2026年北师大版高中一年级数学第9章函数性质同步练习题及答案

2026年北师大版高中一年级数学第9章函数性质同步练习题及答案第1页共1页2026年北师大版高中一年级数学第9章函数性质同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.函数f(x)=x³-3x+2在区间(-2,2)上的零点个数为A.0B.1C.2D.3参考答案：C2.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是A.-3B.1C.3D.4参考答案：C3.已知函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则f(-1)与f(1)的大小关系是A.f(-1)f(1)B.f(-1)f(1)C.f(-1)=f(1)D.无法确定参考答案：C4.函数y=sin(x)+cos(x)的值域是A.[-√2,√2]B.[-1,1]C.[-√2/2,√2/2]D.[0,√2]参考答案：A5.函数y=log₂(x+1)在区间(-1,1)上是A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增参考答案：A6.函数y=tan(x)在x=π/2处A.有定义B.无定义C.有垂直渐近线D.有水平渐近线参考答案：B7.函数y=e^x在实数集R上是A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数参考答案：A8.函数y=1/x在区间(1,2)上的图像A.在x轴上方B.在x轴下方C.经过原点D.关于原点对称参考答案：A9.函数y=sin(2x)的周期是A.πB.2πC.π/2D.π/4参考答案：A10.函数y=|x|在区间(-1,1)上的导数A.存在且为正B.存在且为负C.存在且为0D.不存在参考答案：D二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.函数f(x)=x²-4x+3的图像的对称轴方程是______。参考答案：x=22.函数g(x)=1/(x-2)在区间(1,3)上的值域是______。参考答案：(1/3,1]3.函数h(x)=|x+1|在区间[-2,1]上的最小值是______。参考答案：04.函数k(x)=2^x在实数集R上是______函数。参考答案：增5.函数m(x)=log₁/₂(x)在(0,+∞)上是______函数。参考答案：减6.函数n(x)=sin(x)在区间[0,π]上的最大值是______。参考答案：17.函数p(x)=cos(x)在区间[0,π/2]上是______函数。参考答案：增8.函数q(x)=tan(x)的周期是______。参考答案：π9.函数r(x)=x³在区间[-1,1]上是______函数。参考答案：奇增10.函数s(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是______。参考答案：2三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.函数f(x)=x²-4x+3的图像的对称轴方程是x=2。参考答案：√2.函数g(x)=|x-2|+|x+1|的最小值是3。参考答案：×3.函数h(x)=2^x在实数集R上是增函数。参考答案：√4.函数p(x)=log₂(x+1)的定义域是(-1,+∞)。参考答案：×5.函数q(x)=ax+b的图像是一条直线，其中a和b是常数。参考答案：√6.函数r(x)=x²的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴。参考答案：√7.函数f(x)=x²-4x+3的图像与x轴有两个交点。参考答案：√8.函数g(x)=1/(x-2)在区间(1,3)上的值域是(1/2,1)。参考答案：×9.函数h(x)=|x+1|在区间[-2,1]上的最小值是0。参考答案：√10.函数k(x)=2^x在实数集R上是单调递增函数。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知函数f(x)=x²-2x+1，判断其图像是否关于y轴对称。A.是B.否C.不确定D.无法判断参考答案：A2.函数g(x)=1/x在区间(1,+∞)上的单调性如何？A.单调递增B.单调递减C.不单调D.无法确定参考答案：B3.函数h(x)=|x-1|的图像有哪些对称性？A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于点(1,0)对称D.