两个缓变函数相除的极限化简

两个缓变函数相除的极限化简在微积分的学习和应用中，极限运算始终是核心内容之一，而两个函数相除的极限则是其中的常见形式。当这两个函数均为缓变函数时，其极限化简过程具有独特的规律和方法。缓变函数，通常指那些变化速度相对缓慢、在特定区间内不会出现剧烈波动或突变的函数，比如多项式函数、指数增长较慢的指数函数、对数函数等。深入研究两个缓变函数相除的极限化简，不仅有助于我们更高效地解决复杂的极限问题，还能为后续的导数、积分等运算奠定坚实的基础。一、缓变函数的基本类型与特性（一）多项式函数多项式函数是最基础的缓变函数之一，其一般形式为(P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0)，其中(n)为非负整数，(a_n,a_{n-1},\cdots,a_0)为常数，且(a_n\neq0)。多项式函数的变化速度由其最高次项决定，当(x)趋向于无穷大时，最高次项的增长速度远快于其他低次项，因此在极限运算中，低次项可以忽略不计。例如，对于多项式(P(x)=3x^3-2x^2+5x-1)，当(x\to\infty)时，(3x^3)是主导项，其他项相对于它来说可以忽略。多项式函数具有良好的连续性和可导性，在整个实数域内都是连续且可导的，这使得在处理多项式函数相除的极限时，可以方便地运用各种极限运算法则。此外，多项式函数的极限运算相对简单，当(x\tox_0)时，直接将(x_0)代入多项式即可得到极限值，除非分母在(x_0)处为零，此时需要进一步分析。（二）指数函数指数函数的一般形式为(f(x)=a^x)，其中(a>0)且(a\neq1)。当(a>1)时，指数函数呈指数增长趋势，但增长速度相对缓慢，尤其是当(a)接近1时，增长速度非常慢；当(0<a<1)时，指数函数呈指数衰减趋势。指数函数的一个重要特性是其导数等于自身乘以一个常数，即(f'(x)=a^x\lna)，这一特性在极限运算和导数运算中经常用到。在两个指数函数相除的极限中，当底数不同时，需要比较它们的增长速度。例如，当(x\to\infty)时，(2^x)的增长速度远快于(1.5^x)，因此(\lim_{x\to\infty}\frac{1.5^x}{2^x}=\lim_{x\to\infty}(\frac{1.5}{2})^x=0)。而当底数相同时，两个指数函数相除可以化简为一个常数的指数形式，例如(\frac{3^x}{3^{x-2}}=3^2=9)，其极限值就是这个常数。（三）对数函数对数函数的一般形式为(f(x)=\log_ax)，其中(a>0)且(a\neq1)，常见的对数函数有自然对数(\lnx)（底数为(e)）和常用对数(\lgx)（底数为10）。对数函数的增长速度非常缓慢，当(x\to\infty)时，对数函数的增长速度远慢于多项式函数和指数函数。例如，当(x\to\infty)时，(\lnx)的增长速度比任何正数次幂的多项式函数都慢，即(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x^k}=0)（(k>0)）。对数函数的定义域为((0,+\infty))，在定义域内连续且可导，其导数为(f'(x)=\frac{1}{x\lna})。在处理对数函数相除的极限时，常常需要利用对数的运算法则将其化简，例如(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN)，(\log_aM^n=n\log_aM)等。此外，对数函数与指数函数互为反函数，这一关系在极限运算中也经常用到，例如(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1)，这是一个重要的极限公式。（四）缓变函数的组合形式除了上述基本类型的缓变函数外，还存在由这些基本函数通过四则运算、复合运算等组合而成的缓变函数。例如，(f(x)=\frac{x^2+1}{x-1})是多项式函数的商，(g(x)=e^{\frac{1}{x}})是指数函数与反比例函数的复合，(h(x)=\ln(x^2+1))是对数函数与多项式函数的复合。这些组合形式的缓变函数在极限运算中需要根据其具体结构选择合适的化简方法。组合形式的缓变函数可能会出现一些特殊情况，例如分母为零、不定式等，这时候需要运用更复杂的极限运算法则，如洛必达法则、泰勒展开等。同时，组合函数的连续性和可导性也需要根据基本函数的性质进行分析，确保在极限运算过程中函数的连续性和可导性满足相应的条件。二、两个缓变函数相除的极限基本类型（一）确定型极限确定型极限是指可以直接通过代入法或简单的运算法则求出极限值的情况。当两个缓变函数相除时，如果分母在极限点处不为零，且分子和分母的极限都存在且有限，那么可以直接将极限点代入函数中计算极限值。例如，求(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2})，当(x\to2)时，分母(x-2\to0)，但分子(x^2-4=(x-2)(x+2))，可以约分得到(x+2)，然后将(x=2)代入，得到极限值为4。另一种确定型极限是当(x\to\infty)时，分子和分母都是多项式函数，此时可以通过比较分子和分母的最高次项来确定极限值。如果分子的最高次项次数高于分母的最高次项次数，那么极限为无穷大；如果分子的最高次项次数低于分母的最高次项次数，那么极限为0；如果分子和分母的最高次项次数相同，那么极限为最高次项系数的比值。例如，(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^3+2x^2-1}{2x^3-5x+3}=\frac{3}{2})，因为分子和分母的最高次项都是(x^3)，系数分别为3和2。