电路分析教程（第5版）课件全套 燕庆明 第0-11章 课程绪论、电路导论-非线性电路分析

电路分析教程（第5版，燕庆明主编）电子教案“十一五”国家精品教材教育部高等学校电子电气基础课程教学指导分委员会推荐教材使用说明运行环境：Office2010以上。请安装Office工具中的公式编辑器。课程绪论第1章电路导论

1.1电路理论发展简史

1.2电路、信号与系统第2章电路的基本概念

2.1电路及其物理量

2.2基尔霍夫定律

2.3电阻元件

2.4电源元件

2.5等效变换2.6应用实例目录第3章电阻电路的分析方法

3.1电路的拓扑图

3.2支路电流法

3.3网孔分析法

3.4节点分析法

3.5含运算放大器电路的分析3.6应用实例第4章电路定理与应用

4.1叠加定理

4.2替代定理

4.3等效电源定理

4.4最大功率传输定理*4.5特勒根定理*4.6互易定理4.7应用实例第5章动态电路的瞬态分析

5.1储能元件

5.2

一阶电路的零输入响应

5.3一阶电路的零状态响应

5.4一阶电路：三要素法

5.5冲激函数与冲激响应

5.6二阶电路与零输入响应

5.7二阶电路的零状态响应5.8应用实例

第6章正弦交流电路稳态分析

6.1正弦信号与相量

6.2电路的相量模型

6.3阻抗与导纳

6.4相量分析的一般方法

6.5正弦稳态电路的功率6.6应用实例第7章三相交流电路

7.1三相电源的产生

7.2三相电路的连接7.3三相电路的功率及测量

7.4应用实例

第8章耦合电感与理想变压器

8.1耦合电感及其等效

8.2变压器电路分析

8.3应用实例第9章选频电路与谐振

9.1网络函数

9.2二阶网络的频率特性

9.3多频信号的电路响应

9.4串联谐振电路

9.5并联谐振电路9.6应用实例

第10章

双口网络分析

10.1双口网络的参数方程

10.2网络函数与特性阻抗

10.3双口网络的等效与组合10.4应用实例

第11章非线性电路分析

11.1非线性电阻元件

11.2直流分析与应用

11.3小信号分析*11.4非线性动态电路*11.5电路中的混沌现象11.6应用实例

电路分析课程在大学本科电子电气信息类专业领域中占有重要地位，主要体现在以下几个方面：

1、核心基础地位它是大学本科电气、电子信息类学科的核心专业基础课。它是承前启后课程的关键桥梁：前承大学物理、数学等基础，后续模拟电子技术、数字电子技术、信号与系统、通信原理、自动控制等课程。

2、专业能力培养的入门课程通过该课程，对学生的相关知识、能力、素质进行综合培养。理解系统方法论，培养抽象思维能力，在理论与实践结合方面得到基础训练。因此，该课程是不可替代的必修的核心基础。

一、本课程的地位课程绪论二、重要理论及学习方法

本课程的重要理论：1、电路定律2、电路定理3、等效变换4、网络方程5、暂态分析6、稳态分析7、频率响应8、双口网络等

学习方法：1、预习+听课+思考+解决问题。2、实验与仿真：通过实验和仿真环节，提升解决实际问题的能力。3、学习过程+AI,扩展知识，解疑释惑。挑战性：内容覆盖面广，概念繁多，方法灵活，学习难度较大!三、电路课程对专业教学的影响理论加实践主要专业教学自动化工程计算机科学技术电子信息工程微电子技术电路理论基础信号与系统等通信工程电气技术与自动化信号处理与信息科学物联网传感网技术基础！讲座、前沿教学12四、由电路到学科与产业的交叉微电子产业通信技术产业计算机硬件产业软件产业数字家电产业互联网产品光电子产业专业产业对应电子科学与技术信息与通信工程计算机科学与技术人工智能光电技术电路理论基础等电气与自动化人类正进了信息化社会！信息语音图像数据知识信号与信号处理电磁场与微波集成电路通信计算机物联网自动化与控制科学光电信息技术信息安全信息获取信息处理信息传输五、由基础到信息—知识—应用信息化生活、信息化生产、信息化战争网络化生产应用生活科研国防片上系统集成电路晶体管

电子管系统设备更新换代六、电子单元与系统发展元器件更新换代

模拟信号、电磁波

数字信号

CDMA

OFDM、MIMO

激光

光通信等广播、模拟电话、无线通信程控电话、2G（GSM/CDMA)3G(WCDMA/CDMA200/TDSCDMA)数字电视4G（TD-LTE第四代移动通信）（现已进入5G-6G新时代）通信技术发展通信系统更新换代

如何学好本课程？第1章电路导论

特点：理论优美，概念丰富，方法灵活，应用广泛。

重点：基本概念，基本理论，基本分析方法。

信心：天下的难事被别人解决了一个又一个，别人行我也行。学习亦如此。

方法：科学求真，人文导向；善思多问，天道酬勤。17学习导引：

实践证明：当你真正学懂了基本理论，学会了思维方法，那么你就容易掌握新的知识，生发出无穷无尽的力量。学习的方法是什么？一句格言说得好：要想真正读懂一首诗，必须做到“为学者，善其端，积跬步而持以恒，悟意方停。”1.1电路理论发展简史1.2电路、信号与系统本章目录

