77　第九章　第71课时　一元线性回归模型及其应用 - 副本

1/12第71课时一元线性回归模型及其应用[考试要求]1．了解样本相关系数的统计含义．2．了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．知识点1变量的相关关系(1)按变量间的增减性分为________相关和________相关．①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现________的趋势；②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现________的趋势．(2)按变量间是否有线性特征分为________相关和________相关(曲线相关)．①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在________附近，我们称这两个变量线性相关；②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是________相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．知识点2相关关系的刻画(1)散点图：成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．(2)样本相关系数r的计算公式r＝________________________________＝________________________________．(3)样本相关系数r的性质①样本相关系数r的取值范围为________；②当r>0时，成对样本数据________相关；③当r<0时，成对样本数据________相关；④样本相关系数与相关程度当|r|越接近________时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近________时，成对样本数据的线性相关程度越弱．知识点3一元线性回归模型与最小二乘法(1)一元线性回归模型称Y=bx+a+e，Ee=0，De=σ2为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为________或响应变量，x称为________或解释变量，________称为截距参数，________称为斜率参数；e是Y与(2)最小二乘法将y＝bx＋a称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，a的最小二乘估计，其中b＝________________，a＝________．知识点4刻画回归效果的方式(1)残差图法在残差图中，残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明满足一元线性回归模型的假设，这样的带状区域的宽度越______________，说明模型拟合精度越高．(2)残差平方和法残差平方和为________，残差平方和越________，模型拟合效果越好．(3)决定系数法R2的值越趋近于1，模型的拟合效果越好．[常用结论]1．经验回归直线必过点(x，y2．计算b时，也常用公式1．(人教B版选择性必修第二册P121习题4－3AT3)变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关．则()A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关______________________________________________________________________________________________________________________________________2．(人教A版选择性必修第三册P103习题8.1T1改编)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是()ABCD3．(人教A版选择性必修第三册P103练习T3改编)在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1，2)，(2，0)，(4，－4)，(－1，6)，则y与x的样本相关系数为()A．12B．－1C．0D．－______________________________________________________________________________________________________________________________________4．(人教A版选择性必修第三册P113练习T2)假如女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为y＝0.81x＋25.82．已知父亲身高为175cm，则估计女儿的身高是________cm(结果保留整数)．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5．(人教A版选择性必修第三册P138复习参考题8T2)根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型Y=bx+a+e，Ee=0，De=σ2得到经验回归模型y＝A．满足一元线性回归模型的所有假设B．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设C．不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设D．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6．(苏教版选择性必修第二册P169习题9.1T1)某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间有如下数据：x/℃－2－1012y/百元54221甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系，下列经验回归方程正确的是()A．y＝－x＋2.8 B．y＝－x＋3C．y＝－1.2x＋2.6 D．y＝x－0.8考点一成对数据的统计相关性[典例1](1)(2025·上海浦东新区期末)通过随机抽样，收集了若干朵鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位：cm)，绘制的散点图如图所示，计算得样本相关系数r＝0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为y＝0.7501x＋0.6105，根据以上信息，下列命题正确的是()A．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cmB．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.8642C．花瓣长度和花萼长度负相关D．花瓣长度和花萼长度存在一次函数关系(2)(2025·淮安月考)某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价x(单位：元)与销量y(单位：百件)的对应数据，如表所示：x1212.51313.514y14131198参考数据：＝－8，6465≈0.992．参考公式：样本相关系数r＝(i)求该纪念品定价的平均值x和销量的平均值y；(ii)计算x与y的样本相关系数．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通性通法：判定两个变量相关性的方法(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关．(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，线性相关性越强．(3)经验回归方程：当b>0时，正相关；当b<0时，负相关．[多维变迁]1．对两组数据x，y和v，u分别进行回归分析，得到散点图如图所示．求得经验回归方程分别是y＝b1x＋a1和u＝b2v＋a2，样本相关系数分别为r1，r2，则()A．b1b2＞0 B．－1＜r2＜0C．|r1|＜|r2| D．r1＋r2＜02．一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－3x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．考点二回归模型一元线性回归模型[典例2]随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的数据如下：广告支出x/万元24568销售额y/万元2030506070(1)计算x，y的样本相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较强的线性相关程度．(若0.3＜|r|＜0.75，则线性相关程度一般；若|r|≥0.75，则线性相关程度较强．344≈18.55)(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测当广告支出为15万元时，销售额约为多少万元．参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式、样本相关系数r的公式分别为______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维建模：“算、找、代、估”四步模型法求解线性回归分析问题第1步算：计算核心统计量，即x，y，(xi-x)2第2步找：画出散点图或找到样本相关系数，分析变量间是否存在线性相关关系(若两个变量之间不具有线性相关关系，则求出的经验回归方程就没有实际意义)．第3步代：代入公式求出y＝bx＋a中参数a，b的值，得到经验回归方程．第4步估：根据经验回归方程对实际问题进行估计．[多维变迁](2025·南京月考)已知变量y关于变量x的经验回归方程为y＝kx－0.5，其相关数据如下表所示：x1234y1346若变量x的值为5，则变量y的估计值为()A．6.5 B．7C．7.5 D．8非线性回归模型[典例3](2025·上海宝山区月考)经观测，长江中某鱼类的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度xi和产卵数yi(i＝1，2，…，10)的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．表中ti＝xi，zi＝lnyi，z＝附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝α＝v－β(1)根据散点图判断，y＝a＋bx，y＝n＋mx与y＝c1ec2x哪一个适宜作为y与x之间的经验回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)根据(1)的判断结果及表中数据．(i)试求y关于x的经验回归方程；(ii)已知用人工培养该鱼类的成本h(x)与温度x和产卵数y的关系h(x)＝x(lny－2.4)＋170，当温度x(x取整数)为何值时，培养成本的预报值最小？_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维建模：非线性经验回归模型第1步确定经验回归类型：根据散点图或样本相关系数确定经验回归方程的函数类型．第2步转化线性经验回归方程：将x，x2,lnx等换元转化成一次函数型；若为指数型，可取对数后换元成一次函数型．第3步求解线性经验回归方程：利用公式求解．第4步代换回原方程：将上一步经验回归方程转化成目标形式．考点三决定系数与残差[典例4](1)(2026·武威市模拟)已知变量x，y线性相关，其一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，9)满足＝33，用最小二乘法得到的经验回归方程为y＝2x－1．若增加一个数据(－3，3)后，得到修正后的经验回归直线的斜率为2.1，则数据(4，8)的残差的绝对值为()A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4(2)(2026·济南模拟)下表是2020－2024年中国出生人口数y(单位：十万人)的数据：年份20202021202220232024年份代码x12345出生人口数y/十万人120106969095(i)求2020－2024年中国每年出生人口数的平均数；(ii)某研究人员建立了y关于x的回归模型y＝120－6x，用该回归模型预测从哪一年开始中国出生人口数将低于700万；(iii)求(ii)中回归模型的决定系数R2，并评价其拟合效果．(如果0.85≤R2≤1，就认为拟合效果好，如果0.7≤R2＜0.85，就认为拟合效果一般，如果R2＜0.7，就认为拟合效果差)_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________