（二）不定式极限不定式极限是指分子和分母的极限都为0或都为无穷大的情况，常见的不定式类型有(\frac{0}{0})型和(\frac{\infty}{\infty})型，此外还有(0\cdot\infty)、(\infty-\infty)、(0^0)、(1^\infty)、(\infty^0)等类型，但这些类型通常可以转化为(\frac{0}{0})型或(\frac{\infty}{\infty})型来处理。对于(\frac{0}{0})型不定式，当(x\tox_0)时，分子(f(x)\to0)，分母(g(x)\to0)，此时不能直接代入计算，需要运用一些特殊的方法进行化简。例如，对于(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x})，这是一个经典的(\frac{0}{0})型不定式，通过夹逼准则可以证明其极限值为1。对于(\frac{\infty}{\infty})型不定式，当(x\to\infty)时，分子(f(x)\to\infty)，分母(g(x)\to\infty)，同样需要运用特殊方法化简，例如比较分子和分母的增长速度、运用洛必达法则等。不定式极限是两个缓变函数相除的极限化简中的难点，需要根据具体情况选择合适的方法进行处理，不同的方法适用于不同类型的不定式，因此需要对各种方法有深入的理解和掌握。三、两个缓变函数相除的极限化简方法（一）代入法代入法是最基本的极限化简方法，适用于确定型极限。当分母在极限点处不为零时，直接将极限点代入分子和分母中计算极限值。例如，求(\lim_{x\to1}\frac{x^2+2x-3}{x+1})，将(x=1)代入分子和分母，得到(\frac{1^2+2\times1-3}{1+1}=\frac{0}{2}=0)，因此极限值为0。代入法的前提是函数在极限点处连续，即分子和分母在极限点处的极限都存在且分母不为零。如果函数在极限点处不连续，例如分母为零，那么代入法就不适用，需要采用其他方法进行化简。（二）因式分解法因式分解法适用于分子和分母都是多项式函数且出现(\frac{0}{0})型不定式的情况。通过对分子和分母进行因式分解，约去导致分母为零的因式，然后再用代入法计算极限值。例如，求(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x^2-5x+6})，分子(x^2-4=(x-2)(x+2))，分母(x^2-5x+6=(x-2)(x-3))，约去(x-2)后得到(\frac{x+2}{x-3})，将(x=2)代入，得到(\frac{2+2}{2-3}=-4)，因此极限值为-4。因式分解法的关键是能够准确地对分子和分母进行因式分解，这需要掌握多项式因式分解的各种方法，如提取公因式法、公式法、十字相乘法等。对于高次多项式，可能需要运用更复杂的因式分解方法，如分组分解法、试根法等。（三）有理化法有理化法适用于分子或分母中含有根式的情况，通过有理化将根式去掉，从而化简极限。有理化法通常分为分子有理化和分母有理化两种，当分子中含有根式时，采用分子有理化；当分母中含有根式时，采用分母有理化。例如，求(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x})，这是一个(\frac{0}{0})型不定式，分子中含有根式，采用分子有理化，将分子分母同时乘以(\sqrt{1+x}+1)，得到：[\begin{align*}\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}&=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}\&=\lim_{x\to0}\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}\&=\lim_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}\&=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\&=\frac{1}{2}\end{align*}]有理化法的关键是找到合适的有理化因子，通常是根式的共轭式，通过平方差公式或其他公式将根式去掉。对于多个根式的情况，可能需要多次进行有理化操作。（四）等价无穷小替换法等价无穷小替换法是一种非常实用的极限化简方法，当(x\to0)时，一些函数可以用与其等价的无穷小来替换，从而简化极限运算。等价无穷小的定义是：如果(\lim_{x\to0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1)，则称(\alpha(x))与(\beta(x))是等价无穷小，记作(\alpha(x)\sim\beta(x))（(x\to0)）。常见的等价无穷小有：(\sinx\simx)（(x\to0)）(\tanx\simx)（(x\to0)）(\arcsinx\simx)（(x\to0)）(\arctanx\simx)（(x\to0)）(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2)（(x\to0)）(\ln(1+x)\simx)（(x\to0)）(e^x-1\simx)（(x\to0)）((1+x)^k-1\simkx)（(x\to0)，(k)为常数）在使用等价无穷小替换法时，需要注意只能对分子或分母中的因式进行替换，不能对加减法中的项进行替换。例如，求(\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3})，不能直接将(\sinx)替换为(x)，因为(\sinx-x)是减法中的项，替换后得到(\lim_{x\to0}\frac{x-x}{x^3}=0)，这是错误的。正确的做法是使用泰勒展开或洛必达法则，得到极限值为(-\frac{1}{6})。（五）洛必达法则洛必达法则是处理不定式极限的一种重要方法，适用于(\frac{0}{0})型和(\frac{\infty}{\infty})型不定式。