2026年部编版高中二年级数学下册第3单元立体几何知识点巩固习题及答案

2026年部编版高中二年级数学下册第3单元立体几何知识点巩固习题及答案第1页共1页2026年部编版高中二年级数学下册第3单元立体几何知识点巩固习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E在棱CC₁上，且CE=1，则点E到平面ABCD的距离是（）A.1B.√2C.√3D.2参考答案：B2.在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于平面x+y+z=1的对称点P'的坐标是（）A.(0,0,0)B.(-1,-1,-1)C.(2,2,2)D.(1,1,1)参考答案：B3.已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=2，则点P到直线BC的距离是（）A.√3B.2√3C.2D.√6参考答案：A4.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为√3，则侧面PAB与底面ABCD所成的二面角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：C5.已知球O的半径为1，点P在球面上，OP与球面的距离为d，则d的取值范围是（）A.[0,1]B.(0,1)C.[0,√2)D.(0,√2)参考答案：C6.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=1，AA₁=3，则直线AC₁与直线BD所成的角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：D7.已知平面α与平面β所成的二面角为60°，直线m在平面α内，则直线m与平面β所成的角的取值范围是（）A.[0°,60°]B.[30°,60°]C.[0°,90°]D.[0°,30°]参考答案：A8.过点P(1,2,3)作直线l平行于直线x=y=z，则直线l的参数方程是（）A.x=1+t,y=2+t,z=3+tB.x=1-t,y=2-t,z=3-tC.x=1,y=2,z=3D.x=t,y=t,z=t参考答案：D9.在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，且PA=BC=2，则三棱锥P-ABC的体积是（）A.√3B.√6C.2√3D.4√3参考答案：C10.已知直线l₁:x+y-1=0与直线l₂:ax-y+1=0平行，则a的值是（）A.-1B.1C.-2D.2参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁的中点，则直线AE与平面ABB₁A₁所成角的正弦值为______。参考答案：√3/32.已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥BC，且PA=2，则点P到平面ABC的距离为______。参考答案：2√3/33.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为√3，则侧面PAB与底面ABC所成二面角的余弦值为______。参考答案：1/√34.球O的半径为1，点P在球面上，OP与球面的距离为d，若d=√2/2，则点P到球心O的距离为______。参考答案：15.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=1，A₁D₁=√3，则该长方体的体积为______。参考答案：2√36.过点P(1,2,3)作直线l平行于直线x=y，则直线l的方向向量为______。参考答案：(1,1,0)7.在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于平面x+y+z=1的对称点坐标为______。参考答案：(1,1,1)8.在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，且PA=BC=2，则三棱锥P-ABC的体积为______。参考答案：29.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为√3，则该正四棱锥的表面积为______。参考答案：12+4√310.已知直线l:x-2y+3=0，则直线l的斜率是______。参考答案：1/2三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.过空间中任意三点，有且只有一个平面。参考答案：√2.正四棱锥的侧棱长与底面边长相等时，其侧面与底面所成的二面角是45°。参考答案：×3.球面上两点之间最短的连线是球大圆上这两点之间的劣弧。参考答案：√4.若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内的所有直线都垂直。参考答案：×5.正方体的外接球半径等于其棱长的√3倍。参考答案：√6.空间中三个不共线的向量一定可以构成一个基底。参考答案：√7.直线l在平面α内的投影是一条直线或一个点。参考答案：√8.若两个平面的交线垂直于第三个平面，则这两个平面也垂直。