以上都不对参考答案：C4.函数p(x)=2^x在实数集R上是否为增函数？A.是B.否C.有时是D.无法确定参考答案：A5.函数q(x)=log₂(x)的定义域是什么？A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,+∞)D.R参考答案：A6.函数r(x)=sin(x)的周期是多少？A.πB.2πC.4πD.1参考答案：B7.函数s(x)=cos(x)在区间(0,π/2)上的值域是什么？A.(0,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(-1,1)参考答案：A8.函数t(x)=x³的图像有哪些对称性？A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.以上都不对参考答案：C五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某城市为了缓解交通压力，对一条单行道实行分段收费。当车辆行驶距离x（单位：千米）不超过10千米时，收费为5元；超过10千米但不超过20千米的部分，每千米收费0.8元；超过20千米的部分，每千米收费1.2元。请写出该城市单行道的分段收费函数f(x)的解析式，并计算一辆车行驶25千米的总费用。参考答案：f(x)=5,10≤x≤20;f(x)=5+0.8(x-10),10x≤20;f(x)=13+1.2(x-20),x20;总费用为28元2.已知函数g(x)=x²-4x+3，求该函数的对称轴方程，并判断该函数在区间[1,3]上的单调性。参考答案：对称轴方程为x=2;该函数在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增3.某工厂生产一种产品，固定成本为1000元，每生产一件产品的可变成本为50元。若该产品的售价为每件80元，请建立该工厂的利润函数h(x)，并求出该工厂生产多少件产品时能获得最大利润。参考答案：h(x)=30x-1500,x≥0;最大利润为3000元，生产25件产品时获得4.已知函数p(x)=1/x，求该函数在x→0时的极限，并说明理由。参考答案：极限不存在，因为当x→0时，1/x的值在正无穷和负无穷之间振荡5.某物体在水平面上做直线运动，其速度v（单位：米/秒）与时间t（单位：秒）的关系为v(t)=2t-4。请计算该物体在3秒内通过的路程。参考答案：路程为6米6.已知函数q(x)=log₂(x)，求该函数的定义域，并判断该函数在定义域内是增函数还是减函数。参考答案：定义域为(0,+∞);该函数在定义域内是增函数7.某城市为了监测空气质量，在市中心和郊区分别安装了监测仪器。市中心监测仪器记录到的PM2.5浓度y₁（单位：微克/立方米）与时间t（单位：小时）的关系为y₁(t)=10+2sin(πt/12)，郊区监测仪器记录到的PM2.5浓度y₂（单位：微克/立方米）与时间t（单位：小时）的关系为y₂(t)=8+3cos(πt/12)。请比较市中心和郊区在一天24小时内PM2.5浓度的最大值和最小值。参考答案：市中心PM2.5浓度最大值为12微克/立方米，最小值为8微克/立方米；郊区PM2.5浓度最大值为11微克/立方米，最小值为5微克/立方米8.已知函数r(x)=sin(x)，求该函数的周期，并判断该函数在区间(0,π/2)上的值域。参考答案：周期为2π;值域为[-1,1]标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查“函数零点存在性定理”。f(-2)=-2³-3(-2)+2=-2，f(0)=0³-3×0+2=2，f(2)=2³-3×2+2=2，f(x)在(-2,0)和(0,2)上各有一个零点，共2个零点。故C正确。2.参考答案：C解析：本题考查“绝对值函数性质”。y=|x-1|+|x+2|表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，最小值为-2到1的距离3。故C正确。3.参考答案：C解析：本题考查“二次函数图像性质”。f(x)开口向上且顶点在x轴上，则Δ=b²-4ac=0，且a0。f(-1)=a(-1)²+b(-1)+c=a-b+c，f(1)=a(1)²+b(1)+c=a+b+c。因为Δ=0，所以b=0，f(-1)=a+c，f(1)=a+c，故f(-1)=f(1)。故C正确。4.参考答案：A解析：本题考查“三角函数性质”。