洛必达法则的内容是：如果函数(f(x))和(g(x))满足以下条件：(\lim_{x\tox_0}f(x)=0)（或(\infty)），(\lim_{x\tox_0}g(x)=0)（或(\infty)）；在(x_0)的某去心邻域内，(f'(x))和(g'(x))都存在，且(g'(x)\neq0)；(\lim_{x\tox_0}\frac{f'(x)}{g'(x)})存在（或为无穷大）。则有(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\tox_0}\frac{f'(x)}{g'(x)})。洛必达法则可以多次使用，只要每次使用后仍然满足不定式条件。例如，求(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2})，这是一个(\frac{0}{0})型不定式，第一次使用洛必达法则，得到(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x})，仍然是(\frac{0}{0})型不定式，再次使用洛必达法则，得到(\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2})，因此极限值为(\frac{1}{2})。需要注意的是，洛必达法则的使用条件是严格的，必须满足上述三个条件才能使用。如果不满足条件，使用洛必达法则可能会得到错误的结果。例如，求(\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sinx}{x})，这是一个(\frac{\infty}{\infty})型不定式，但(\lim_{x\to\infty}\frac{(x+\sinx)'}{x'}=\lim_{x\to\infty}(1+\cosx))，这个极限不存在，因此不能使用洛必达法则。实际上，(\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sinx}{x}=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{\sinx}{x})=1+0=1)，因为(\sinx)是有界函数，(\frac{\sinx}{x}\to0)（(x\to\infty)）。（六）泰勒展开法泰勒展开法是将函数在某一点展开成幂级数的形式，通过展开式来化简极限。泰勒展开的一般形式为：[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)]其中(R_n(x))是余项，当(x\tox_0)时，(R_n(x))是比((x-x_0)^n)高阶的无穷小。在极限运算中，通常只需要展开到足够的阶数，使得余项可以忽略不计。泰勒展开法适用于各种类型的缓变函数，尤其是当函数比较复杂，难以用其他方法化简时，泰勒展开法可以将函数转化为多项式形式，从而方便地进行极限运算。例如，求(\lim_{x\to0}\frac{\cosx-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4})，将(\cosx)和(e^{-\frac{x^2}{2}})分别在(x=0)处泰勒展开：[\cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots][e^{-\frac{x^2}{2}}=1+(-\frac{x^2}{2})+\frac{(-\frac{x^2}{2})^2}{2!}+\frac{(-\frac{x^2}{2})^3}{3!}+\cdots=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}-\frac{x^6}{48}+\cdots]将展开式代入原式，得到：[\begin{align*}\lim_{x\to0}\frac{\cosx-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}&=\lim_{x\to0}\frac{(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots)-(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}-\cdots)}{x^4}\&=\lim_{x\to0}\frac{(\frac{1}{24}-\frac{1}{8})x^4+\cdots}{x^4}\&=\lim_{x\to0}(\frac{1}{24}-\frac{3}{24}+\cdots)\&=-\frac{1}{12}\end{align*}]泰勒展开法的关键是掌握常见函数的泰勒展开式，并能够根据极限运算的需要展开到合适的阶数。同时，需要注意余项的处理，确保余项在极限运算中可以忽略不计。（七）变量替换法变量替换法是通过引入新的变量，将原极限转化为更容易处理的形式。变量替换法适用于各种类型的极限问题，尤其是当函数中含有复杂的表达式时，通过变量替换可以简化函数的结构。例如，求(\lim_{x\to\infty}x(\sqrt{x^2+1}-x))，这是一个(\infty\cdot0)型不定式，令(t=\frac{1}{x})，当(x\to\infty)时，(t\to0^+)，则原式转化为：[\begin{align*}\lim_{t\to0^+}\frac{1}{t}(\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}-\frac{1}{t})&=\lim_{t\to0^+}\frac{1}{t}(\frac{\sqrt{1+t^2}-1}{t})\&=\lim_{t\to0^+}\frac{\sqrt{1+t^2}-1}{t^2}\end{align*}]这是一个(\frac{0}{0})型不定式，使用有理化法或等价无穷小替换法，得到极限值为(\frac{1}{2})。