2027届高考数学复习考点考法通关训练第16讲 极值与最值讲义(练习卷)

第16讲极值与最值·讲义

一、考情分析.....................................................................................................................................1

二、知识清单.....................................................................................................................................2

1.极值与最值...........................................................................................................................2

2.不等式恒成立与存在性问题相关结论...............................................................................3

三、典题精练.....................................................................................................................................4

考点一：求函数的极值与极值点..........................................................................................4

考点二：根据极值、极值点求参数......................................................................................6

考点三：求函数的最值..........................................................................................................7

考点四：根据最值求参数及综合应用..................................................................................8

四、高考真题.....................................................................................................................................9

一、考情分析

1.考查频次与题型

年考察类

题号与题型分值考察内容与方式

份型

第题单考查根据函数的最大值求参数，需构造辅助函数分

6分直接

2026选题5析导数符号

第题多解析几何中求弦长之和的最大值，转化为一元函数

11分间接

2026选题6后利用导数求最值

第题解考查利用导数求三角复合函数的最大值，并结合最

19分直接

2025答题17值求参数的最小值

第题多考查具体函数的求导，判断极小值点及函数在特定

10分直接

2024选题6区间上的最值

第题解考查含参函数求导，根据不等式恒成立求参数的最

18分直接

2024答题17值及取值范围

近三年全国一卷中，极值与最值是导数板块的核心考查内容.不仅在解答题中作为压

轴题的核心考点直接出现，也常在单选、多选题中作为解题工具间接考查，综合性较强.

2.命题角度与特色

·核心考点：具体函数的极值与最值求解、根据极值或最值反求参数、利用导数求最

值解决恒成立问题.

·命题趋势：试题注重知识的交汇融合，常与解析几何、数列、三角函数等模块结合，

将几何最值或代数最值转化为函数最值问题.

·试题特点：计算量大，对逻辑推理与代数变形能力要求较高.常需要灵活运用分离参

数、构造辅助函数、隐零点处理等解题技巧.

3.备考策略

·熟练掌握利用导数求极值与最值的标准步骤，确保基础求导与符号判断的准确性.

·强化分类讨论意识，在处理含参函数最值时，明确分类标准，做到不重不漏.

·提升跨模块综合能力，学会在解析几何、数列等背景下，提取函数关系并利用导数

工具求解最值.

二、知识清单

1.极值与最值

（1）函数的极值

·函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称

0000

是函数的一�个(�极)大值�，记作极大值.�如果对附近的所有�点(�都)有<�(�)�，(�则)称

000

是函数的一个极小值，�记作极=小�值(�).极�大值与极小值统称为�极(�值)>，�称(�)为极值

�点(�.0)�=�(�0)�0

·注：

①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即

，且在�(�左)侧与�右0侧，的符号异号.�0

''

�(�0②)=0�是0为极值点的�既(�不)充分也不必要条件，如，（），但

'3'

�不(是�0)极=值0点.另�0外，极值点也可以是不可导的，如函数�(�)=�，在�极0小值=点0

�0是=不0可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点�(�)=|�|；但�0=

''

0推不出为的极值点.�0�(�)⇒�(�0)=0�(�0)=0

（2）函�数0的�(最�)值

·函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值

为极小值与�靠=近�(极�)大值的端点之间的最小者.�(�)

·导函数为()

2

①当�时(�，)最=大��值+是��+�与=�(�中−的�1最)(大�−者�；2)最�小<值�是1<�2与<�中的最小者.

②当�>0时，最大值是�(�1)与�(�)中的最大者；最小值是�(�2)与�(�)中的最小者.

注：�<0�(�2)�(�)�(�1)�(�)

①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；

函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能

是区间端点处的函数值.

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点.

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【易错提醒】

·可导函数在处取得极值，则，但只是在处取得极

''

值的必要不充分�条(�件).�0�(�0)=0�(�0)=0�(�)�0

·闭区间上的连续函数一定有最值，但开区间上的连续函数不一定有最值.

·函数的极值是局部概念，而最值是整体概念.极大值不一定大于极小值，极小值也不

一定小于极大值.

2.不等式恒成立与存在性问题相关结论

（1）若函数在区间上存在最小值和最大值，则

不等式�(�在)区间上�恒成立�(�)min；�(�)max

不等式�(�)>�在区间�上恒成立⇔�(�)min>�；

不等式�(�)≥�在区间�上恒成立⇔�(�)min≥�；

不等式�(�)<�在区间�上恒成立⇔�(�)max<�.

