福建省2026届高三1月教学质量检测数学试题（含答案）

福建省2026届高三1月教学质量检测数学试题及答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知为虚数单位，若，则（）A.B.C.D.2.已知抛物线的焦点为，点在上，且，为原点，则（）A.B.C.D.3.印刷电路板（）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021-2025年度中国市场规模（单位：千亿元）依次为3.88,3.84,4.16,4.46,4.71，则这5个数据的40%分位数是（）A.B.C.D.4.已知向量，，记，则（）A.B.C.D.5.已知正数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.6.在中，内角的对边分别为.若，，，则（）A.B.C.D.7.已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（）A.B.C.D.8.若函数存在极大值点和极小值点，，其中都是实数，则（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，若集合满足，则可以是（）A.B.C.D.10.若，则（）A.B.C.从这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种D.从这8个数中任取3个，这三个数的和等于中某数的取法有28种11.已知定义域与值域均为的函数满足，，且，则（）...，是奇函数.，满足三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，用表示.13.已知双曲线，记，经过点，，且（为原点），则的离心率为.14.若函数有零点，则实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列的前项和.（1）证明：是等比数列；（2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差.16.（15分）已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于两点.是坐标原点，的面积是，求实数的值.17.（15分）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，，是正三角形，，三棱锥的体积是四棱锥体积的.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（17分）春节期间，某商家开展购物抽奖活动，部分活动规则如下：在一个不透明的抽奖箱中放入张大小形状完全相同的卡片，其中有张卡片上标有“恭喜中奖”，其余都标有“谢谢参与”.（1）若，，每位顾客可以一次性抽取2张卡片，每张“恭喜中奖”卡片可以兑换精美礼品1分.现顾客甲参加抽奖活动.（ⅰ）在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率；（ⅱ）设顾客甲获得的精美礼品的份数为，求的分布列与方差；（2）商家根据购物次序给每位顾客编号，编号的个位数字是8的顾客的抽取规则如下：顾客每次抽取1张卡片，抽到“谢谢参与”卡片就放回抽奖箱，继续抽取，抽中“恭喜中奖”卡片就停止抽取，赠送精美礼品1份，如果抽取次任然没有抽到“恭喜中奖”卡片，那么停止抽取，顾客不能获得精美礼品.若顾客乙编号的个位数是8，记顾客乙抽取的次数是，求的数学期望.19.（17分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，证明：对任意，都有；（3）若数列满足，证明：.答案解析一、选择题1.A解析：由，得.2.D解析：由抛物线的定义，得，解得，∴，∴.3.B解析：∵，故这5个数据的40%分位数是将数据从小到大排列后第2个数据（3.88）与第3个数据（4.16）的平均数4.02.4.C解析：∵，，∴，∴，∴.5.B解析：由，得，∴，当为仅当，即时等号成立.6.C解析：由，得，，∴，即，又，∴，易知此时三角形有解.7.D解析：设正四面体的棱长为，则表面积为，该正四面体的各条棱的中点构成棱长为的正八面体，其个顶点都在半径为的球的表面上，则球的表面积为，∴.8.B解析：由题意知有两个实数根，显然，∴，令，则，当时，；当时，，∴的单调递增区间为，单调递减区间为，，又，∴方程有两个解时，，由分别是的极大值点与极小值点且知的单调递增区间为，单调递减区间为，∴.当时，，当时，有，符合题意，由得，又，∴，故B正确；当时，有，不合题意.取，则，存在极大值点和极小值点，但，故A错误；取，则，，，故CD错误.二、多项选择题9.BC解析：对于，，则，不满足题意；对于B，，则，满足题意，故B正确；对于C，，则，满足题意，故C正确；对于D，当时，，，不满足题意，故D错误.10.BCD解析：通项，∴，得，∴，故A错误；由，得，，由二项式系数的性质知最大，故B正确；由，得为负数，为正数，∴从中任取2个，这两个数之积为正数的取法有种，故C正确；由题意知，，∴，∴从中任取3个，其和仍在该组数据中的取法有种，又，，，，∴共有种，故D正确.11.ACD解析：∵，，取，得，即，故A正确；取，得，即，∴，故B错误；当时，，∴当时，是奇函数，故C正确；取，得.设，则的取值范围是，且，∴.当时，，∴，故D正确.三、填空题12.解析：由，，得，∴，∴.13.解析：由题意，知过点的右焦点，且，易求得，由，得是等腰直角三角形，为斜边，∴，∴，即，∴，∴的离心率为.14.解析：①当时，，若，则；若，则，故当时，没有零点；②当时，若，则，，若有零点，则，解得或；若，则或，若，则；若，则，∴，若有零点，则.又，解得.综上，的取值范围是.四、解答题15.解：（1）证明：∵，∴，两式相减，得，∴，又，得，解得，∴，故是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得，，，∴数列的公差.16.解：（1）∵椭圆的短轴长为2，∴，∴，又∵点在椭圆上，∴，解得，∴椭圆的标准方程为.（2）联立，整理得，∵直线与椭圆相交于两点，∴，∴，设，则有，，，点到直线的距离，∴，由，得，即或，满足，，∴实数的值是1或2.17.解：（1）证明：在正方形中，，设与平面所成的角为，∵，∴与平面所成的角也为，∴到平面的距离为，到平面的距离为，连接，∵，，由题意知，显然，∴，又，∴，∴，∵，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）由（1）知平面，平面，∴平面平面，分别取的中点，连接.∵是正三角形，是边上的中点，∴.又平面平面，平面平面，平面，∴平面，则两两垂直.以为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，.设平面的一个法向量为，则，令，解得，，∴.设直线与平面所成的角为，则.∴直线与平面所成角的正弦值为.18.解：（1）（ⅰ）记顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片为事件A，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片为事件B，则,,∴，即在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率为.（ⅱ）由题意知的可能取值为0,1,2，则；；，的分布列为012∴,.（2）由题意知的可能取值为，则，，∴，设，则，两式相减得，，∴，∴.19.解：（1）∵，∴，，∴曲线在处的切线方程为.（2）证明：∵，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.∵，∴或，若，由在上单调递增，得