2026-2027学年济南市“市中区”舜耕中学九年级数学9月份月考考试试题以及答案

九年级上数学第一次学情调研试题（满分150分时间120分钟）一、选择题（共10题，每题4分，共40分）1.下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（）A.B.C.D.2.“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地。如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（）A.B.C.D.3.下列各组中的线段，其中a,b,c,d是成比例线段的是（）A.a=1,b=2,c=3,d=4B.a=4,b=6,c=5,d=10C.a=2,b=4,c=6,d=8D.a=2,b=3,c=4,d=64.一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（）A.24B.16C.12D.85.如图，∠1=∠2，从下列条件①∠B=∠D；②∠C=∠E；③ACAE=BCDE；④ABAD=ACAE。中选择一个作为添加条件，使△ABCA.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA:AE=1:2，且四边形ABCD的周长为3，则四边形EFGH的周长为（）A.6B.9C.12D.277.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符。实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（AC>BC）时，可以敲击出音符“sol”的声音。若AB=8cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（）A.(4-25)cmB.(45-4)cmC.(45+4)cmD.(4-45)cm8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC面积的49。若BC=12，则平移的距离为（A.2B.3C.4D.59.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，F是边AB上的点，且AF=2BF，连接CE，DF，CE与DF交于点G。若EG=2，则GC的长为（）A.5B.5.5C.6D.710.如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①CFBF=32；②ADAH=2-1；③BE平分∠CBD；④2AB2=DE·A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（共5题，每题4分，共20分）11.已知a5=b3，则a+bb12.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A,B,C，过点B的直线DE分别交l1，l3于点D,E。若AB=2，BC=4，DE=9，则线段DB的长为。13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N。若AC=2，则MN的长为。14.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC、BD相交于点O，且BE:ED=1:3，AB=6，则AE=。15.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=23cm，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为。三、解答题（共10题，90分）16.（6分）若a3=b4=17.（7分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，且∠BAD=∠C，BD=4，BC=9，求AB的长度。18.（7分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=9，AD=6，EF=2319.（8分）2026世界机器人大会（WRC2026）于8月在北京亦创国际会展中心举办；大会以人工智能与机器人深度融合为主题，设立工业机器人、人形机器人、服务机器人和特种机器人四大展区。小宇准备和爸爸利用暑假前去参会，他将这四个展区名称写在形状、大小、质地完全相同的卡片上，背面朝上洗匀后放在不透明盒子中。卡片对应：A—工业机器人展区，B—人形机器人展区，C—服务机器人展区，D—特种机器人展区。(1)小宇随机抽取1张卡片，恰好抽到特种机器人展区(D)的概率为。(2)小宇一次性随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表法计算小宇抽到特种机器人展区(D)和工业机器人展区(A)的概率。20.（8分）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有1700多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=3米，将标杆CD向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG=6米，GC=67.5米。(1)请计算标杆CD与“真身宝塔”的距离AC的值？(2)“真身宝塔”的高度AB是多少？21.（10分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形。(1)在图中标出位似中心P的位置。(2)以原点O为位似中心，在第三象限画出一个与△OAB的位似比为2:1的△OA2B2。(3)分别写出A，B的对应点A2，B2的坐标：A2（，），B2（，）。22.（10分）数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动。如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点P，并测得点光源O到板面的垂直距离OM为60cm，点光源O到地面的垂直距离ON为96cm，木棒AB的长度为20cm，实践小组的相关探究如下：实践探究一：如图1，将木棒AB水平放置于板面上，AB在直线PM上。在灯光照射下，木棒AB在地面上形成的投影为CD。从点M出发，将木棒沿PM方向平移，观察其投影CD长度的变化情况。(1)请判断CD长度的变化情况为：；A.逐渐变长B.逐渐变短C.不变(2)请证明（1）的结论；实践探究二：(3)如图2，将木棒AB垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒AB在地面上形成的投影为CD。从点M出发，将木棒沿PM方向平移，当木棒AB平移至某处时，MA=20cm，请计算此时投影CD的长度。