沪科版九年级数学上册复习资料

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料

第21章二次函数与反比例函数

【知识点1函数)，=4/+〃工+。的解析式】

1.形如()的函数叫做的二次函数；

形如()的函数叫做的反比例函数：

典例1在下列函数表达式中，表示是的二次函数关系的有

①;②;③;④;⑤；

⑥;⑦

典例2在下列函数表达式中，表示是的反比例函数关系的有

①;②;③;④;⑤电⑦

典例3若函数是反比例函数，则，若是二次函数则

【知识点2二次函数的图象与性质】

函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a羊0)

开口a>0”0

(1)抛物线开口向上、并向上无限延伸；(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸；

(2)对称轴是，顶点坐标是(,);(2)对称轴是x=,顶点坐标是(，)；

(3)当时,y随x的增大而减小；当时,y随x的(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x

增大而增大；的增大而减小；

性质

(4)抛物线有最低点，当x二时,y有最小值，(4)抛物线有最高点，当x=时,y有最大值，

(4)抛物线有最低点，当x二-二时，y有最小(4)抛物线有最高点，当乂=-二时，y有最

2a2a

狂4ac-h2一士4ac-b2

值，y最小值4〃大值，为大值4〃

典例4…“012

已知

二次

函数

的与

的部

分对

应值

如表：

则下

列判

断中

正确

的是

(

)

X

)'...-3131

A、抛物线开口向上

B、抛物线与y轴交于负半轴

C.当=4时，＞0

D、方程的正根在2与3之间

典例5已知二次函数的图象过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(-2,),N(-1,),K(8,)

也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（）

A.<<B.<<C.<<D.<<

【知识点3二次函数解析式的确定】

待定系数法：

（1）一般式：（）（条件：任意三点坐标）

（2）顶点式：（）（条件：顶点坐标及一个任意点坐标）

（3）交点式：（）（条件：与轴两交点坐标及一个任意点坐标）

2.平移规律：左加右减，上加下减

典例6抛物线y=ax2+bx+c与'轴交于点A（-3,0）,对称轴为x二・1,顶点C到x轴的距离为2,则

此抛物线表达式为.

典例7抛物线在x轴上所截线段为4,顶点坐标为（2,4）,则这个函数的关系式为。

典例8抛物线向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的表达式为，则=；=。

典例9若抛物线y=X2+2bx+4的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为。

【知识点4二次函数系数与图象】

考查角度1：判断与0匕啜大小决定了开口方向，、共同决定了对称轴的位置（左同右异），决定了抛物线

与轴交点；

考查角度2:判断.（图象与坐标轴有两个交点），（图象与坐标轴有一个交点），（图象与坐标轴没有交点）;

考查角度3:判断与0比较大小，用对称轴与1比较大小即可（解不等式过程中注意的符号）:判断与0比较

大小，用对称轴与-I比较大小即可；

考查角度4:（1）判断与。比较大小，可将代入抛物线解析式，观察此时图象上对应的函数值是在轴的上方

还是下方即可判断；

判断与0比较大小，可将代入抛物线解析式，观察此时图象上对应的函数值是在轴的上方还是下方即可判

断:

(3)判断与0比较大小，可将代入抛物线解析式，观察此时图象上对应的函数值是在轴的上方还是下方即

可判断;

典例10如图.是抛物线的部分图象,则下列结论：

①;②;③;④;⑤;⑥;⑦

其中正确的结论有.

典例11如图.是抛物线y=ax2+bx+c的图象，其顶点的纵坐标为m,则下列结论：

①a-b+c>0；②4a2+c>2b；(3)2a-b<0；@b2=4a(c-m)；(5)一元二次方程ax2+bx+c=in-1有两个不相

等的实数根.其中正确结论有。

典例12如图，抛物线y=ax2+bx+c(a/0)的对称轴为x=-l,与x轴的一个交点在(30)和(-2,0)之间,

其部分图象如图所示，则下列结论：

①abc>0;②b2-4ac>0;(3)2a=b:@a+b+c>0;⑤3b+2c<0;⑥t(at+b)<a-b(t为任意实数).