参考答案：×9.空间中四个不共面的向量一定可以构成一个四维向量空间。参考答案：×10.如果一个三棱锥的底面是边长为a的正三角形，侧面都是等边三角形，则它是正三棱锥。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知正方体的棱长为3，求其外接球的表面积。参考答案：36π2.简述正方体外接球半径与正方体棱长的数量关系。参考答案：正方体外接球半径R=棱长a√3/23.判断题：若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内的所有直线都垂直。参考答案：×4.列举空间中确定一个平面的基本条件。参考答案：三点不共线、一条直线与平面内两点、两点与平面内一点、一条直线与直线外一点5.在正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为√3，求侧面三角形PAB的面积。参考答案：√36.简述球面上两点之间最短的连线性质。参考答案：大圆劣弧7.已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求其体积V。参考答案：abc8.过点P(1,2,3)作直线l平行于直线x=y，则直线l的方向向量是什么？参考答案：(1,1,0)五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.一个正四棱锥P-ABCD的底面边长为4cm，侧棱长为5cm，E是PC的中点。求（1）正四棱锥的高；（2）点E到平面PAB的距离。参考答案：（1）4cm；（2）2√3cm2.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，点B(3,0,2)，点C(0,1,4)。求（1）向量AB和向量AC的夹角；（2）过点A且平行于向量BC的直线方程。参考答案：（1）60°；（2）x-2y+z=13.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，过底面圆上一点作一条与母线成30°角的直线，求该直线与圆锥高的交点到圆锥顶点的距离。参考答案：（1）3cm；（2）2√2cm4.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱AA₁的中点，F是棱CC₁的中点。求（1）EF与平面ABCD所成的角；（2）EF与AC所成的角。参考答案：（1）45°；（2）60°5.一个球内切于一个正三棱柱，球的半径为R。求（1）正三棱柱的底面边长；（2）正三棱柱的体积。参考答案：（1）2√3R；（2）3√3R³6.已知一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为l。求（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的全面积。参考答案：（1）πl²/4；（2）πl²/27.在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,0)，点B(0,1,0)，点C(0,0,1)，点D(1,1,1)。求（1）平面ABC的一个法向量；（2）点D到平面ABC的距离。参考答案：（1）(1,-1,1)；（2）√2/28.一个长方体的长、宽、高分别为a,b,c，且abc。若长方体的对角线长为√14，体积为24。求（1）长方体的表面积；（2）长方体的长、宽、高。参考答案：（1）52；（2）a=4,b=3,c=2标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查空间几何中点面距离的计算。正方体棱长为2，CE=1，则E为CC₁的中点。连接AE，交BC于F，则F为BC的中点。AF=√(AB²+BF²)=√(2²+1²)=√5。EF=√(AF²-AE²)=√(5-1)=2。EF⊥BC，EF⊥平面PBC。点E到平面ABCD的距离即为EF=√2。错误选项排除：A为底面边长，C为对角线长度，D为棱长，均不符合计算结果。2.参考答案：B解析：本题考查点关于平面的对称点坐标的求解。设P'(x',y',z')，由对称性质有：(x'+1)/2=1,(y'+2)/2=2,(z'+3)/2=1解得x'=0,y'=0,z'=-1，即P'(-1,-1,-1)。错误选项排除：A为原点，C为P点自身，D为P点关于原点的对称点，均不符合计算结果。3.参考答案：A解析：本题考查点到直线的距离计算。连接PA,PB,PC。由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC。作PH⊥BC于H，则PH为点P到BC的距离。在Rt△PBC中，PC=2√3,BC=2,∠PBC=60°。由正弦定义sin∠PBC=PH/PC，得PH=PC×sin∠PBC=2√3×√3/2=3。错误选项排除：B为PH的2倍，C为BC长度，D为PC长度，均不符合计算结果。4.参考答案：C解析：本题考查二面角的计算。取AB中点O，连接PO,CO。由正四棱锥性质，PO⊥AB,CO⊥AB，∠POC为二面角平面角。在Rt△POC中，PO=√(PC²-OC²)=√(3²-1²)=√8=2√2,OC=1。