23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A(-3,0)、C(1,0)、B(1,3)。(1)求过点A,B的直线的函数表达式；(2)过点B作直线BD，使BD⊥AB，与x轴相交于点D，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，如果点P、Q分别是线段AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。24.（12分）如图1，在平面直角坐标系中，如图1，已知点A(0,6)，点B在线段AO上，且AB=2BO，若点P在x轴的正半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C。(1)求证：△BOP∽△PCE；(2)如图2，连接BE，若∠BPO=60°，△PEC与△BPE相似，请直接写出点E的坐标；(3)如图3，若点C坐标为(8,0)。过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，若点C关于直线PQ的对称点C'正好落在线段AD上。求点P的坐标。25.（12分）如图①，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F。(1)【推断】：①四边形CEGF的形状是②AGBE的值为(2)【探究与证明】：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α度(0°<α<45°)，如图②所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)【拓展与运用】：正方形CEGF在旋转过程中，当A,G,F三点在同一直线上时，如图③所示，延长CG交AD于点H。若AG=3，GH=2，求BC的长。答案一、选择题（共10题，每题4分，共40分）1.下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（D）A.B.C.D.2.“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地。如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（B）A.B.C.D.3.下列各组中的线段，其中a,b,c,d是成比例线段的是（D）A.a=1,b=2,c=3,d=4B.a=4,b=6,c=5,d=10C.a=2,b=4,c=6,d=8D.a=2,b=3,c=4,d=64.一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计40个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（B）A.24B.16C.12D.85.如图，∠1=∠2，从下列条件①∠B=∠D；②∠C=∠E；③ACAE=BCDE；④ABAD=ACAE。中选择一个作为添加条件，使△ABCA.①②③B.①②④C.①③④D.②③④6.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA:AE=1:2，且四边形ABCD的周长为3，则四边形EFGH的周长为（B）A.6B.9C.12D.277.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符。实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（AC>BC）时，可以敲击出音符“sol”的声音。若AB=8cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（B）A.(4-25)cmB.(45-4)cmC.(45+4)cmD.(4-45)cm8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC面积的49。若BC=12，则平移的距离为（CA.2B.3C.4D.59.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，F是边AB上的点，且AF=2BF，连接CE，DF，CE与DF交于点G。若EG=2，则GC的长为（C）A.5B.5.5C.6D.710.如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①CFBF=32；②ADAH=2-1；③BE平分∠CBD；④2AB2=DE·A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（共5题，每题4分，共20分）11.已知a5=b3，则a+bb的值是12.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A,B,C，过点B的直线DE分别交l1，l3于点D,E。若AB=2，BC=4，DE=9，则线段DB的长为3。13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N。若AC=2，则MN的长为1.2。14.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC、BD相交于点O，且BE:ED=1:3，AB=6，则AE=3315.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=23cm，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为332三、解答题（共10题，90分）16.（6分）若a3=b4=解：设a3=b4=将a=3k、b=4k、c=5k代入a+b+c=66,得:3k+4k+5k=6612k=66k=11a=3×112=b=4×112c=5×112=×17.（7分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，且∠BAD=∠C，BD=4，BC=9，求AB的长度。解:∵∠BAD=∠C,∠B=∠B,∴△BAD∽△BCA,∴BDAB=AB∵BD=4,BC=9,∴4AB=SB∴AB=6.18.（7分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=9，AD=6，EF=23解:∵矩形EFGH内接于△ABC,∴EH∥BC.∴∠AEH=∠ABC,∠AHE=∠ACB.∴△AEH∽△ABC.∴AEAB=EH同理，∵AD⊥BC,EF⊥FG,∴EF∥AD.∴∠BEF=∠BAD,∠BFE=∠BDA.∴△BEF∽△BAD.∴BEBA=EF∴AEAB+BEBA=EHBC∵EF=23EH,AEAB+BEBA=AE+BE∴1=EH9+2∴EH=92∴EF=23×9∴EF·EH=3×92=27∴矩形EFGH的面积为27219.