天津市南开中学2026-2027学年高三第一学期学情调查（一）数学试卷（含答案）

天津市南开中学2026-2027学年第一学期学情调查（一）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（

）A． B． C． D．4．已知，，，则（

）A． B．C． D．5．若，化简的结果是（

）A． B． C． D．26．在中，角的对边分别是，若，则的面积为（

）A． B．1 C．5 D．7．已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（

）A． B． C． D．8．已知向量在单位向量上的投影向量为，且，，则，的最小值为（

）A． B． C． D．9．已知函数，若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题10．已知，则________．11．的展开式中常数项是，则______．12．已知，，若，同向，则_________．13．为帮助学生减压，高三某班准备了“幸运抽奖箱”，箱中共有10张卡片，其中6张为“获奖卡”．每位同学随机抽取3张，抽到获奖卡可兑换奖品，每人抽完后箱中恢复原先10张卡片．甲同学参加了一次抽奖活动，则甲同学恰好抽到2张“获奖卡”的概率为________；若该班有60名同学，每人都恰参加一次抽奖活动，则至少抽到1张“获奖卡”的人数的均值是________．14．直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于______．15．若，，对满足时，都有恒成立，则的最小值是_________．三、解答题16．已知函数，若任意，恒成立时，的最小值为．(1)求函数的解析式及其单调递增区间；(2)若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，将其图象向右平移个单位得到函数的图象．当时，求的最大值与最小值，及其对应的的值．17．如图，已知直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，M、N、P、D分别是、、、的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求到平面的距离．18．如图，平面内四点，，，，满足，，，．

(1)若，，（ⅰ）求的面积；（ⅱ）求．(2)若，，求．19．已知椭圆：，离心率为，点在椭圆上．(1)求曲线的方程；(2)设直线l是过原点O的一条动直线，直线l与圆O：交于M，N两点，，直线，与曲线的交点分别为点B，C．（ⅰ）直线是否过定点，过的话求出定点坐标，否则，说明理由；（ⅱ）是否存在直线l，使得四边形为梯形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．20．已知定义域为的函数的导函数，且曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)当时，讨论的单调性；(3)若在上恒成立，求的取值范围．《天津市南开中学2026-2027学年第一学期学情调查（一）数学试卷》参考答案题号123456789答案DDADCDBCA1．D2．D3．A4．D5．C6．D7．B8．C9．A10．11．12．113．；5814．15．16．(1)，单调递增区间为（）；(2)当时，取得最大值；当时，取得最小值，17．(1)因为、分别是、的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；在直三棱柱中，且，又因为，分别是、的中点，所以且，故四边形是平行四边形，从而，因为平面，平面，平面，又，、平面，所以平