漫长历程，人才辈出，人类文明，电子有功。请看以下成果：1.1电路理论发展简史

电磁理论发现：法拉第，麦克斯韦，赫兹

电视的发明与制作

贝尔和电话（上），马克尼和无线通信（下）

电子管、晶体管、集成电路的发明

1947年发明的第一只晶体管（右图）各种半导体器件2425

集成电路集成电路应用——电路板26

世界第一台计算机（ENIAC，诞生于1946年）光电子器件的诞生开创了光通信的新时代

梅曼1960年梅曼发明红宝石激光器1958年工程师杰克·基尔比在一块6.45平方毫米硅片上集成了12个元件，制成了一个RC移相振荡器。这是世界上第一块集成电路芯片。基尔比集成电路与内部布线设计

华人科学家高锟1966年提出光纤理论，随后发明光纤，获2009年诺贝尔物理学奖。

通讯技术电子信息用于航空航天技术（神舟7号载人飞船）

人体断层扫描图像电路（1）集总参数电路与分布参数电路

如果实际电路的几何尺寸远小于其工作信号的波长时，可以认为电流传送到电路的各处是同时到达的，即没有时间延迟，这时整个电路可以看成电磁空间的一个点。这种条件下的电路称为集总参数电路（lumpedparametercircuit），否则就称为分布参数电路（distributedparametercircuit）。1.2电路、信号与系统若集成片尺寸0.5cm

0.5cm，工作频率f=100MHz，其波长，则为集总参数电路。若雷达天线5m（直径），工作频率f=30GHz，其波长

=10cm，则为分布参数电路。例如：（2）线性电路与非线性电路

若描述电路特征的所有方程都是线性代数方程或线性微积分方程，则这类电路就是线性电路（linearcircuit）否则就是非线性电路（nonlinearcircuit）。

（3）时不变电路与时变电路时不变电路又称非时变电路（time-invariantcircuit）。它是指组成电路或系统的元件参数值不随时间变化，因而描述这类电路的方程是常系数的代数方程或常系数的微积分方程。相应地，由变系数的代数方程或微积分方程描述的电路，则称为时变电路（time-varyingcircuit）。（4）电路的功能信号（状态变化，时变）

几种典型的信号系统

所谓系统（system），是由若干相互联系、相互作用的单元组成的具有一定功能的整体。例如：

收音机系统

自动化防空系统1.3“电路分析基础”课程的任务本课程的任务是对给定的电路模型和输人信号研究电路某处的输出信号。输入信号也称为激励(excitation)，输出信号也称为响应(response)。本课程是以集总参数线性时不变的电阻电路和动态电路为主要对象而建立的基本理论、基本概念和基本分析方法。所应用的输人信号主要是直流、正弦交流、指数信号、阶跃信号和冲激信号，进而研究电路在这些输入信号作用下电路响应(电流或电压)的变化规律。电路理论及应用的发展趋势1、非线性电路理论：非线性电路理论是当前研究的重点之一。任何模拟集成电路的精确数学模型都是非线性的，随着对电路认识的不断深化，非线性理论在集成电路研制中可用于了解、检查内部元件的性能参数，从而改进工艺和设计，提高产品质量和成品率。2、量子电路理论：量子电路的研究从微观层面解释了电流和电压的行为规律，对电路分析的理论框架进行了重构。3、混沌电路理论：混沌电路的研究揭示了电路行为的非线性特性，为混沌理论的发展提供了具体的实验基础。4、分析方法的拓展与融合：从传统的时域分析和频域分析发展到复频域、z域等变换域分析，小波变换等时域-频域相结合的分析方法也不断涌现。电路理论及应用发展趋势5、符号化计算与等效模型：通过代数运算和符号计算的方式，将电路分析问题转化为代数方程组的求解问题，实现电路分析的自动化。同时，复杂的电路网络可以通过等效模型简化为简单的等效电路。6、拓扑分析与矩阵方法：系统地应用拓扑学成果，借助矩阵和张量工具对基尔霍夫定律进行描述，为电路的计算机辅助分析和设计提供了坚实的理论基础。7、新兴技术的融合大数据与人工智能：大数据技术可以挖掘电路分析中的隐藏规律和模式，提高电路分析的效率和准确性。人工智能和深度学习技术则可以帮助建立更加精确和实用的电路分析模型。8、计算机辅助设计：计算机的广泛应用使得复杂的电路分析和设计变得更加高效。现代电路分析程序不断优化，采用子电路分解、并行处理等技术，提高了电路模拟的精度和速度。9、多学科交叉应用：电路理论不仅在传统的电气工程领域发挥重要作用，还在生态学、医学等领域得到应用。例如，在植物景观遗传学中，电路理论被用于分析景观要素对植物基因流的影响。10、应用领域的拓展与深化：通信与信息处理：随着通信技术的快速发展，电路理论在通信系统中的应用不断深化，如在信号处理、滤波器设计等方面。数字滤波器的研究和应用成为热点，模拟电路综合的离散化趋势明显。电路理论及应用发展趋势思想与方法44人类的历史，就是一个不断地从必然王国向自由王国发展的历史。在生产斗争和科学实验范围内，人类总是不断发展的，自然界也总是不断发展的，永远不会停止在一个水平上。因此，人类总得不断地总结经验，有所发现，有所发明，有所创造，有所前进。

——《毛泽东选集》本章重点第2章电路的基本概念1.电路的基本物理量，电阻元件，欧姆定律。

2.独立电源和受控源的概念。

3.

