2026新教材数学 第二十六章 二次函数 章末小结 课件 人教版数学九年级上册

第二十六章二次函数2026人教版·九年级上册章末小结单元结构二次函数y=ax2+bx+c实际问题归纳抽象利用二次函数的图象和性质求解实际问题的答案目标y=ax2+bx+c特殊一般图象性质图象概念知识梳理1.二次函数的概念定义：形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的整式函数叫做二次函数，其中

x

是自变量，a、b、c

分别为二次项系数、一次项系数和常数项。判定核心：解析式为整式；自变量最高次数为2；二次项系数

a≠0(是判断二次函数的唯一核心条件)。特殊形式：当b=0时，y=ax2+c；当c=0时，y=ax2+bx；当b=c=0时，y=ax2。题型突破题型1二次函数的识别1.给出下列函数：①y=(x-1)2-x2+1;②y=-2x2-1;③y=+x-1;④y=2x2-x-1;⑤y=ax2+bx+c

;⑥y=3x3-2x2.其中二次函数的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4B

知识梳理2.二次函数的图象和性质y=ax2a>0a<0图象位置开口方向开口向上，在x轴上方开口向下，在x轴下方对称性关于y轴对称，对称轴是直线x=0顶点最值顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0增减性当x<0时,y随着x的增大而减小;当x>0时,y随着x的增大而增大.当x<0时,y随着x的增大而增大;当x>0时,y随着x的增大而减小.y=a(x-h)2+ka>0，h>0a>0，h<0a<0，h>0a<0，h<0图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大.向上直线x=h（h,k）x=h时，y最小值=k当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小.向下直线x=h（h,k）x=h时，y最大值=k2.二次函数y=-(x+1)2+3的图象大致是（

）A.B.C.D.xyOxyOxyOxyOA题型突破题型2根据二次函数的解析式判断其性质3.下列关于二次函数y=4x2的说法正确的是()A．它的图象经过点(-1,-4) B．当x=0时，y有最大值为0C．它的图象的对称轴是直线x=4D．当x<0时，y随x的增大而减小D题型突破题型3比较抛物线上两点的函数值大小4.若A(-1,y1)，B(3,y2)两点在二次函数y=-2(x-2)2+k的图象上，则y1，y2的大小关系为()A．y1<y2B．y1=y2C．y1>y2D．无法确定A题型突破题型4图象平移问题5.要得到抛物线y=4(x-2)2-3，可以将抛物线y=4x2()A．向右平移2个单位，再向下平移3个单位B．向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位D．向右平移2个单位，再向上平移3个单位AxyOxyOyxOOyx6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+bc的图象可能是()A.

B.

C.

D.题型突破题型5函数图象的综合判断DOxy二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a,b,c的关系

C题型突破题型5函数图象的综合判断知识梳理抛物线与x轴的交点横坐标对应一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，交点个数由根的判别式Δ=b2-4ac决定：Δ>0：抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根；Δ=0：抛物线与x轴有一个交点(顶点)，方程有两个相等的实数根；Δ<0：抛物线与x轴无交点，方程无实数根。3.二次函数与一元二次方程的关系题型突破题型6抛物线与坐标轴交点个数7.二次函数y=x2-2x+1的图象与坐标轴交点的情况是()A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点D．有三个交点C

3.二次函数与一元二次方程、不等式知识梳理近似根求解：通过列表、描点画图，利用函数值的正负变化，逐步缩小范围估算方程根的取值。与不等式的关系：抛物线在x轴上方的部分对应y>0的解集，在x轴下方的部分对应y<0的解集；抛物线与直线的交点横坐标，对应方程ax2+bx+c=mx+n的解。题型7

二次函数与一元二次方程题型突破8.若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0),(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的解为______________.x1＝－1，x2＝2题型突破题型8图像法解一元一次不等式9.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则不等式x2-x-2<0的解集是()A．x<-1B．x>2 C．-1<x<2

D．x<-1或x>2C4.二次函数的实际应用知识梳理解题步骤：审题确定变量→根据数量关系列出二次函数解析式→求出自变量的取值范围→求出函数最值→检验实际意义。常见应用模型：利润最大的问题：“总利润=单件利润×销量”图形面积最值问题：结合矩形、三角形等图形的面积公式建立函数抛物线型实物问题：拱桥、喷泉、投篮、隧道等，通过建立平面直角坐标系，用待定系数法求解析式后解决高度、宽度、通行性等问题；运动轨迹问题：物体抛射、动点运动中的面积、最值问题。1.(RJ九上P61T7)某高为1m的喷水管竖直向上喷水，水在空中的高度h(单位：m)与水离开水管后在空中的时间t(单位：s)的关系近似为h＝－5t2＋12t＋1.(1)水离开喷水管后，经过多久能落回到起始高度？解：(1)将h＝1代入h＝－5t2＋12t＋1，得1＝－5t2＋12t＋1，解得t1＝

，t2＝0(不合题意，舍去).答：经过

s能落回到起始高度.(2)喷出的水在空中的最大高度是多少？答：喷出的水在空中的最大高度是

m.解：(2)∵h＝－5t2＋12t＋1，－5<0，∴当t＝=

时，h有最大值

.2.(RJ九上P62T9)如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？解：设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE＝a－x.∵四边形ABDCD，EFGH是正方形，∴∠A=∠B=90°，EH＝EF，∠HEF＝90°.∴∠AEH＋∠BEF＝90°，∠AEH＋∠AHE＝90°.∴∠AHE＝∠BEF.∴△AHE≌△BEF(AAS).∴AE＝BF＝x，∴在Rt🔺BEF中EF2＝BE2＋BF2＝(a－x)2＋x2＝2x2－2ax＋a2.∴当x＝

a(即E是边AB上的中点)时，正方形EFGH的面积最小.3.(RJ九上P62T11)某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件(每件售价不能高于70元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元.(1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.解：(1)依题意得y＝(210－7x)(50＋x－35)＝－7x2＋105x＋3150(0<x≤20且x为整数).(2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？解：(2)由(1)中的y与x的解析式配方得y＝－7(x－7.5)2＋3543.75.∵a＝－7<0，当x＝7时，50＋x＝57，y＝3542，当x＝8时，50＋x＝58，y＝3542.∴当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元.(3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元？解：(3)当y＝3500时，－7x2＋105x＋3150＝3500，解得x1＝10，x2＝5.当x＝10时，50＋x＝60；当x＝5时，50＋x＝55.∴当售价定为每件60或55元时，每个月的利润为3500元.因此当售价每件不低于55元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于3500元(或当售价每件分别为55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于3500元).5.(RJ九上P62T12)已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.矩形的两邻边长各为多少时，旋