（8分）2026世界机器人大会（WRC2026）于8月在北京亦创国际会展中心举办；大会以人工智能与机器人深度融合为主题，设立工业机器人、人形机器人、服务机器人和特种机器人四大展区。小宇准备和爸爸利用暑假前去参会，他将这四个展区名称写在形状、大小、质地完全相同的卡片上，背面朝上洗匀后放在不透明盒子中。卡片对应：A—工业机器人展区，B—人形机器人展区，C—服务机器人展区，D—特种机器人展区。(1)小宇随机抽取1张卡片，恰好抽到特种机器人展区(D)的概率为。(2)小宇一次性随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表法计算小宇抽到特种机器人展区(D)和工业机器人展区(A)的概率。（1）1（2）根据题意，画树状图如下:由树状图可知:小宇抽到特种机器人展区(D)和工业机器人展区(A)的概率为212=220.（8分）法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有1700多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物、某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=3米，将标杆CD向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG=6米，GC=67.5米。(1)请计算标杆CD与“真身宝塔”的距离AC的值？(2)“真身宝塔”的高度AB是多少？解：（1）由题意知，AB⊥AF,CD⊥AF,HG⊥AF,∴AB∥CD∥HG,∴△ECD∽△EAB,△FGH∽△FAB,∴CDAB=ECEA,HGAB∵CD=HG=2,EC=3,FG=6,GC=67.5,∴EA=AC+3,FA=FG+GC+AC=AC+73.5.∴3AC+3=6解得AC=67.5答：标杆CD与“真身宝塔”的距离AC的值为67.5米.（2）由(1)得，2AB=3将AC=67.5代入上式得:2AB=解得AB=47答:“真身宝塔”的高度AB是47米.21.（10分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形。(1)在图中标出位似中心P的位置。(2)以原点O为位似中心，在第三象限画出一个与△OAB的位似比为2:1的△OA2B2。(3)分别写出A，B的对应点A2，B2的坐标：A2（，），B2（，）。（1）（2）（3）A2（﹣4，﹣2），B2（﹣2，﹣6）22.（10分）数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动。如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点P，并测得点光源O到板面的垂直距离OM为60cm，点光源O到地面的垂直距离ON为96cm，木棒AB的长度为20cm，实践小组的相关探究如下：实践探究一：如图1，将木棒AB水平放置于板面上，AB在直线PM上。在灯光照射下，木棒AB在地面上形成的投影为CD。从点M出发，将木棒沿PM方向平移，观察其投影CD长度的变化情况。(1)请判断CD长度的变化情况为：；A.逐渐变长B.逐渐变短C.不变(2)请证明（1）的结论；实践探究二：(3)如图2，将木棒AB垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒AB在地面上形成的投影为CD。从点M出发，将木棒沿PM方向平移，当木棒AB平移至某处时，MA=20cm，请计算此时投影CD的长度。（1）C（2）证明:∵AB∥CD,\∴△OAB∽△OCD,又∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴ABCD=OM∴CD=ONOM·AB∵AB、OM、ON不变，∴CD长度不变，∴将木棒AB沿PM方向平移，其投影CD长度不变；（3）(4)解:∵OM⊥PM,AB⊥PM,∴AB//OM,∴△BAE∽△OME∴ABOM=即ABOM=∴2060=解得:AE=10，∵AE//CD,∴△OAE∽△OCD又∵OM⊥AE,ON⊥CD,∴AECD=∴10CD=解得:CD=16∴投影CD的长度为16cm.23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A(-3,0)、C(1,0)、B(1,3)。(1)求过点A,B的直线的函数表达式；(2)过点B作直线BD，使BD⊥AB，与x轴相交于点D，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，如果点P、Q分别是线段AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。解:(1)在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,点A、C的坐标分别为A(-3,0)、C(1,0)、B(1,3).∴AC=4,BC=3,∴AB=AC2设直线AB的解析式为y=kx+b,∴﹣解得k∴直线AB的解析式为y=34x+9(2)过点B作BD⊥AB交x轴于D∴∠ABD=∠ACB=90°,∵∠A=∠A∴△ADB∽△ABC∴ABAC=∵AC=4,AB=5,∴AD=25∴OD=AD-AO=13∴点D的坐标为(134(3)∵AP=DQ=m,∴AQ=254若AAPQ~AABD，如下图:则ABAD=即5254∴m=259若△APQ∽△ADB,则ABAD=AQ5254=∴m=125综上所述：符合要求的m的值为259或12524.（12分）如图1，在平面直角坐标系中，如图1，已知点A(0,6)，点B在线段AO上，且AB=2BO，若点P在x轴的正半轴上，连接BP，过点P作PQ⊥PB，点E是射线PQ上一点，过点E作EC⊥x轴，垂足为点C。(1)求证：△BOP∽△PCE；(2)如图2，连接BE，若∠BPO=60°，△PEC与△BPE相似，请直接写出点E的坐标；(3)如图3，若点C坐标为(8,0)。过点A作DA⊥y轴，且和CE的延长线交于点D，若点C关于直线PQ的对称点C'正好落在线段AD上。求点P的坐标。(1)证明:∵PQ⊥PB,EC⊥OC,∴∠ECP=∠BPE=∠POB=90°,∴∠OPB+∠EPC=90°,∠EPC+∠CEP=90°,∴∠OPB=∠PEC,∴△BOP∽△PCE;(2)解：如图，∵OB=2,∠POB=90°,∠OPB=60°,∴∠PBO=30°,∴OP=OB·33=233∵∠BPQ=90°,∴∠QPC=30°,∵∠PBQ=∠ECP=90°,∴当∠PE1B=30°时，以点E,P,C为顶点的三角形和△BPE相似，∴PE1=3BP=4,∴E1C=12PE1=2,PC=3E1C=23∴OC=83∴E1（833当∠PBE2=30°时，以点E,P,C为顶点的三角形与△BPE相似，同法可得E2（433，2综上所述，满足条件的点