KCL、KVL及其应用，电阻的串联、并联、分流与分压。

4.等效电路和电源等效变换的概念和方法。

学习导引：

复杂源于简单，创新源于基础；细流乃成大海，有一方生万物；细品简约之美，善始方能善成。本章目录2.1电路及其物理量2.2基尔霍夫定律2.3电阻元件2.4电源元件2.5等效变换2.6应用实例2.1电路及其物理量1.电路模型2.电流与电压3.功率与能量2.1.1电路模型

将组成实际电路的电子器件在一定条件下按其主要性质加以理想化，从而得到一系列理想化元件，如电阻元件、电容元件和电感元件等。这些理想元件构成的电路称为实际电路的模型(model)。下图是手电筒和马克尼早期通信装置的电路模型。图2-1

电路模型的示意图图2-2

简单收音机实际线路及电路模型电路分析和电路设计：电路分析一般是从已知电路参数和输入（激励）求取输出（响应）的过程。设计是以分析为基础不断改进的过程，工程中的基本环节如图2-3所示。图2-32.1.2电流与电压电荷与电流

带电粒子的规则移动形成电流。把单位时间内通过导体横截面的电荷量定义为电流i，即A电荷q表示为

电流：假设参考方向，它是分析的前提。电流通常是时间的函数。图2-4电流的参考方向电压与磁通

电路中两点间的电压又称为该两点的电位差。单位正电荷从a点移动到b点,其能量W

的得失量定义为这两点间的电压u，即V

另一方面，根据电磁感应定律，导体两端的电压为磁通的变化率

相应地，有磁通链

电压：先假设参考方向（正、负极性）；电压通常是时间的函数。

关联（联合）参考方向：

电压与电流方向一致，称关联（联合）参考方向，否则为非关联参考方向。如图2-5所示，左边电路为关联参考方向，右边为非关联参考方向。图2-52.1.3功率与能量

功率（power）：是量度电路中能量转换速率的一个物理量。电路在单位时间内所消耗的能量定义为瞬时功率p，即当电路N的u和i方向一致，由于

故瞬时功率为，功率的单位为W。

功率的正负：如下图（a）电压、电流参考方向下，计算结果为正是吸收功率，为负是产生功率。p=uip=

ui

图2-6

能量：在u和i关联时，则定义能量若W(t)≥0

，则该电路（元件）为无源的；若W(t)<0，则该电路（元件）为有源的。

例如果电视显像管中的电子束每秒射出1015个电子，若要通过加速使该电子束达到6.4W的功率，则激励电压为多少?解已知一个电子的负电荷量为q=1.6×10-19C(库)，则电流所以激励电压

如何理解电流、电压的参考方向，功率的正、负，有源元件和无源元件？阅读与思考2.2基尔霍夫定律1.电流定律(KCL)2.电压定律(KVL)

科学人物：

1847年，德国的基尔霍夫（G.R.Kirchhoff，1824

1887）在他还是23岁大学生的时候，提出了电路的两个基本定律：电流定律和电压定律。因此，不要迷信权威，不要迷信已有，关键还是创新。图2-7电路模型示例支路（branch）：一个元件或多个元件的串联；节点（node）：两条及两条以上支路的连接点；回路（loop）：由若干条支路组成的闭合路径；网孔（mesh）：平面电路中，内部不含支路的回路。几个术语：2.2.1电流定律(KCL)

在集总参数电路中，在任一时刻，流出（或流入）任一节点或封闭面的各支路电流的代数和为零。即

i(t)=0

图2-8应用KCL的示意图对图2-8(a)中的节点a：i3+i4

i1

i2=0对封闭面S1：

i4

i6+i7=0对封闭面S2：i2+i5

i4=0说明：KCL是电荷守恒定律的体现。KCL仅适用于集总参数电路。KCL是电路中支路电流的约束关系，与元件性质无关。KCL既适用于线性电路，也适用于非线性电路。2.2.2电压定律(KVL)

基尔霍夫电压定律是描述电路中任一回路各元件电压所必须满足的约束关系。KVL可叙述如下：

在集总参数电路中，在任一时刻，沿任一回路巡行一周，各元件电压的代数和为零。即

u(t)=0在列KVL方程时，具体方法如下：（1）首先规定各支路的电压参考方向。（2）标出各回路的巡行方向。（3）凡支路电压方向与巡行方向相同者取正，反之取负。图2-9对图2-9中的三个回路可列出如下的KVL方程：对回路Ⅰ：

uS+u2+u1=0

对回路Ⅱ：

u1+u3

u4=0

对回路Ⅲ：

u5

u3

u2=0

例ⅠⅡⅢ图2-10小结：说明：KVL是能量守恒定律在电路中的体现。KVL仅适用于集总参数电路。KVL是电路中各回路电压的约束关系，与支路性质无关。KVL既适用于线性电路，也适用于非线性电路。2.3电阻元件1.电阻元件与欧姆定律2.电阻的串联与并联

2.3.1电阻元件与欧姆定律欧姆定律：

德国物理学家欧姆在他做中学物理教师时，经过长期试验证明，对线性电阻R，总是满足定律u(t)=Ri(t)

这一简单的欧姆定律成为分析电路的重要依据。电阻元件的概念描述如下：

若一个二端元件在任一时刻其电压与电流的关系可以唯一地用u-i平面上一条曲线所表征，即有代数关系f(u，i)=0

则此二端元件称为电阻元件。

如果电阻元件的电压电流关系（Voltage-CurrentRelationship，VCR）在任何时候都是通过u-i平面坐标原点的一条直线，如图2-11(b)所示，则该电阻就称为线性时不变电阻，用R表示。图2-11电阻器件及其外特性对线性电阻：

