初三【数学(人教版)】直线和圆的位置关系(3) 教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级九年级学期第一学期课题24.2.2直线与圆的位置关系（3）教科书书名：《义务教育教科书∙数学（九年级上册）》出版社：人民教育出版社出版日期：2014年3月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.理解切线的性质定理；会运用切线的性质定理进行计算与证明.教学重点：用切线的性质定理进行计算与证明.教学难点：用反证法证明切线的性质定理.教学过程时间教学环节主要师生活动2min活动一：复习回顾1.圆的切线是如何定义的?如果直线和圆只有一个公共点，那么这条直线叫圆的切线.2.判断一条直线是圆的切线有哪些方法?切线的判定方法有三种：（1）当直线和圆只有唯一公共点的时候，这条直线是圆的切线；（2）当圆心到直线的的距离等于半径的时候，这条直线是圆的切线；（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.文图式经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.∵OA为⊙O半径，直线l⊥OA于A，∴直线l与⊙O相切于A.（直线l是⊙O的切线.）3.今天我们一起探讨圆的切线有什么性质？9min活动二：探索性质根据切线的定义我们可以得到切线的如下性质：(如图)（1）切线l和⊙O有且只有一个公共点A(这个公共点A就是切点)；（2）圆心O到切线l的距离等于圆的半径.切线的判定定理，实际上可以看成：=1\*GB3①OA为⊙O的半径（点A在⊙O上），=2\*GB3②直线l⊥OA于A.=3\*GB3③直线l是⊙O的切线.（交换判定定理的条件和结论，如果已知直线l是⊙O的切线，下面又可分为“切点已知”和“切点未知”这两种情况分别研究，我们先看“切点已知”的情况）问1：如图，已知直线l是⊙O的切线，切点为A，连接OA,直线l⊥OA吗？从现有知识看，不具备直接证明垂直的条件，我们可以考虑用反证法.已知：直线l是⊙O的切线，切点为A，连接OA.求证：l⊥OA.证明：假设OA与直线l不垂直，则过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短，得OM＜OA，即圆心O到直线l的距离OM＜半径OA.∴直线l与⊙O相交，这与直线l是⊙O的切线矛盾.∴假设不成立，即l⊥OA.这样，我们就得到了切线的性质定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.结合图形分析切线性质定理的条件和结论：文图式圆的切线垂直于过切点的半径.∵直线l与⊙O相切于A，（直线l是⊙O的切线,点A是切点，）∴直线l⊥OA.可以看成：=1\*GB3①OA为⊙O的半径，=3\*GB3③直线l是⊙O的切线,点A是切点.=2\*GB3②直线l⊥OA于A.（我们再来看“切点未知”的情况）问2：如图，已知⊙O的切线l，但切点未知，你能作出切点A吗？我们过O作直线l的垂线，设垂足是T，也就是OT⊥l于T.假设切点是A,由切线的性质定理,过切点A的半径OA⊥l于A，由于“平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，所以垂足T就是切点A.也就是说，过圆心作切线的垂线，垂足就是切点.由此得到结论1：经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点.文图式经过圆心且垂直于切线的直线一定经过切点.∵直线l与⊙O相切（直线l是⊙O的切线），l⊥OA于A，∴点A为切点.实际上可以看成：=3\*GB3③直线l是⊙O的切线，=2\*GB3②直线l⊥OA于A.=1\*GB3①OA为⊙O的半径.问3：请同学们课后研究：结论2:经过切点垂直于切线的直线一定经过圆心.9min活动三：性质的应用例1.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而由切线的性质，OD是⊙O的半径，因此只需证明

OD=OE.证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线.又∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.∵OE为⊙O的半径，OE⊥AC于E，∴AC与⊙O相切.例2.如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D是eq\o\ac(\s\up6(⌒),AC)的中点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.（1）求证：AC∥ED；（2）若OA=AE=4，求弦AC的长.分析：这里有三个条件：（1）AB为⊙O的直径；（2）D是eq\o\ac(\s\up6(⌒),AC)的中点；（3）ED切⊙O于D.特别要关注D的作用：它即是弧的中点，又是切点.（1）证明：连接OC，OD.∵ED切⊙O于D，∴OD⊥ED.∴∠1=90°.∵D是eq\o\ac(\s\up6(⌒),AC)的中点，∴eq\o\ac(\s\up6(⌒),AD)=eq\o\ac(\s\up6(⌒),CD)，∴∠2=∠3，又∵OA=OC，∴OD⊥AC，∴∠4=90°=∠1，∴AC∥ED.（2）连接AD.∵∠ODE=90°，OA=AE=4，∴.又∵OA=OD=4，∴△ADO为等边三角形.由（1）OD⊥AC，设垂足为F，∴，在Rt△ADF中，可得，∴.2min活动四：课堂小结课堂小结：1.切线的判定与性质的关系：(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.=1\*GB3①OA为⊙O的半径（A在⊙O上），=2\*GB3②直线l⊥OA于A.=3\*GB3③直线l是⊙O的切线.(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.=1\*GB3①OA为⊙O的半径，=3\*GB3③直线l是⊙O的切线,点A是切点.=2\*GB3②直线l⊥OA于A.(3)结论：结论1:经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；=3\*GB3③直线l是⊙O的切线，=2\*GB3②直线l⊥OA于A.=1\*GB3①OA为⊙O的半径.结论2:经过切点垂直于切线的直线必过圆心.2.已知圆的切线，要利用切线的性质时常添的常用辅助线：切点的位置如果确定，常常是连接圆心和切点；切点位置如果不确定，可以过圆心作切线的垂线,垂足就是切点.1min活动五：布置作业1.如图,已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°,过点C的切线PC与AB的延长线相交于