（2）若�(函�)数≤�在区间�上不存在⇔最�大(�（)m小ax）≤值�，且值域为，则

不等式�(�（)或�）在区间上恒成立.(�,�)

不等式�(�)>�（或�(�)≥�）在区间�上恒成立⇔�≥�.

（3）若�(函�)数<�在区�(间�)≤上�存在最小值�和⇔最大�值≤�，即，

则对不等式有解问�题(�有)以下结�论：�(�)min�(�)max�(�)∈[�,�]

不等式在区间上有解；

不等式�<�(�)在区间�上有解⇔�<�(�)max；

不等式�≤�(�)在区间�上有解⇔�≤�(�)max；

不等式�>�(�)在区间�上有解⇔�>�(�)min.

（4）若�函≥数�(�)在区间�上不存⇔在�最≥大�（(�小)m）in值，如值域为，则对不等式有解

问题有以下结论：�(�)�(�,�)

不等式（或）在区间上有解.

不等式�<�(�)（或�≤�(�)）在区间�上有解⇔�<�.

（5）对�于>任�(意�)的�≥�(�，)总存在�⇔，使�>得�

.�1∈[�,�]�2∈[�,�]�(�1)≤�(�2)⇔�(�1)max≤

2（max）对于任意的，总存在，使得

�(�)6

.�1∈[�,�]�2∈[�,�]�(�1)≥�(�2)⇔�(�1)min≥

2（min）若存在，对于任意的，使得

�(�)7

.�1∈[�,�]�2∈[�,�]�(�1)≤�(�2)⇔�(�1)min≤

2（min）若存在，对于任意的，使得

�(�)8

.�1∈[�,�]�2∈[�,�]�(�1)≥�(�2)⇔�(�1)max≥

2（max）对于任意的，使得

�(�)9.

（10）对于任意的�1∈[�,�]，�2∈[�,�]使得�(�1)≤�(�2)⇔�(�1)max≤�(�2)min.

�1∈[�,�]�2∈[�,�]�(�1)≥�(�2)⇔�(�1)min≥�(�2)max

（11）若存在，总存在，使得

.�1∈[�,�]�2∈[�,�]�(�1)≤�(�2)⇔�(�1)min≤

2（max）若存在，总存在，使得

�(�)12

.�1∈[�,�]�2∈[�,�]�(�1)≥�(�2)⇔�(�1)max≥

�(�2)min

三、典题精练

考点一：求函数的极值与极值点

考法1：根据导数图象与概念判断极值点

例1.（2026·安徽马鞍山·一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数

'

在区间上的极值点有（）�(�)�=�(�)

�(�)(�,�)

A.1个B.2个C.3个D.4个

考法2：求具体函数的极值与极值点

例2.（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个

数为（）�(�)=sin�−�cos�(−3�,3�)

A.4B.5C.6D.7

考法3：含参函数的极值点个数问题

例3.（2026·福建福州·二模）已知函数

��∗

有且仅有个极值点、、，且�(�)=(�−，�则)（(�−�)）(�,�∈�,�<�,�≠

�)A.为奇3数�1�2�3�1<�2<�3B.为奇数

C.�若，则D.�若，则

�<�2�2>�1+�3�>�2�2>�1+�3

考法4：含参函数的极值求解与讨论

例4.（2026·广东中山·二模）已知函数.

（1）若，求的极小值；�(�)=(�−�)ln�−�+�−3(�∈�)

（2）讨�论=导0函数�(�)的单调性.

'

�(�)

考法5：极值与切线、单调性、对称性等综合

例5.（2026·安徽安庆·二模）（多选）已知函数，将的所有极值

点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任�(意�)的=正co整s�数+，ln�则（�(�)）

A.{��}B.是极小值�点

C.��+1−��<�D.�2�

�2�+2−�2�<2��(�2�)<�(�2�+2)

考法6：极值与不等式证明及恒成立问题

例6.（2026·山东德州·三模）已知函数.

求的极值；�(�)=ln�−�+1

�(�)

【考点一方法总结】

·根据导数图象判断极值点：观察导函数图象与轴的交点及两侧符号变化，正变

负为极大值点，负变正为极小值点.�

·求具体函数的极值：求导，解，列表分析单调性，确定极值.

'

·含参函数极值点个数：求导后，�根(�据)=参0数大小、指数奇偶性分类讨论导数符号变

化，或转化为导函数变号零点个数.

·极值与切线、单调性综合：利用极值点处导数为零，结合零点存在性定理确定极

值点所在区间，再结合单调性分析.