1.VCR关系：2.消耗功率：

u和i为关联参考方向：u=Ri

u和i为非关联参考方向：u=

Ri3.无源元件：只要R

0，则总有实际电阻器：

介质多样，形状多样，用途多样。请看以下图片：图2-12实际电阻器件图2-13实际电阻器件2.3.2电阻的串联与并联电阻的串联与分压

一般来说，若有m个电阻R1、R2、…

、Rm串联，则它们的等效电阻（或称总电阻）为R=R1+R2+…+Rm

对于图2-15所示电路中的R1和R2来说，由欧姆定律得

又u1=R1

i，u2=R2

i故有分压公式图2-15电阻的并联与分流

一般而言，若有R1、R2、…、Rm互相并联，则等效电阻R可用下式计算：考虑到则等效电导G=G1+G2+…+Gm

对于由R1和R2相并联组成的电路，可以用一个等效电阻R来代替，如图2-16所示。由于图2-16故等效电阻R为

如果总电流i是已知的，由于u=

Ri，则两并联支路的电流分别为从而得分流公式

例若电路中既有电阻的串联又有电阻的并联，这样的电路称为混联电路。如图2-17所示，设R1=300Ω，R2=300Ω，R3=600Ω，u=6V，试求：（1）从a、b两端看进去的输入电阻（等效电阻）

；（2）

R1上的电压u；（3）R3中的电流i3。图2-17解所谓a、b两端看进去的输入电阻，是指a、b两端的电压u与电流i的比值，用Ri表示，即显然该输入电阻Ri就是等效电阻。对于本例电阻混联电路，应利用串、并联关系逐步化简。首先将R2与R3并联的等效电阻求出，即得到图2-17(b)所示电路后，则

于是电流i为由分流公式，有根据分压公式，得

故u1=R1i=300×0.012V=3.6V

例在图2-18所示电路中，已知R1=3

，R2=2

，R3=4

，R4=2

，R5=1

，US

=15V。（1）若以D为参考点（零电位），求电压UAB和C点的电位Uc；（2）若以E为参考点，再求电压UAB和电位Uc。图2-18

解（1）按电阻的串、并联关系，可容易得到C、D间两支路的等效电阻R=2

。从而得总电流I为由KCL得I2=I–I1=2A所以UAB=UAC+UCB=(

2

1+2

2)V=2VUc=(R2+R3)I1=6

1V=6V由分流公式得

（2）若以E为参考点，由于电路中各电流不变，故电位Uc=–R1I=

3

3V=

9V

电压UAB可以用R3和R5计算，得UAB=UAD+UDB=R3I1–R5I2=(

4

1

1

2)V=2V重要结论：

在电路中，参考点一经选定，其各点电位就是惟一确定的值；虽然参考点改变后，各点电位随之而变，但两点间的电压不会改变；而且计算两点间的电压与所走的路径无关。2.4电源元件1.电压源与电流源2.实际电源的模型及等效3.受控源

2.4.1电压源与电流源电压源的特性可描述如下：

如果一个二端元件接到任意外电路后，该元件两端始终保持规定的电压uS(t)，与通过它的电流大小无关，则此二端元件称为（理想）电压源。图2-19电压源与电池

如果一个二端元件接到任意外电路后，该元件输出的电流始终保持规定的电流iS(t)，与其两端电压的大小无关，则此二端元件称为（理想）电流源。

电流源的特性：图2-20电流源与光电池图2-21

例如图2-21所示电路，已知i2=1A，试求电流i1、电压u

和全电路的功率。解

由KCLi1=is

i2=1AR上消耗的功率为图2-22

例如图2-22所示电路，已知uS1=5V，uS2=10V，R1=R3=1

，R2=R4=4

，求i和uab。ab解

设电流参考方向和绕行方向一致，根据KVL，得R1i+R2i+R3i+uS2+R4i

uS1=0即（R1+R2+R3+R4）i=uS1

uS2所以uab应是a、b两点间各段电压的代数和，即uab=R3i+uS2=[1×(

0.5)+10]V=9.5V2.4.2实际电源的模型及等效实际电源的等效模型：从测量u和i的变化得出。图2-23实际电源的模型对于图2-23(b)：u=uS

RSi

对于图2-23(d)：电压源模型（串联电阻）与电流源模型（并联电阻）的等效互换：保持端口处电压、电流不变。图2-24电源模型互换法对于图(a)：

u=uS

RS

i对于图(b)：

故图(a)与图(b)等效对于图(c)：对于图(d)：

故图(c)与图(d)等效注意：

两种形式的电源互换时，要注意电压源的方向和电流源的方向对应一致。

例如图2-25所示电路，已知US=6V，IS=1A，试求电流I。图2-25解

观察等效电路，所以U=1.6V3Ω6Ω8Ω3Ω6Ω8Ω1.6Ω2.4.3受控源概念：受控源是非独立电源，是某些物理变量的模型表示。符号：如下图2-26所示。分类：

四类受控源，分别记作

uSu（VCVS）iSu（VCCS）

uSi（CCVS）iSi（CCCS）

图2-26例

图2-27所示电路为某电压放大器的一种等效电路。它含有一个电压控制电压源uSu(VoltageControlledVoltageSource,VCVS)，受控源uSu的大小为μu1，其中u1为R2两端的电压，是控制量，

