有实数根下列函数的图象与x轴是否有公共点？针对训练(1)y=4x2+12x+5；(2)y=x2+2x+1；(3)y=x2－3x+1；(4)y=2x2+3x+2；解(1)y=4x2+12x+5Δ=b2－4ac=42－4×4×5=64>0函数图像与x轴有两个不同的交点.下列函数的图象与x轴是否有公共点？(1)y=4x2+12x+5；(2)y=x2+2x+1；(3)y=x2－3x+1；(4)y=2x2+3x+2；解(2)y=x2+2x+1Δ=b2－4ac=22－4×1×1=0函数图像与x轴有一个公共点.下列函数的图象与x轴是否有公共点？(1)y=4x2+12x+5；(2)y=x2+2x+1；(3)y=x2－3x+1；(4)y=2x2+3x+2；解(3)y=x2－3x+1Δ=b2－4ac=(－3)2－4×1×1=5>0函数图像与x

轴有两个不同的交点.下列函数的图象与x轴是否有公共点？(1)y=4x2+12x+5；(2)y=x2+2x+1；(3)y=x2－3x+1；(4)y=2x2+3x+2；解(4)y=2x2+3x+2Δ=b2－4ac=32－4×2×2=－7<0函数图像与x

轴没有公共点.从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切，那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢？求一元二次方程ax²+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax²+bx+c在y=0时自变量x的值，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，因而可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根.要注意的是，由于作图或观察容易产生误差，因而利用图像求得的根，一般是近似的。例1求一元二次方程x2－2x－1=0的根的近似值(精确到0.1).分析：一元二次方程x2－2x－1=0的根就是抛物线y=x2－2x－1与x轴的交点的横坐标.因此，我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法评作图象法.例1求一元二次方程x2－2x－1=0的根的近似值(精确到0.1).解设二次函数y=x2－2x－1.图4.4-3画出二次函数y=x2－2x－1的图像.发现：抛物线与x轴的一个交点在－1和0之间，另一个交点在2和3之间.通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为－0.4或2.4，即一元二次方程x2－2x－1=0的实数根为x1≈0.4，x2≈2.4.我们还可以借助计算器来分根解求方程的实数根，将二次函数y=x²－2x－1在－1至0范围内的御处x值所对应的y值列表如下：x-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10y21.611.240.890.560.25-0.04-0.31-0.56-0.79-1可以发现，当x=－0.5时，y=0.25>0；而当x=－0.4时，y=－0.04<0.结合图象可以看出，使y=0的一个x

值在－0.5与－0.4之间，即－0.5<x<－0.4.

x-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10y21.611.240.890.560.25-0.04-0.31-0.56-0.79-1题目只要求精确到0.1，这时取x=－0.4或x=－0.5作为所求的根均满足要求．但当x=－0.4时，y=－0.04；当x=－0.5时，y=0.25.前者的函数值y

更接近于0，因此选x=－0.4.同样，我们可以确定一元二次方程的另一个实数根为x=2.4.1.利用函数图像求一元二次方程x2－2x－1=0的近似根(结果精确到0.1)针对训练解设二次函数y=x2－2x－1.画出二次函数y=x2－2x－1的图像.通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为－0.4或2.4，即一元二次方程

x2－2x－1=0的实数根为x1≈－0.4，x2≈2.4.那么方程ax2+bx+c＝0其中一个根的取值范围是()A．1.0＜x＜1.1

B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3

D．1.3＜x＜1.42.下表是一组二次函数y＝ax2+bx+c

的自变量x

与函数值

y的对应值:B例2如图4.4-4，小李扔铅球时，若铅球看作一个点，则铅球被扔出后其运行轨迹可用函数的图像来刻画，其中x(m)是铅球离初始位置的水平距离，y(m)是铅球离地面的高度.(1)当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？解由函数的表达式得即x2－6x+5=0，解得x1=1，x2=5.即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.(2)铅球离地面的高度能否达到2.5m？若能达到，求此时铅球离初始位置的水平距离.解由函数的表达式得即x2－6x+9=0，解得x1=x2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m.(3)铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？解由函数的表达式得即x2－6x+14=0，因为Δ=(－6)2－4×1×14=－20<0，所以方程无实数根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.从例2可以看出，己知二次函数y=ax²+bx+c的某一个函数值y=M，求自变量的对应值时，需要解一元二次方程ax²+bx+c=M.这样，二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了.练习1.试判断下列函数的图像与x轴的交点情况：【选自教材P159练习第1题】(1)y=x2－x－2；(2)y=9x2+12x+4；(3)y=x2－2x+3；解(1)y=x2－x－2Δ=b2－4ac=(－1)2－4×1×(－2)=9>0函数图像与x轴有两个不同的交点.练习1.试判断下列函数的图像与x轴的交点情况：(1)y=x2－x－2；(2)y=9x2+12x+4；(3)y=x2－2x+3；解(2)y=9x2+12x+4；Δ=b2－4ac=122－4×9×4=0函数图像与x轴有一个交点.【选自教材P159练习第1题】练习1.试判断下列函数的图像与x轴的交点情况：(1)y=x2－x－2；(2)y=9x2+12x+4；(3)y=x2－2x+3；解(3)y=x2－2x+3Δ=b2－4ac=(－2)2－4×1×3=－8<0函数图像与x轴没有交点.【选自教材P159练习第1题】2.用图像法求一元二次方程x2+x－1=0的根的近似值(精确到0.1).【选自教材P159练习第2题】解设二次函数y=x2+x－1.画出二次函数y=x2+x－1的图像.通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为－1.6或0.6，即一元二次方程

x2+x－1=0的实数根为x1≈－1.6，x2≈0.6.【选自教材P159练习第3题】3.某公司推出了一种高效坏保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，已知可以用

的图象刻画该公司今年的累积利润y(万元)与销售时间x(月)之间的关系，如右图所示.试根据图象提供