变量替换法的关键是选择合适的替换变量，使得原函数的结构得到简化。常见的替换变量有(t=\frac{1}{x})（当(x\to\infty)时）、(t=x-x_0)（当(x\tox_0)时）、(t=\sinx)、(t=\lnx)等，具体选择需要根据函数的形式来确定。四、不同类型缓变函数相除的极限化简实例分析（一）多项式函数相除的极限化简实例1：求(\lim_{x\to1}\frac{x^3-3x+2}{x^2-1})这是一个(\frac{0}{0})型不定式，分子和分母都是多项式函数，采用因式分解法。分子(x^3-3x+2)可以因式分解为((x-1)^2(x+2))，分母(x^2-1=(x-1)(x+1))，约去(x-1)后得到(\frac{(x-1)(x+2)}{x+1})，将(x=1)代入，得到(\frac{(1-1)(1+2)}{1+1}=0)，因此极限值为0。实例2：求(\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3-x^2+5}{3x^3+4x-1})这是一个(\frac{\infty}{\infty})型不定式，分子和分母都是三次多项式，最高次项系数分别为2和3，因此极限值为(\frac{2}{3})。也可以将分子和分母同时除以(x^3)，得到(\lim_{x\to\infty}\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3}}{3+\frac{4}{x^2}-\frac{1}{x^3}}=\frac{2-0+0}{3+0-0}=\frac{2}{3})。（二）指数函数与多项式函数相除的极限化简实例3：求(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x})这是一个(\frac{\infty}{\infty})型不定式，使用洛必达法则，第一次求导得到(\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^x})，仍然是(\frac{\infty}{\infty})型不定式，再次求导得到(\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x}=0)，因此极限值为0。这说明指数函数(e^x)的增长速度远快于多项式函数(x^2)。实例4：求(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2})这是一个(\frac{0}{0})型不定式，使用洛必达法则，第一次求导得到(\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x})，仍然是(\frac{0}{0})型不定式，再次求导得到(\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2})，因此极限值为(\frac{1}{2})。也可以使用泰勒展开法，将(e^x)展开为(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots)，代入原式得到(\lim_{x\to0}\frac{(1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots)-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{x^2}{2}+\cdots}{x^2}=\frac{1}{2})。（三）对数函数与多项式函数相除的极限化简实例5：求(\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x^k})（(k>0)）这是一个(\frac{\infty}{\infty})型不定式，使用洛必达法则，求导得到(\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{kx^{k-1}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{kx^k}=0)，因此极限值为0。这说明对数函数(\lnx)的增长速度远慢于多项式函数(x^k)（(k>0)）。实例6：求(\lim_{x\to1}\frac{\lnx}{x-1})这是一个(\frac{0}{0})型不定式，使用洛必达法则，求导得到(\lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}}{1}=1)，因此极限值为1。也可以使用变量替换法，令(t=x-1)，当(x\to1)时，(t\to0)，则原式转化为(\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1)，这是一个重要的极限公式。（四）复合缓变函数相除的极限化简实例7：求(\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3})这是一个(\frac{0}{0})型不定式，使用洛必达法则，第一次求导得到(\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{3x^2})，仍然是(\frac{0}{0})型不定式，再次求导得到(\lim_{x\to0}\frac{-\sinx}{6x})，还是(\frac{0}{0})型不定式，第三次求导得到(\lim_{x\to0}\frac{-\cosx}{6}=-\frac{1}{6})，因此极限值为(-\frac{1}{6})。