μ为常系数。试求电压u2。图2-27解由上可知，电压u2是输入电压us的40倍，故该电路具有电压放大的作用。图2-28解由KVL可得例

如图2-28所示电路，其中含有一个电流控制电压源uSi

(CurrentControlledVoltageSource,CCVS),uSi的控制量为电流i1，被控量uSi的大小为2i1。试求电压u。图2-29(a)和(b)分别为场效应晶体管符号及其简单模型。图2-29(c)所示电路为一简单的场效应晶体管(FET)放大器电路模型，其中u1为输入，u2为输出。电路中含有一电压控制电流源iSu(VoltageControlledCurrentSource,VCCS)。被控量iSu的大小为gmugs，ugs为控制量，gm为常系数。试求输出电压u2。例图2-29解再根据KCL，得可得图2-30(a)为双极晶体管符号，图2-30(b)所示电路阴影部分为一简单的双极晶体管放大器的T形等效电路。其中含有一电流控制电流源iSi

(CurrentControlledCurrentSource,CCCS)。求输入电阻Ri和输出电压u2。例图2-30图2-30解由KVL，有由KCL，有从而得故输入电阻

由于

又因为u2=

iB

RL

最后得

若给定典型数值：

=100，RL=1.5k

，R1=75

，RB

=150

，RE=25

，u1=5mV，则可得Ri≈2725

u2≈

273mV四种理想线性受控源模型:图2-31说明：若受控源的系数为常数，则为线性受控源，否则为非线性受控源。阅读与思考

电源两种模型的等效互换方法。如何理解受控源的概念，何为线性受控源？2.5等效变换1.从事实到结论2.Y-∆等效变换2.5.1从事实到结论

设有两个线性二端电路N1和N2，如图2-32(a)和(b)所示，如果N1与N2的外部端口处（u，i）具有相同的电压电流特性（VCR），则称N1与N2互相等效，而不管N1和N2内部的结构如何。电源两种模型的互换法就是对外端口特性不变的等效。图2-32等效的概念

等效电阻（N1，N2中无电源时）：

例观察图2-33所示电路。等效电阻为2Ω图(a)与(b)等效图2-334

6

3

5

2

结论1：两个二端电路(单口)N1和N2，若它们的外部端口处电压电流关系(VCR)保持不变,则称N1和N2互相等效。如图2-34所示。图2-34

结论2：当把电路N1变换为N2后，若N外对应各节点KCL方程不变，则称N1和N2互相等效。如图2-35所示。

图2-35电流源转移等效

结论3：当电路N1变换为N2后，若N外对应两点间的电压保持不变，则称N1和N2互相等效。如图2-36所示。

图2-36电压源转移等效

例

如图2-37所示，求图2-37(a)中电压uab。解利用电源模型等效变换法，从而得到图2-37(c)，则图2-37

2.5.2Y-∆等效变换

图2-38

如图2-39所示，各电阻的等效变换关系如下：图2-39

例如图2-40所示，求电流i。

解

利用∆→Y变换可得电流i=2A。图2-40

例如图2-41所示，求端子1、4间的总电阻。

解利用Y

→∆变换可得R14=9.6Ω。图2-412.6

应用实例

精确测量电阻的简单仪器是惠斯通直流电桥。它的原理电路如图2-42(a)所示。其中，R1、R2、R3和R4构成电桥的四个臂。G称为检流计。当调节某个桥臂电阻，使检流计G指示为零时，必然Ucd=0，这时称电桥平衡。此时满足即R1I1=R4I4，R2I2=R3I3

1、直流电桥图2-42惠斯通直流电桥又IG=0，I1=I2，I3=I4，从而可得或者R1R3=R2R4

若R1是被测电阻RX，则有2、电压的测量仪表图2-43左为万用表，右为数字电压表3、实际电源的等效图2-44

学习是一种幸福，方法是一只小船。规律呈简约之美，知识因时代而变。思考可触类旁通，能力来源于实践。科学与人文互补，成功与勤奋相伴。思想与方法第3章电阻电路的分析方法本章重点

本章以线性电阻电路为对象，研究分析电路的基本方法。学习中要重点掌握好以下内容：

1.电路方程的独立性、2b方程的概念。

2.网孔分析法和节点分析法是最常用的两种方法，要重点学习好。

3.运算放大器的特点及分析方法。

学习导引：

爱因斯坦说：“如果一个人掌握了他的学科的基本原理，并学会了如何独立地思考和工作，他将肯定会找到属于他的道路。”

万物守常，星汉从轨；殊途同归，百虑一致。3.1电路的拓扑图3.2支路电流法3.3网孔分析法3.4节点分析法3.5含运算放大器电路的分析3.6应用实例本章目录3.1电路的拓扑图七桥趣题（1736，Euler）

图3-1(a)(b)图3-2七桥趣题的抽象图：思考：四色猜想（1852，F.Guthrie）促进了图论的发展，在拓扑学、运筹学等领域应用广泛。

图3-3地图的四色示意图

图3-4电路及其线图基本概念(a)(b)

1．图（graph）：点和线的集合定义为图。在图论中点称为节点或顶点，线称为支路或边。一个图的某些支路和节点的集合称为该图的子图。图的形式很多，有立体图，也有平面图。平面图是指：可以画在一个平面上，除了在节点处外，没有任何两条支路真正互相交叉。图3-5所示为几种常见的图。其中图(a)、(b）、(c)为平面图，图(d)、(e)、(f)为立体图。