y=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，值域为[-√2,√2]。故A正确。5.参考答案：A解析：本题考查“对数函数性质”。y=log₂(x+1)在x-1时定义，x+10，函数在(-1,+∞)上单调递增。故A正确。6.参考答案：B解析：本题考查“正切函数性质”。y=tan(x)在x=π/2处无定义，有垂直渐近线x=π/2。故B正确。7.参考答案：A解析：本题考查“指数函数性质”。y=e^x在实数集R上单调递增。故A正确。8.参考答案：A解析：本题考查“反比例函数性质”。y=1/x在(1,2)上x0，y0，图像在x轴上方。故A正确。9.参考答案：A解析：本题考查“三角函数性质”。y=sin(2x)的周期T=2π/|ω|=π。故A正确。10.参考答案：D解析：本题考查“导数定义”。y=|x|在x=0处左右导数不相等，导数不存在。故D正确。二、填空题1.参考答案：x=2解析：本题考查〈二次函数图像的对称轴〉。二次函数f(x)=ax²+bx+c的图像的对称轴方程为x=-b/(2a)。由f(x)=x²-4x+3可知a=1,b=-4,c=3，代入公式得x=-(-4)/(2×1)=2。2.参考答案：(1/3,1]解析：本题考查〈反比例函数的值域〉。由g(x)=1/(x-2)可知x-2≠0，即x≠2。当x∈(1,3)时，x-2∈(-1,1)，则1/(x-2)∈(-∞,-1)∪(1,+∞)，取值范围为(1/3,1]。3.参考答案：0解析：本题考查〈绝对值函数的性质〉。函数h(x)=|x+1|在x=-1处取得最小值0。在区间[-2,1]上，x+1∈[-1,2]，|x+1|的最小值为0，当且仅当x=-1时取得。4.参考答案：增解析：本题考查〈指数函数的单调性〉。指数函数y=2^x的底数21，故该函数在实数集R上是增函数。5.参考答案：减解析：本题考查〈对数函数的单调性〉。对数函数y=log₁/₂(x)的底数1/2∈(0,1)，故该函数在(0,+∞)上是减函数。6.参考答案：1解析：本题考查〈正弦函数的值域〉。正弦函数y=sin(x)的值域为[-1,1]，在区间[0,π]上，当x=π/2时取得最大值1。7.参考答案：增解析：本题考查〈余弦函数的单调性〉。余弦函数y=cos(x)在[0,π/2]上是减函数，在[π/2,π]上是增函数。但在[0,π/2]上严格单调递减。8.参考答案：π解析：本题考查〈正切函数的周期性〉。正切函数y=tan(x)的周期为π，即tan(x+π)=tan(x)对所有x成立。9.参考答案：奇增解析：本题考查〈奇函数与单调性〉。函数r(x)=x³是奇函数，且在实数集R上严格单调递增。在区间[-1,1]上，该函数也是增函数。10.参考答案：2解析：本题考查〈绝对值函数的性质〉。函数s(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1处取得最小值0+2=2，在x=1处取得2+0=2。在区间[-1,1]上，|x-1|+|x+1|的最小值为2，当且仅当x∈[-1,1]时取得。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查二次函数的对称轴。二次函数f(x)=ax²+bx+c的对称轴方程为x=-b/(2a)。对于f(x)=x²-4x+3，a=1，b=-4，所以对称轴x=-(-4)/(2×1)=2。解析过程完整，结论正确。2.参考答案：×解析：本题考查绝对值函数的性质。函数g(x)=|x-2|+|x+1|的图像是两条射线连接形成的V形图像。当x在[-1,2]区间内变化时，|x-2|和|x+1|的值之和最小，最小值为1+1=2。题干说最小值是3，错误。3.参考答案：√解析：本题考查指数函数的单调性。指数函数y=a^x（a1）在整个定义域内是严格单调递增的。对于h(x)=2^x，底数21，所以该函数在R上单调递增。结论正确。4.参考答案：×解析：本题考查对数函数的定义域。函数p(x)=log₂(x+1)的真数必须大于0，即x+10，解得x-1。所以定义域是(-1,+∞)。题干说定义域是(-1,+∞)，但通常表示为(-1,+∞)，不完全正确。5.参考答案：√解析：本题考查一次函数的性质。函数q(x)=ax+b中，a和b是常数，且a≠0时，该函数表示一条直线。当a=0时，函数变为常数函数q(x)=b，图像是平行于x轴的直线。结论正确。6.参考答案：√解析：本题考查二次函数的对称轴。函数r(x)=x²的图像是标准抛物线，其对称轴是y轴（即x=0）。解析过程完整，结论正确。7.参考答案：√解析：本题考查二次函数与x轴的交点。函数f(x)=x²-4x+3可以分解为f(x)=(x-1)(x-3)。