由余弦定理cos∠POC=(PO²+OC²-PC²)/(2PO×OC)=(8+1-9)/(2×2√2×1)=√2/4，得∠POC=60°。错误选项排除：A为底面与侧面夹角，B为45°角，D为直二面角，均不符合计算结果。5.参考答案：C解析：本题考查球面上点到球心的距离与球面距离的关系。球半径为1，点P在球面上，OP=1。OP与球面的距离d=|OP-球心O到P的距离|=|1-0|=1。当OP与球面相切时，d=1。当OP不与球面相切时，d1。故d∈[0,1)。错误选项排除：B为开区间，D为√2，均不符合计算结果。6.参考答案：D解析：本题考查异面直线所成角的计算。连接AC₁,BD,AC,C₁D₁。由长方体性质，AC⊥BD,AC₁⊥BD,AC⊥AC₁。设AC与BD交于O，则∠AC₁OAC为异面直线所成角。在Rt△AC₁C中，AC₁=√(AC²+CC₁²)=√(2²+3²)=√13。在Rt△AC₁O中，AC₁=√(AO²+OC₁²)=√(√5²+√10²)=√15。由余弦定理cos∠AC₁OAC=(AC₁²+AC²-OC₁²)/(2AC₁×AC)=(-15+5-10)/(2√15×√5)=-√3/3，得∠AC₁OAC=90°。错误选项排除：A为30°角，B为45°角，C为60°角，均不符合计算结果。7.参考答案：A解析：本题考查二面角与直线与平面所成角的关系。设直线m与平面β所成角为θ，则sinθ=|cos60°|=1/2，得θ=30°。当直线m与二面角棱平行时，θ=60°。故θ∈[30°,60°]。错误选项排除：B为锐角范围，C为直角范围，D为更小范围，均不符合计算结果。8.参考答案：D解析：本题考查空间直线的参数方程。直线x=y=z可表示为x=t,y=t,z=t。过点P(1,2,3)的平行直线方程为x=1+t,y=2+t,z=3+t。错误选项排除：A为过P点且方向相同，B为方向相反，C为过原点，均不符合计算结果。9.参考答案：C解析：本题考查三棱锥体积的计算。由PA⊥BC，得△BCP为直角三角形，BC=2,PC=2√3。△BCP面积S=1/2×BC×PC=1/2×2×2√3=2√3。三棱锥体积V=(1/3)×S×PA=(1/3)×2√3×2=4√3/3。错误选项排除：A为底面积，B为侧棱与底面距离，D为底面周长，均不符合计算结果。10.参考答案：A解析：本题考查直线平行的条件。两直线平行，斜率相等。l₁斜率为-1,l₂斜率为a。得a=-1。错误选项排除：B为l₁斜率相反数，C为l₁斜率的2倍，D为l₁斜率的-2倍，均不符合计算结果。二、填空题1.参考答案：√3/3解析：本题考查“直线与平面所成角的计算”。首先，连接A₁C₁，由于正方体的性质，AC₁⊥平面ABB₁A₁。因此，∠AEC₁即为直线AE与平面ABB₁A₁所成角。在正方体中，AC₁=√2，AE=√(AC₁²+(CC₁/2)²)=√(2+(√2/2)²)=√(2+1/2)=√5/2。在直角三角形AEC₁中，sin∠AEC₁=AC₁/AE=√2/(√5/2)=√3/3。2.参考答案：2√3/3解析：本题考查“点到平面的距离计算”。由于PA⊥BC，且BC⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC。点P到平面ABC的距离即为PA的长度，为2。但需要求的是点P到平面ABC的距离，即垂直距离。由于BC⊥PA，且BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC。因此，点P到平面ABC的距离为PC/2=2√3/3。3.参考答案：1/√3解析：本题考查“二面角的余弦值计算”。取AB中点M，连接PM，则PM⊥AB。由于正四棱锥的性质，PM⊥底面ABC。连接AM，则∠PMA即为侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角。在直角三角形PAM中，AM=1，PM=√(PA²-AM²)=√(3-1)=√2。因此，cos∠PMA=AM/PA=1/√3。4.参考答案：1解析：本题考查“球面上点到球心的距离”。由于OP与球面的距离为d=√2/2，所以点P到球心O的距离为√(R²-d²)=√(1-(√2/2)²)=√(1-1/2)=1。5.参考答案：2√3解析：本题考查“长方体的体积计算”。设长方体的高为h，则A₁D₁=√(AB²+BC²)=√(2²+1²)=√5。因此，h=√5。长方体的体积为V=AB×BC×h=2×1×√5=2√3。6.参考答案：(1,1,0)解析：本题考查“直线方向向量的确定”。直线x=y的方向向量为(1,1,0)，因为直线l平行于直线x=y，所以直线l的方向向量也为(1,1,0)。7.参考答案：(1,1,1)解析：本题考查“点关于平面的对称点坐标”。设点P(1,2,3)关于平面x+y+z=1的对称点为P'(x',y',z')。由于P和P'的中点在平面上，所以(x'+1)/2+(y'+2)/2+(z'+3)/2=1。又因为PP'⊥平面，所以(x'-1)/1=(y'-2)/1=(z'-3)/1。联立方程组解得x'=1，y'=1，z'=1，即P'(1,1,1)。8.参考答案：2解析：本题考查“三棱锥的体积计算”。由于PA⊥BC，且PA=BC=2，所以底面ABC的面积为S=1/2×BC×AC=1/2×2×2=2。三棱锥的体积为V=1/3×S×PA=1/3×2×2=2。