图3-5平面图与非平面图图3-6连通图与非连通图

2．连通图（connectedgraph）：若图的任意两个节点间至少有一条由支路组成的路径，则称之为连通图，如图3-6所示。其中图(a)、(b)是连通图，图(c)为非连通图。

图3-7图G的所有树

3．树（tree）：对于一个连通图G，连接G的所有节点且不构成回路的所有连通子图，都称为图G的树，也称为图G的生成树。图3-7中给出了一个连通图G中所有的生成树。4．割集（cutset）与基本割集：把一个连通图分成两个互相分离的子图时所必须切割（移去）的最少支路数的集合称为割集。图3-8中，支路集合C1：{b1，b2}为割集，因为切割b1和b2后，原图分为不连通的两部分。同理，集合C3：{b1，b3，b5}、集合C4：{b4，b5}均为割集。集合{b1，b3，b4，b2}没有资格称为割集，因为虽把图分为两部分，但切割的支路数不是最少的。

图3-8割集与基本割集

设有连通图G，任意选定一个树，则由一条树支和一组连支构成的割集称为对应该树的基本割集（fundamentalcutset），也称为单树支割集。如在图3-9中，若选（b2，b3，b5）为树支，（b1，b4）为连支，则基本割集为

C1：{b1，b2}C2：{b1，b3，b4}C3：{b4，b5}

图3-9

由上可知，虽然一个图的割集往往很多，但基本割集数就等于树支数。图的树一旦确定，基本割集就是确定的。若电路的图有n个节点、b条支路，则有如下重要的结论：

n个节点、b条支路的图，必有（n－1）条树支和（b－n+1）条连支；图的基本割集数等于（n－1）。

5．回路（loop）与基本回路：按图论的观点，始节点和终节点相重合的通路称为图的回路。如图3-10所示，l1、l2和l3等均为回路。

图3-10

图中仅包含一条连支，其他均为树支的回路称为基本回路（fundamentalloop），或称单连支回路。在图3-10(b)中，设b1、b2和b3为树支，b4、b5和b6为连支，则l1、l2和l3均为基本回路。由于n个节点、b条支路的图，其任一余树的连支数为（b－n+1），所以基本回路数就等于连支数。只要一个图的树给定，它的基本回路就是确定的。

6．平面图的网孔：若连通的平面图的回路内再无任何支路，则这样的回路称为网孔。若连通的平面图有n个节点、b条支路，则它的网孔数为l=b－n+1，即等于平面图的基本回路数。

7．有向图：若图的每条支路都标有方向，则称为有向图或定向图。对于有向图，可相应地规定基本割集和基本回路的方向。通常，把所切割的树支方向定义为该基本割集的方向；而把连支的方向定义为该基本回路的方向。如图3-11所示，在电网络对应的图中，支路方向意指该支路的电流方向和电压方向。

图3-11

图3-12有向图及基本割集和基本回路实线为树支，虚线为连支

什么是树、割集、回路？什么是单树支割集？什么是单连支回路？阅读与思考3.2支路电流法1.KCL和KVL方程的独立性2.支路电流法3.2.1KCL和KVL方程的独立性

如图3-13所示电路：有3条支路，2个节点，3个回路。

图3-13KCL方程：节点a：i1+i5

i2=0

节点b：i2

i1

i5=0KVL方程：对3个回路回路l1：

uS

+

u1

+

u4

+

u5=0

回路l2：

u4

u5

+

u2

+

u3=0

回路l3：

uS

+

u1

+

u2

+

u3=0仅有1个方程独立仅有2个方程独立结论：

一般来说，对于有n个节点的电路图，其独立的KCL方程为（n

1）个，这些节点称为独立节点。一般来说，若电路图中有n个节点和b条支路，则独立的KVL方程数为l=b–n+1个。而平面电路（即画在平面上的电路中，除了节点外，再没有任何支路互相交叉）的网孔数恰等于（b–n+1）个，所以网孔都是独立回路。2b方程：

上述KCL和KVL方程共有b个（3个）独立方程。再写出b条支路（3条）的支路方程（VCR）：

u11=

R1i1+uS1u22=u5

R4iSu33=R2i2

+R3i33个方程均独立

所以独立的方程数为：(n

1)+(b

n+1)+b=2b（本例6个）联立6个方程求解，可得3个支路电流和3个支路电压。这就是2b法。

3.2.2支路电流法

以支路电流为求解变量的方法。如图3-14所示，以i1，i2，i3为求解变量，则

KCL：i1=i2

+

i3KVL：R1i1

+

R3i3=uS1R2i2

R3i3=

uS2联立可解。

图3-143.3网孔分析法概念：

以电路中假设的网孔电流为求解变量，列独立的KVL方程分析电路的方法。引例：

图3-15il2il1

在图3-15(b)中，除节点d外，可列出三个互相独立的KCL方程为：节点a：–i1+i2+i4=0

节点b：

i2–i3–i6=0

节点c：–i4+i5+i6=0

对图示的三个网孔，结合欧姆定律可列出三个独立的KVL方程为：网孔l1：R4i4+R5i5–uS1=0

网孔l2：R2

i2–uS2–R4i4=0

网孔l3：R3i3–uS2+R5i5+uS3=0

由图3-15(b)，各公共支路的电流可以分别用非公共支路的电流表示为

i4=i1–i2i5=i1+i3i6=–i2–i3

代入网孔方程，得

R4(i1–i2)+R5(i1+i3)

