差分析全套课件

方差分析ANOVA

已經學過的知識一位研究者對長子與次子的心理特徵感興趣。他在一年級大學生中隨機抽取了10個長子和20個非長子對其施測自尊量表。10個長子在量表上的平均分是X=48，SS=670。20個非長子的平均分是X=41，SS=1010。這些數據表明兩組間是否有顯著差異？用α=.01的显著性水平作假设检验。

一個新的情境一位研究者感興趣影響兒童閱讀能力的因素.研究者認為兒童的年齡和每次閱讀時間可能是重要的影響因素。研究者設計了以下實驗：選取三個年齡組的兒童:3歲,8歲,和14歲.將每個年齡組的兒童隨機分配到三個閱讀條件.組1閱讀時間為5分鐘;組2為15分鐘;對於組3為30分鐘.兩個星期之後測試了這些兒童的閱讀能力。

閱讀時間

5分鐘15分鐘30分鐘年齡3歲

8歲

14歲

3*3個共9個單元格，如何分析數據？分析t-檢驗和z-檢驗不能用於多於2組的數據.處理這類數據需要用一種新的推論統計程式:方差分析(ANOVA).(為什麼)這次課的內容最基本的ANOVA.集中討論單因素,獨立測量的研究設計.1.

ANOVA的簡介2.ANOVA的邏輯3.

ANOVA的符號.4.

ANOVA的過程和例題5.

事後檢驗ANOVA簡介（1）方差分析即analysisofvariance，簡稱ANOVA。功能：分析實驗數據中不同來源的變異對總變異的貢獻大小，確定實驗中的引數是否對因變數有重要影響。方差的來源什麼造成樣本的不同(處理間變異)處理/組效應-處理造成的差異

個體差異效應-個體差異變異隨機誤差每一個樣本內部的變異(處理內變異)個體差異效應

隨機誤差ANOVA簡介（2）在方差分析中,引數稱為因素.

包含一個引數的研究稱為單因素設計（single-factordesign）.具有多於一個引數研究稱為因素設計（factorialdesign）.構成因素的個別處理條件稱為因素的水準ANOVA簡介（3）ANOVA能夠處理數據的類型：兩個引數(稱為因素):年齡和閱讀時間，都是組間(獨立樣本)變數.包含組內(重複測量)因素的研究設計同時包含組間和組內因素的混合設計(e.g.假設上例中我們用同一些兒童作縱向研究。年齡是組內變數,閱讀時間是組間變數).上述研究稱為因素設計,兩個組間因素,每一個因素有3個水準(稱為3X3組間設計).ANOVA邏輯與假設檢驗的邏輯是同樣的,只是具體內容有變化step1:陳述H0(和H1)，確定標準:a=?

step2:ANOVA检验总是单尾（不同之处）step3:指出檢驗的df(有兩個df)

step4:查表找出临界F統計量step5:對於樣本，計算F統計量

step6:比較F統計量和臨界F統計量

step7:對於H0作出結論單因素,獨立測量研究設計的例子檢驗三個不同的學習方法的效應。將學生隨機分配到3個處理組方法A：讓學生只讀課本,不去上課.方法B：上課,記筆記，不讀課本.方法C：不讀課本，不去上課,只看別人的筆記單因素,獨立測量研究設計的例子Step1:陳述假設和設定標準(選擇a)H0:m1=m2=m3

H1:其中一個組與另一個（或更多）的組均值不同。備擇假設可能的形式很多：m1不等於m2=m3

m1=m3

不等於m2

m1=m2

不等於m3

m1

不等於m2

不等於m3

因此，只需給出虛無假設就夠了單因素,獨立測量研究設計的例子step2:ANOVA檢驗總是單尾.因為不存在負的方差.F分佈表也只有單側的Alpha.（F分佈圖）step3:找出檢驗的df.注意要考慮幾個dfstep4:從表找出臨界F統計量

step5:計算樣本的F統計量觀測值step6:比較F統計量的觀測值與臨界F統計量如果F統計量的觀測值(Fobs)在統計上顯著地大於1.0則拒絕H0

單因素,獨立測量研究設計的例子F<或＝1,即MS組間/MSw組內<1，說明數據的總變異由分組不同造成的變異只占很小的部分，大部分是由試驗誤差何個體差異所致，就是說不同的實驗處理之間變異不大，或者說試驗處理基本無效。F>1而且落入F分佈的臨界區，說明實驗數據的變異由不同的實驗處理所造成，即不同的試驗處理之間有差異。

ANOVA的專用符號

K=處理條件(或組)的數目

n=每一個組的數目(如果它們相等)

ni=第i組的數目(如果它們不等)