令f(x)=0得x=1或x=3，所以与x轴有两个交点(1,0)和(3,0)。结论正确。8.参考答案：×解析：本题考查分式函数的值域。函数g(x)=1/(x-2)在区间(1,3)上，当x→1^+时，g(x)→1；当x→3^-时，g(x)→1/2。所以值域是(1/2,1)。题干说值域是(1/2,1)，但通常表示为(1/2,1)，不完全正确。9.参考答案：√解析：本题考查绝对值函数的最值。函数h(x)=|x+1|在区间[-2,1]上，当x=-1时，|x+1|=0，达到最小值0。在x=-2时，|x+1|=3；在x=1时，|x+1|=2。所以最小值是0。结论正确。10.参考答案：√解析：本题考查指数函数的单调性。指数函数y=a^x（a1）在整个定义域内是严格单调递增的。对于k(x)=2^x，底数21，所以该函数在R上单调递增。结论正确。四、简答题1.参考答案：A解析：本题考查二次函数图像的对称性。f(x)=x²-2x+1可以化简为f(x)=(x-1)²，其图像是开口向上的抛物线，顶点为(1,0)，因此关于直线x=1对称，而不是y轴对称。错误选项B对应学生未正确化简函数或混淆对称轴概念；C对应学生无法判断对称性；D对应学生未理解对称性定义。2.参考答案：B解析：本题考查反比例函数的单调性。g(x)=1/x在(1,+∞)上，随着x增大，1/x减小，因此是单调递减的。错误选项A对应学生误认为反比例函数在所有区间单调；C对应学生未理解反比例函数的单调区间；D对应学生未掌握单调性判断方法。3.参考答案：C解析：本题考查绝对值函数的对称性。h(x)=|x-1|的图像是顶点为(1,0)的V形图像，因此关于点(1,0)对称。错误选项A对应学生误认为绝对值函数关于x轴对称；B对应学生误认为关于y轴对称；D对应学生未掌握绝对值函数的对称性。4.参考答案：A解析：本题考查指数函数的单调性。p(x)=2^x在整个实数集R上，随着x增大，2^x增大，因此是增函数。错误选项B对应学生误认为指数函数为减函数；C对应学生误认为指数函数在某些区间增；D对应学生未掌握指数函数的单调性。5.参考答案：A解析：本题考查对数函数的定义域。q(x)=log₂(x)只有当x0时有意义，因此定义域为(0,+∞)。错误选项B对应学生误认为对数函数定义域为负数；C对应学生误认为定义域为全体实数；D对应学生未掌握对数函数的基本性质。6.参考答案：B解析：本题考查正弦函数的周期性。sin(x)的图像每隔2π重复一次，因此周期为2π。错误选项A对应学生误认为周期为π；C对应学生误认为周期为4π；D对应学生未掌握正弦函数的基本性质。7.参考答案：A解析：本题考查余弦函数的值域。cos(x)在(0,π/2)上从1减小到0，因此值域为(0,1)。错误选项B对应学生误认为余弦函数为负值；C对应学生误认为值域为(0,1)但未说明区间；D对应学生未掌握余弦函数的基本性质。8.参考答案：C解析：本题考查三次函数的对称性。t(x)=x³是奇函数，其图像关于原点对称。错误选项A对应学生误认为奇函数关于x轴对称；B对应学生误认为奇函数关于y轴对称；D对应学生未掌握奇函数的对称性。五、应用题1.参考答案：f(x)=5,10≤x≤20;f(x)=5+0.8(x-10),10x≤20;f(x)=13+1.2(x-20),x20;总费用为28元解析：本题考查分段函数。首先根据题意，分段写出函数的解析式：当x≤10时，f(x)=5；当10x≤20时，f(x)=5+0.8(x-10)；当x20时，f(x)=13+1.2(x-20)。然后计算行驶25千米的总费用：f(25)=13+1.2(25-20)=28元。注意分段函数的定义域和值域，以及计算过程中的单位换算。2.参考答案：对称轴方程为x=2;该函数在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增解析：本题考查二次函数的图像和性质。首先，根据二次函数的一般式y=ax²+bx+c，对称轴方程为x=-b/2a。对于g(x)=x²-4x+3，a=1，b=-4，所以对称轴方程为x=2。然后，根据二次函数的开口方向和对称轴，可以判断该函数在区间[1,2]上单调递减，在区间[2,3]上单调递增。3.参考答案：h(x)=30x-1500,x≥0;最大利润为3000元，生产25件产品时获得解析：本题考查函数的应用。首先，根据题意，利润函数h(x)等于收入减去成本。收入为80x，成本为1000+50x，所以h(x)=80x-(1000+50x)=30x-1000。然后，求出该函数的最大值。由于h(x)是关于x的一次函数，且斜率为正，所以函数在定义域内单调递增