–uS1=0R2i2–uS2–R4(i1–i2)=0R3i3–uS2+R5(i1+i3)+uS3=0

可得到以各网孔非公共支路电流为未知量的三个独立的KVL方程为：

(R4+R5)i1–R4

i2+R5

i3=uS1(R2

+R4)i2–R4i1=uS2

(R3+R5)i3+R5

i1=uS2

–uS3

由此引出“网孔电流”的概念！设想电路中每个网孔有网孔电流（即非公共支路电流）环流，由此可列写独立的电压方程。联立这些网孔电压方程，则电路可解。（1）结论：

设平面电路有b条支路n个节点，则网孔数l=b–n+1。利用网孔电流的概念，可以列出l个以网孔电流为变量的网孔方程。根据式（1）的规律，以三个网孔为例，设网孔电流为il1、il2、il3，则可以写出各网孔KVL方程的一般形式为：

R11

il1+R12

il2+R13

il3=(

uS)l1R21

il1+R22

il2+R23

il3=(

uS)l2R31il1+R32

il2+R33

il3=(

uS)l3（2）

式中，R11、R22和R33分别称为网孔l1、l2和l3的自电阻，恒取正，它们分别为各网孔所有电阻之和；其余系数R12、R21、R31等为各网孔公共支路的电阻，称互电阻。

因为互电阻上的电压有正、负之分，而式（2）中均写为正值，故可把负号引入到互电阻中。当互电阻上两网孔电流方向相反时，互电阻取负；方向相同时，互电阻取正。方程右边(

uS)l1、(

uS)l2和(

uS)l3分别为网孔l1、l2和l3中所有电压源电压升的代数和，即电源电压升高的方向与网孔方向一致时取正，反之取负。网孔分析法的步骤：1．选定一组网孔，并假设各网孔电流的参考方向。

2．以网孔电流的方向为网孔的巡行方向，列写各网孔的KVL方程。

3．由网孔方程解出网孔电流。原电路非公共支路的电流就等于网孔电流，公共支路的电流等于网孔电流的代数和。

图3-16

例如对图3-16所示电路，

例现在研究在非公共支路中含有电流源的情况。如图3-17所示，试用网孔分析法求各支路电流。

图3-17

解

本电路有3个网孔，理应列写3个网孔方程，但由于电流源iS处于非公共支路，故该网孔电流变为已知量iS，可以少列一个网孔方程。假设网孔电流i2和i3的方向后，可得

(10+10+6)i2

10iS+6i3=10(6+3)i3+6i2=12

即

26i2+6i3=306i2+9i3=12

联立上式解得网孔电流（即非公共支路电流）

i2=1A

进而可得公共支路电流

ia=iS

i2=1A网孔法只适于平面电路。一般地，对电路选定一棵树，对所有单连支回路列电压方程，可得回路电流。图3-18

解

本例中公共支路含有1个7A电流源，处理这类问题的方法之一就是先假设该电流源两端的电压u，然后用前述网孔分析法列方程即可。由图得网孔方程：

例

这里研究在公共支路含有电流源的情况。如图3-18所示，试求网孔电流i1、i2和i3。

第一式和第三式相加消去u，再和余下的两式联立，即求解这一联立方程组，得网孔电流

i1=9A,i2=2.5A,i3=2A。图3-19例本例是含有受控源的情况。如图3-19所示电路，利用网孔分析法求电压u。

解

本例中含有受控源(VCCS)，处理方法是:先将受控源看成独立电源。如图中所标网孔方向，可知i1=0.1u,i3=4A，对网孔2列方程为26i2-2i1-20i3=12其中可以解得i2=3.6A,u=8V。3.4节点分析法概念

对于有n个节点的电路，以(n

1)个独立节点的电压为求解变量，列写KCL方程分析电路的方法称为节点分析法（节点电压法）。引例：

如图3-20所示电路，设节点d为参考点，节点a、b和c的电压（即相对于参考点的电位）分别记为u1、u2和u3，根据KCL，该电路有三个独立的电流方程：图3-20节点分析法用图节点a：

i1+i2+i5

iS1+iS3=0节点b：

i3+i4

i2=0节点c：

i4

i5

iS2=0

再由欧姆定律，各支路电流可表示为

i1=G1u1i2=G2(u1

u2)i3=G3u2i4=G4(u2

u3)i5=G5(u1

u3)

代入上述KCL方程，合并整理后得方程

(G1＋G2＋G5)u1

G2u2

G5

u3=iS1

iS3

G2

u1＋(G2＋G3＋G4)u2

G4

u3=0（1）

G5

u1

G4

u2＋(G4＋G5)u3=iS2

写成矩阵形式为(2)

这是以独立的节点电压（电位）为未知量的节点方程。这种分析方法就是所谓的节点分析法，或称节点电压法。将式（2）写成一般形式为(3)