·极值与不等式证明：构造差函数，通过求导分析单调性与极值（最值），从而证

明不等式.

考点二：根据极值、极值点求参数

考法7：已知极值求参数

例7.已知函数在处取得极大值，则（）

3

A.8�(�)=��+�B�.�=1C.42�−�=D.

−8−2

考法8：已知极值点求参数

例8.（2025·江西·五月联考）已知是函数的极值点，则

�

（）�=1�(�)=ln�−�+��=

A.2B.C.1D.

−2−1

考法9：根据极值点个数求参数范围

例9.（2025·九师联盟·五月检测）已知函数恰有两个极值点，则实数

−�2

的取值范围是（）�(�)=e+���

A.B.

C.(−∞,−e)D.(−∞,−2e)

(−2e,0)(−∞,−2e)∪(0,+∞)

考法10：极值点结合不等式与切线综合求参数

例（·山东东营·一模）已知函数，

10.20262

3�+��

�

若函数在处取得极值，�(�)=e(�∈�)

（i）求�(的�)值；�=0

（）已�知，若在上恒成立，求实数的取值

ii32

−�+��−5�+1

2

范围.�(�)=3��(�)�(�)≤1�∈(0,+∞)�

【考点二方法总结】

·已知极值或极值点求参数：利用且极值，列方程组求出参

'

数，务必进行充分性检验以排除伪极值点�.(�0)=0�(�0)=

·三次函数无极值：等价于其导函数（二次函数）恒大于等于或恒小于等于零，利

用判别式求解.

·极Δ值≤点0个数求参数范围：将极值点个数转化为导函数变号零点个数，分离参数后

构造新函数，通过数形结合或求导确定参数范围.

考点三：求函数的最值

考法11：求具体函数的最值

例11.（2026·山东滨州·二模）已知函数，则函数的最大值

2�

为＿＿＿＿＿＿.�(�)=�e,�∈[−3,0]�(�)

考法12：求含参函数的最值

例12.（2025·福建百校·五月押题）已知函数.

2

（1）求函数的极值点；�(�)=�−2�ln�(�>0)

（2）若函数�(�)在区间上的最小值为，求实数的值.

�(�)[1,e]0�

考法13：最值与不等式、方程综合

例13.（2026·安徽临泉·二模）已知函数，则满足

�(�−1)2

的的取值范围是（）�(�)=e+�−��(�)<�(�+

2)�A.B.C.D.

1

(0,+∞)(−2,+∞)(−1,+∞)(−∞,0)

【考点三方法总结】

·求闭区间上函数的最值：求出函数在区间内的所有极值，将极值与区间端点处的

函数值进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值.

·含参函数最值：根据极值点与闭区间端点的大小关系分类讨论，确定最值所在位

置，进而解出参数.

·最值与不等式综合：通过换元或同构变形将复杂函数化简，利用导数分析新函数

的单调性与最值，从而确定参数条件或证明不等式.

考点四：根据最值求参数及综合应用

考法14：已知最值求参数

例14.（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为，

则的最小值为（）�>0�(�)=ln|�|−|��+�|0

�A.B.C.D.

11

e21e

考法15：最值结合不等式恒成立与存在性求参数

例15.（2026·山东德州·二模）若存在，对任意的，都有

2�−�

，则当取到最大值时，的值为（�>0）�∈(0,+∞)ln�+�−

�≥0��

A.B.C.D.

1+ln22+ln2ln22ln2

考法16：极值最值与隐零点及放缩法综合证明

例16.（2026·湖南长沙·适应）已知函数.

12

（1）在处切线的斜率为，求�(�)的=值4；�−�ln�−2�−2,�>0

3

（2）�若=函�数(�)�有=两1个极值点，2�

（i）求的取�(值�)范围；�,�

（ii）证�明：.

�(�)+�(�)<6−ln�

【考点四方法总结】

·已知最值求参数：将最值问题转化为两函数图象的上下位置关系，利用相切时的

临界状态求出参数，或根据极值点与区间端点大小关系分类讨论.

·最值结合不等式恒成立：分离参数，将恒成立问题转化为求新函数的最值，再对

最值函数求导寻找参数的最值或范围.

·极值最值与隐零点放缩：利用极值点满足的方程（隐零点方程）替换参数或消元，

构造新函数并多次求导分析单调性，完成不等式的放缩证明.

四、高考真题

1.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（）

�+2

�

A.B.�(�)=e+�C.