N=Sni=總的樣本容量

Ti=SXij

G=SXij=總的和

G-bar=G/N=總的均值

SSi=每一個組的和方=S(Xij-i)21=12=43=1研究方法方法A

只读课本方法B

只作笔记方法C

借别人笔记041132362130040T1=5T2=20T3=5SS1=6SS2=6SS3=4n1=5n2=5n3=5SX2=106

G=30=总的和N=15=總的樣本容量

G-bar=30/15=2=總的均值

K=3=處理條件(或組)ANOVA的過程

F比率=處理間方差

/處理內方差(

需要找出兩個方差.)最基本公式s2=SS/df.SS和

=SX2-(G2/N)SS和

=106-(302/15)=106-60=46需要將其分解為組間變異和組內變異.SS和

=SS組間

+SS組內

如何得到SS組內?將每一個組SS相加SSwithin=SSS每一個處理內部=SSSi=6+6+4=16如何得到SS組間?快捷的方法是:SS和-SS組內

注意不推薦用這種方法,因為:無法檢查計算錯誤未涉及SS組間是如何組成.直接計算SS組間的兩個公式:定義公式和計算公式

定義公式：SS間=S[ni(X-bar-G-bar)2]=5(1-2)2+5(4-2)2+5(1-2)2

=5+20+5=30計算公式：SS間=S(T2/ni)-G2/N=52/5+202/5+52/5-302/15=5+80+5-60=30SS和

=SS組間

+SS組內

=16+30=46s2=SS/df.df共有兩個(或三個)自由度,一個組間方差df,一個組內方差df(以及一個總的df).df和

=N-1df組內==N-Kdf組間=K-1df和

=df組內

+df組間

df在例子中:df組內

=15-3=12df組間=3-1=2df和

=15-1=14,=12+2均方：計算方差.方差=均方=MS=SS/dfMS組間=SS組間/df組間

-->上例中=30/2=15MS組內=誤差的均方=SS組內/df組內-->上例中=16/12=1.33F比率F比率=處理間方差/處理內方差

=MS組間

/MSw組間

上例中的F比率是:15/1.33=11.28查F表確定Fcrit對假設作出結論df組間

=分子的df

df组内

=分母的df(誤差)-->上例中:df組內

=12;df組間

=2如果選擇a=.05,Fcrit=3.88

如果選擇a=.01,Fcrit=6.93F比率的觀測值11.28>Fcrit.,所以拒絕H0(m1=m2=m3).報告結果F(df組間,df組內)=Fobs,p<?報告結果單因素方差分析發現學習方法有顯著的效應,F(2,12)=11.28,p<0.01.事後檢驗（Posthoctests）1

ANOVA的結果是檢驗H0:m1=m2=m3,並未提供哪個備擇假設得到支持.也就是說,只知道一些組與其它組不同,但並知道差別在哪些組之間.所以從ANOVA得到顯著差異的結果(拒絕H0)後,一定要做作事後檢驗.事後檢驗使我們能夠比較各組,發現差異產生在什麼地方.事後檢驗就是比較每一個處理組與另一個處理組,一次比較兩個.這稱為成對比較.事後檢驗（Posthoctests）2在上例中,可以比較m1

與m2,m1與m3,以及m2與m3.這樣的做法有沒有問題？每一個比較都是一個單獨的假設檢驗,每一個都有犯I類錯誤的風險.所以,比較對數越多,作結論的風險越大。即容易發現實際不存在的差異。這稱為實驗導致的（experimentwise）alpha水準(或族系（familywise）誤差)事後檢驗（Posthoctests）3αEW=1-(1-a)cc=比較對數對於上述例子,如果選擇a=0.05作3對比較αEW=1-(1-a)c=1-(.95)3=1-.857=.143I類錯誤的機會增加到14.7%而不再是5%，多數事後檢驗設計中都控制了實驗導致誤差.事後檢驗（Posthoctests）4介紹兩個事後檢驗:Tukey'sHSD檢驗(honestly差異顯著性)檢驗和Scheff檢驗.a)

Tukey'sHSD檢驗可以計算出單一的值確定處理均值間的最小差異，考查此差異在統計上是否顯著.此檢驗要求各組有相等的樣本容量.HSD=q*sqrt（MS組內/n）q值可以從表中查出(附表6).需要用到K和df組內,以及αEW舉例在上例中(用αEW=.05):HSD=q*sqrt（MS組內/n）=(3.77)sqrt（1.33/5）=(3.77)(.516)=1.94比較1:H0:m1=m2

2-1=4.0-1.0=3.0HSD=1.94<3.0，拒絕H0

比較2:H0:m1=m3

3-1=1.0-1.0=0.0HSD=1.94>0.0，不能拒絕H0

比較3:H0:m2=m3

2-3=4.0-1.0=3.0HSD=1.94<3.0，拒絕H0

所以B與A和C不同，而A與C沒有差異b)

ScheffŽ檢驗用F比率檢驗差異.這是最保守的檢驗(降低I類錯誤的風險,但增加II類錯誤的風險).特別適用於n不等的情況

重新計算MS組間,每次只檢驗一個比較.注意:用整體的df組間和整體的MS組內.舉例：比較1H0:m1=m2

SS組間

==52/5+202/5-252/10=22.5MS組間

==22.5/2=11.25MS組內

==16/12=1.33F比率=MS間/MS組內=11.25/1.33=8.46查F表.a=.05,Fcrit(2,12)=3.888.46>3.88,拒絕H0

舉例：比較2H0:m1=m3

SS組間==52