对照式（2），可以看出节点方程有以下的规律性：（1）G11

=G1＋G2＋G5，是连于节点a的所有电导之和。（2）G22

=G2＋G3＋G4，是连于节点b的所有电导之和。（3）G33

=G4＋G5，是连于节点c的所有电导之和。（4）G11、G22和G33称为自电导，恒取正。其余元素是独立节点间的公共电导，称互电导。只要两节点间（除参考点外）有公共电导，则互电导恒取负。方程右端(

iS)a、(

iS)b和(

iS)c分别为流入节点a、b和c的电流源代数和，流入取正，流出取负。节点分析法的步骤：（1）首先将电路中所有电压源模型转换为电流源模型。

（2）在电路中选择一合适的参考点，以其余独立节点电压为待求量（有的可能已知）。

（3）列出所有未知节点电压的节点方程，其中电导恒为正，互电导恒为负。（4）联立求解节点电压，继而求出其余量。

例本例研究在独立节点间含有理想电压源的情况。如图3-21所示电路，试用节点电压法求电流i。abcd图3-21

解本例含有两个理想电压源，巧妙地选择参考点，可以使分析简化。由图可知，若选d为参考点，则电位ua=1V为已知量。由于b、c间有一电压源，在列节点方程时遇到困难。考虑到节点方程的本质是对各节点的KCL方程，可以假设5V电源支路有电流i1流过，并把i1看成电流源，从而可列方程节点b：节点c：且ub

uc=5前二式相加消去i1，再与第三式联立，即

1.5ub

ua+

uc=0ub

uc=5将ua=1V代入，解得

ub=2.4Vuc=

2.6V最后得图3-22例本例研究含有受控源的情况。如图3-22(a)所示电路，对独立节点1和2，利用节点分析法求i1和i2。12解

本例有电流控制电流源，首先把它看成独立源，并把电压型电源变换为电流型电源，如图3-22(b)所示。设独立节点电压为u1和u2，则可列节点方程组为再将控制量用节点电压表示，即i1=9-u1，从而得到解得u1和u2，最后求得i1和i2

。(a)(b)图3-23

例列图3-23(a)所示的节点方程。图中u是b、d两端的电压。，解阅读与思考若电路中含有受控源时应如何处理？节点电压方程的本质是什么？

特性

运算放大器（简称运放）是一个多端器件，它的一种外形图和对外连接电路方式如下。3.5含运算放大器电路的分析图3-24

图3-25(a)是运放的电气符号；图(b)是运放的一般外特性；图(c)是理想运放模型。标“−”端称反相端，标“+”端称同相端。图3-25理想模型：电压增益（放大倍数）K很高，理想时，K=

。输入电阻很高，通常Rin>2M，理想时，Rin=。输入端电流为零，i+=0，i

=0，称虚断路。输入电压uI=0，称虚短路；若K=105，uO=5V，则可见当K=

，uO有限时，uI=0。从而理想特性为：输入电阻

Rin=

；电压增益

K=

；输入电压

uI=0；输入电流

i+=0，i

=0例

图3-26

(a)所示为一同相放大器。求其电压增益。图3-26

解

根据虚短路的概念，u1=ua，由于i+=0，i

=0，所以i1=i2。从而有即解得u2与u1的比为

图(b)为图(a)的等效电路，它是一个压控电压源，是电压放大器。简画为图(c)所示形式。图3-27例图3-27所示为一加法器电路，求输出电压uo。

利用运放，可做成各种放大器、加法器、减法器、微分器和积分器等。解

对节点B列KCL方程，有i1+i2=if由于uA=uB=0，所以有或解得若R1=R2=Rf，则uo=-(u1+u2)

例本例研究含运算放大器的电路。如图3-28所示电路，求u2。图3-28

解本例虽然较复杂，但用节点法还是比较方便的。但由于运算放大器输出端电流为任意值，故不能在节点b和d处列KCL方程。又u1已知，所以在a和c节点处可列方程为

(G1＋G＋G4)

ua

G1

u1

G

ub

G4

u2=0(G＋G2＋G3)uc

G

ub

G2

u1

G3

u2=0因为ua=uc=0，故

G1u1

Gub

G4

u2=0

G

ub

G2

u1

G3

u2=0解得加法器：

分析线性电阻电路的基本方法有哪些？各方法有何特点？通常，如果电路中网孔多节点少，宜用节点分析法，如节点多网孔少，宜用网孔分析法。阅读与思考电阻应变器检测电路：

工程上常常要对一些物理量进行测试，如压力、温度、湿度、流量、光强等。测试这些物理量的简便方法是先把它们用传感器转变成电信号，然后放大、显示，确定物理量的变化。电阻应变器实质是一种压力传感器，它广泛应用于称重仪器或测量某种构件受力变形后所产生的效果。应用时，可把电阻应变器固定在被测物体上，应变器的阻值随着它的伸长或缩短而变化，即3.6应用实例图3-29电阻应变器检测电路练习题：如图3-30所示电路，求输入电阻Ri。

图3-30Ri提示：依次求uo、i1、u2、u1，最后可解得Ri练习题：

1.如图3-31电路，试用网孔分析法和节点分析法求电流i和电压u。

（答：i=1A，u=1.125V）图3-312.试用节点分析法求图3-32所示电路电压u。（答：u=4V）图3-323.如图3-33所示电路，试用网孔分析法求电压Uab。（答：Uab=4.4V）图3-334.如图3-34所示电路，试用节点分析法求电压U1。（答：U1=1V）图3-34

5.如图3-35所示电路，为使负载U2=6V，求RL=？（答：RL=

0.75kΩ）图3-356.如图3-36所示电路，试用节点分析法列方程。图3-36思想与方法反映事物的本质，反映事物的内部规律性，就必须经过思考的作用，将丰富的感觉材料加以去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造制作工夫，造成概念和理论的系统，就必须从感性认识跃进到理性认识。