也可以使用泰勒展开法，将(\sinx)展开为(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots)，代入原式得到(\lim_{x\to0}\frac{(x-\frac{x^3}{6}+\cdots)-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^3}{6}+\cdots}{x^3}=-\frac{1}{6})。实例8：求(\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+e^x)}{x})这是一个(\frac{\infty}{\infty})型不定式，使用洛必达法则，求导得到(\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{e^x}{1+e^x}}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{1+e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+e^{-x}}=1)，因此极限值为1。也可以将分子拆分为(\lne^x(1+e^{-x})=x+\ln(1+e^{-x}))，则原式转化为(\lim_{x\to\infty}\frac{x+\ln(1+e^{-x})}{x}=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{\ln(1+e^{-x})}{x})=1+0=1)，因为(\ln(1+e^{-x}))是有界函数，(\frac{\ln(1+e^{-x})}{x}\to0)（(x\to\infty)）。五、两个缓变函数相除的极限化简注意事项（一）注意极限的存在性在进行极限化简时，首先要判断极限是否存在。有些情况下，虽然函数在极限点附近有定义，但极限可能不存在。例如，(\lim_{x\to0}\frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}})，令(t=\frac{1}{x})，当(x\to0)时，(t\to\infty)，则原式转化为(\lim_{t\to\infty}\frac{\sint}{t})，因为(\sint)是有界函数，(\frac{\sint}{t}\to0)（(t\to\infty)），所以极限存在且为0。但对于(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x})，当(x\to0)时，(\frac{1}{x}\to\infty)，(\sin\frac{1}{x})在-1和1之间振荡，因此极限不存在。（二）注意等价无穷小替换的条件等价无穷小替换法虽然方便快捷，但使用时必须注意其条件，只能对分子或分母中的因式进行替换，不能对加减法中的项进行替换。如果在加减法中进行等价无穷小替换，可能会导致错误的结果。例如，求(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3})，如果错误地将(\tanx)和(\sinx)都替换为(x)，得到(\lim_{x\to0}\frac{x-x}{x^3}=0)，这是错误的。正确的做法是将(\tanx-\sinx)化简为(\tanx(1-\cosx))，然后使用等价无穷小替换，(\tanx\simx)（(x\to0)），(1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2)（(x\to0)），则原式转化为(\lim_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3}=\frac{1}{2})。（三）注意洛必达法则的使用条件洛必达法则是处理不定式极限的有效方法，但使用时必须满足其三个条件。如果不满足条件，使用洛必达法则可能会得到错误的结果。例如，求(\lim_{x\to\infty}\frac{x+\cosx}{x})，这是一个(\frac{\infty}{\infty})型不定式，但(\lim_{x\to\infty}\frac{(x+\cosx)'}{x'}=\lim_{x\to\infty}(1-\sinx))，这个极限不存在，因此不能使用洛必达法则。实际上，(\lim_{x\to\infty}\frac{x+\cosx}{x}=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{\cosx}{x})=1+0=1)，因为(\cosx)是有界函数，(\frac{\cosx}{x}\to0)（(x\to\infty)）。（四）注意函数的定义域和连续性在进行极限运算时，要注意函数的定义域和连续性。如果函数在极限点处不连续，可能需要通过其他方法来确定极限值。例如，求(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x})，函数的定义域为(x\geq-1)且(x\neq0)，在(x=0)处不连续，但通过有理化法可以求出极限值为(\frac{1}{2})。此外，有些函数在极限点处的极限值可能与函数在该点的定义值不同，这时候需要区分函数的极限值和函数值。六、两个缓变函数相除的极限化简在实际应用中的意义（一）在物理学中的应用在物理学中，许多物理量的变化规律可以用缓变函数来描述，例如物体的运动速度、加速度、能量等。当研究这些物理量的变化趋势时，常常需要计算两个缓变函数相除的极限。例如，在研究物体的自由落体运动时，物体的速度(v(t)=gt)（(g)为重力加速度），位移(s(t)=\frac{1}{2}gt^2)，当(t\to\infty)时，速度与时间的比值(\frac{v(t)}{t}=g)，表示速度随时间的变化率是恒定的，即加速