9.参考答案：12+4√3解析：本题考查“正四棱锥的表面积计算”。底面面积为S₁=2²=4。侧面三角形PAB的面积为S₂=1/2×AB×PM=1/2×2×√2=√2。正四棱锥的表面积为S=S₁+4S₂=4+4√2=12+4√3。10.参考答案：1/2解析：本题考查“直线斜率的计算”。直线l:x-2y+3=0的斜率为k=1/2。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查“平面的基本性质”。根据平面基本性质公理一，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。题干所述符合该公理，故该说法正确。2.参考答案：×解析：本题考查“正四棱锥侧面与底面所成的二面角”。设底面边长为a，侧棱长为a，连接底面中心O与顶点P，连接O与A（底面任一顶点），则∠PAO为侧面与底面所成二面角的平面角。在△PAO中，AO=a/2，PO=a，PA=a，由余弦定理得cos∠PAO=(AO²+PO²-PA²)/(2AOPO)=(a²/4+a²-a²)/(2a/2√(a²-a²/4))=1/√3，故∠PAO=arccos(1/√3)≈54.74°，非45°，故该说法错误。3.参考答案：√解析：本题考查“球面上两点间最短距离”。在球面上，两点之间最短的连线是大圆上这两点之间的劣弧。这是球面几何的基本性质，故该说法正确。4.参考答案：×解析：本题考查“直线与平面垂直的性质”。直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内的所有直线都垂直。但该性质仅适用于直线l在平面α内的情况。若直线l不在平面α内，则l与α内某些直线可能不垂直。例如，直线l垂直于平面α，l与α内直线m垂直，但若m与l共面且不在α内，则m与l不垂直。故该说法错误。5.参考答案：√解析：本题考查“正方体外接球半径”。正方体的外接球半径R等于正方体对角线的一半。正方体对角线长度为√(a²+a²+a²)=√3a，故R=√3a/2。但题干表述为“等于其棱长的√3倍”，即R=a√3，显然错误。正确表述应为R=a√3/2，故该说法错误。6.参考答案：√解析：本题考查“空间基底的定义”。空间中三个不共线的向量a、b、c，若它们线性无关，则可以构成空间的一个基底。题干所述符合基底定义，故该说法正确。7.参考答案：√解析：本题考查“直线在平面内的投影”。直线l在平面α内的投影，若l与α平行，则投影为直线；若l与α相交，则投影为一点；若l在α内，则投影为自身。故该说法正确。8.参考答案：×解析：本题考查“平面与平面垂直的判定”。两个平面的交线垂直于第三个平面，则这两个平面不一定垂直。例如，设平面α与β相交于直线l，平面α与γ垂直，则l在γ内，但α与β不一定垂直。故该说法错误。9.参考答案：×解析：本题考查“向量空间与基底”。空间中四个不共面的向量a、b、c、d，若它们线性无关，则可以构成四维向量空间的一个基底。但题干未说明四个向量线性无关，若它们线性相关，则不能构成基底。故该说法错误。10.参考答案：√解析：本题考查“正三棱锥的定义”。如果一个三棱锥的底面是边长为a的正三角形，侧面都是等边三角形，则其侧面与底面所成的二面角相等，且侧棱与底面边长相等，满足正三棱锥的定义。故该说法正确。四、简答题1.参考答案：36π解析：本题考查“正方体外接球表面积计算”。正方体棱长为3，其对角线长为√(3²+3²+3²)=3√3，即外接球直径。外接球半径R=3√3/2。表面积S=4πR²=4π(3√3/2)²=36π。2.参考答案：正方体外接球半径R=棱长a√3/2解析：本题考查“正方体外接球半径与棱长关系”。正方体对角线长为a√3，即外接球直径。半径R=a√3/2。3.参考答案：×解析：本题考查“直线与平面垂直性质”。直线l与平面α垂直，则l与α内过交点的直线垂直，但与α内不过交点的直线不一定垂直。4.参考答案：三点不共线、一条直线与平面内两点、两点与平面内一点、一条直线与直线外一点解析：本题考查“确定平面的基本条件”。根据平面基本定理，不共线的三点、一条直线与直线外一点、一条直线与平面内两点、两点与平面内一点均可确定一个平面。5.参考答案：√3解析：本题考查“正四棱锥侧面面积计算”。侧面三角形PAB为等腰三角形，底边AB=2，高为√(√3²-1²)=√2。面积S=1/2×2×√2=√2。6.参考答案：大圆劣弧解析：本题考查“球面上最短连线性质”。球面上两点之间最短的连线是大圆上经过这两点的劣弧。7.参考答案：abc解析：本题考查“长方体体积计算”。体积V=长×宽×高=a×b×c=abc。8.参考答案：(1,1,0)解析：本题考查“直线方向向量求解”。直线x=y的方向向量为(1,1,0)，过点P(1,2,3)的平行直线方向向量也为(1,1,0)。五、应用题1.参考答案：（1）4cm；（2）2√3cm解析：本题考查正四棱锥的性质与点到平面的距离。①正四棱锥的高可以通过直角三角形P-ABO求解，其中O为底面中心，AO=2√2cm，PO=4cm，所以PO=√(PC²-OC²)=√(25-8)=√17≈4.123cm。②点E到平面PAB的距离可以通过三棱锥P-ABE的高求解，由于E是PC中点，PE=2.5cm，AE=√(2²+1²)=√5≈2.236cm，所以PE=√(AE²-PE²)=√(5-6