其中正确结论有。

【知识点5二次函数与一元二次方程】

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标，因此一元二次方程中的，在二次函数中表

示图像与X轴是否有交点：

(1)当＞0时，图像与X轴有两个交点；

(2)当=0时，图像与x轴有一个交点；

(3)当＜0时，图像与x轴没有交点。

典例13二次函数y=ax2+bx+c(aXO)的图象如图所示，求：

(1)函数解析式；

⑵当x时,y随x增大而减小；

(3)由图象回答：

当y＞0时,x的取值范围_____;

当丫=0时,x=；

当yV0时,x的取值范围_____;

(4)方程ax2+bx+c=-3的解为：.

典例14已知二次函数的图象如图所示，且关于的一元二次

没有实数根，则的取值范围是

【知识点6二次函数的应用】

典例15某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件.试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每

天的销售量为250件;销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.

(I)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；

(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：

方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元；

方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元

请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.

典例16王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中y(m)是球的飞行高

度,x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m.

⑴请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.

⑵请求出球飞行的最大水平距离.

(3)若王强再一次从此处击球、要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛

物线，求出其解析式.

【知识点7反比例函数图象与性质】

典例17在函数(为常数)的图象上有三点(・3,),(-1,),(2,),则函数值,，的大小关系是。

典例18如图，直线轴于点P,且与反比例函数()及的图象分别交于点A,B,连接OA,OB,已知OAB的

面积为2,则。

【知识点8函数与一次函数综合】

典例19如图，已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个

交点.

(I)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及AAOB的面积:

(3)求不等式kx+b-<0的解集(请直接写出答案).

典例20如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与轴交于点A、与y轴交于点C、抛物线的对称轴是旦

经过A、C、点，与轴的另一交点为点B、

(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求APAC的面积的最大值.并求出此时点P

的坐标.

3

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-

2

-----第22章相似三角形

【知识点1比例的基本性质】

典例1已知==,且3a・2b+c=9,

(1)求2a+4b-3c=;

(2)若是a、b的比例中项，那么=;

典例2若，且，那么。

典例3已知，则的值是，

【知识点2黄金分割比】

典例4点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm,则BC的长为

典例5已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列结论正确的是

A、A、2=A、B、B、B、2二A、B、

C.AC=BCD.BC=AB

【知识点3平行线分线段成比例】

典例6如图.AD为MBC的中线,AE=AD,BE的延长线交AC,于点F,DHIIBF,则=.

典例7如图，在&ABC、，D、IIEC、EGIIBC、求证:AE2=AB・AD、

【知识点4相似三角形基本模型】

典例8如图，在「ABC、，正方形E、GH的两介顶点E、F在BC、，另外两个顶点G、H分别在AC、AB

上,BC、=15,BC、上的高是10,求正方形的面积。

典例9如图.四边形ABCD中，NB=/D=90。,M是AC上一点ME_LAD于点E,MF±BC于点F,

求证:=1o

典例10如图.点D是AB边的中点,AFIIBC,CG:GA=3:1,BC=8,求AF的长。

典例11如图，在&ABC与△的、中，/ACB:/AED、90°,zABC=zAD,,连接BD、CE,若AC:BC=

3：4,求BD：CE的值.

典例12AAB、中，AB、AC,点D、E、F分别在B、.AB、AC±,/E、、=zB.

(1)如图1,求证：DE・CD二DF・BE;

(2)如图2,若D为BC中点连接EF.求证：ED平分NBEF.

【知识点5相似证明中的比例式】

典例13已知：如图，AABC中，CE_LAB,BFJ_AC,求证:

A

典例14如图,C、是RfABC、斜边AB上的高，NBAC、平分线分别交BC、C、于点E、F,求证:AC、

AE、AF・AB。

C

典例15已知：如图，△ABC中，ZACB=900,AB的垂直平分线交AB于D,交BC延长线于F。求证:

CD2=DE*DFO

典例16如图.△ABC、，AD平分NBAC、AD的垂直平分线FE交BC、延长线于F.求证:DF2=FB・FC、

A

典例17如图.在&ABC中，NBAC=90。,AD_LBC,E是AC的中点,ED交AB的延长线于点F.求证:.

【知识点6相似三角形的性质】

典例18已知AABC-ADEF,若&ABC与ADEF的相似比为2:3,则&ABC与&DEF对应