天津市东丽区立德中学2027届数学九年级第一学期期末联考模拟试题含解析

天津市东丽区立德中学2027届数学九年级第一学期期末联考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在菱形中，，且连接则（）A． B．C． D．2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是()A．45° B．60° C．75° D．85°3．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（）A．先变长后变短 B．先变短后变长C．不变 D．先变短后变长再变短4．如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图.，原传送带与地面的夹角为，为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送带与地面的夹角，使其由改为，原传送带长为.则新传送带的长度为（）A． B． C． D．无法计算5．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x26．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为的矩形花圃（墙长为），围栏总长度为，则与墙垂直的边为（）A．或 B． C． D．7．如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是A． B． C． D．8．如图，在正方形ABCD中，AB=2，P为对角线AC上的动点，PQ⊥AC交折线于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（）A． B．C． D．9．在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m=,n= B．m=5，n=-6 C．m=-1，n=6 D．m=1，n=-210．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点是（）A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（3，﹣2）11．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（）①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是菱形：④当AC＝BD时，四边形ABCD是菱形；A．3个 B．4个 C．1个 D．2个12．如图，△AOB缩小后得到△COD，△AOB与△COD的相似比是3，若C（1，2），则点A的坐标为（）A．（2，4） B．（2，6） C．（3，6） D．（3，4）二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为_____．14．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．15．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段的长为________．16．计算：cos45°=______.17．已知，则＝_____．18．若一个正多边形的每一个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角为__________度．三、解答题（共78分）19．（8分）抛物线的顶点为，且过点，求它的函数解析式.20．（8分）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知米，米，AB与水平线的夹角是，BC与水平线的夹角是．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度是多少米？(结果精确到1米，参考数据：)21．（8分）抛物线y＝ax2+bx+1经过点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C．点D（xD，yD）为抛物线上一个动点，其中1＜xD＜1．连接AC，BC，DB，DC．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍时，求点D的坐标；（1）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）已知：如图，在矩形中，点为上一点，连接，过点作于点，与相似吗？请说明理由．23．（10分）已知关于的方程（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．24．（10分）超市销售某种儿童玩具，该玩具的进价为100元/件，市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过进价的60%.现在超市的销售单价为140元，每天可售出50件，根据市场调查发现，如果销售单价每上涨2元，每天销售量会减少1件。设上涨后的销售单价为x元，每天售出y件.（1）请写出y与x之间的函数表达式并写出x的取值范围；（2）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少元时w最大，最大为名少元？25．（12分）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”，利用该定义完成以下各题：（1）理解：如图1，在四边形ABCD中，若__________（填一种情况），则四边形ABCD是“准菱形”；（2）应用：证明：对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形；（请画出图形，写出已知，求证并证明）（3）拓展：如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1，将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BP方向平移得到△DEF，连接AD，BF，若平移后的四边形ABFD是“准菱形”，求线段BE的长．26．计划开设以下课外活动项目：A一版画、B一机器人、C一航模、D一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；扇形统计图中，选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是°；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校学生总数为1500人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】菱形ABCD属于平行四边形，所以BCAD，根据两直线平行同旁内角互补，可得∠BAD与∠ABC互补，已知∠BAD=120°，∠ABC的度数即可知，且∠BCE=90°，CE=BC可推BCE为等腰直角三角形，其中∠CBE=45°，∠ABE=∠ABC-∠CBE，故∠ABE的度数可得．【详解】解：∵在菱形ABCD中，BCAD，∴∠BAD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），且∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，又∵CEAD，且BCAD，∴CEBC，可得∠BCE=90°，又∵CE=BC，∴BCE为等腰直角三角形，∠CBE=45°，∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-45°=15°，故选：D．本题主要考察了平行线的性质及菱形的性质求角度，掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；菱形中，四条边的线段长度一样，根据以上的性质定理，从边长的关系推得三角形的形状，进而求得角度．2、D【解析】解：∵B是弧AC的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°．又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D．点睛：本题考查了圆周角定理，正确理解圆周角定理求得∠AOB的度数是关键．3、C【分析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得.又AB∥CD，得出，设=a,DF=b（a,b为常数），可得出，从而可以得出，结合可将DH用含a,b的式子表示出来，最后得出结果.【详解】解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,∴四边形CDFE为矩形.∴DF∥GH,∴又AB∥CD，∴.设=a，DF=b,∴,∴∴∴GH=，∵a,b的长是定值不变，∴当人从点走向点时两段影子之和不变．故选：C.本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．4、B【分析】根据已知条件，在中，求出AD的长，再在中求出AC的值.【详解】，，=8即即故选B.本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.5、D【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同．【详解】y=1（x﹣1）1+3中，a=1．故选D．本题考查了抛物线的形状与a的关系，比较简单．6、C【分析】设与墙相对的边长为（28-2x）m，根据题意列出方程x（28-2x）=80，求解即可.【详解】设与墙相对的边长为（28-2x）m，则0＜28-2x≤12，解得8≤x＜14，根据题意列出方程x（28-2x）=80，解得x1=4，x2=10因为8≤x＜14∴与墙垂直的边为10m故答案为C.本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x值.7、C【解析】试题分析：俯视图是从物体上面看，所得到的图形．从几何体的上面看所得到的图形是两个同心圆.故选C．考点：简单几何体的三视图8、B【分析】因为点P运动轨迹是折线，故分两种情况讨论：当点P在A—D之间或当点P在D—C之间，分别计算其面积，再结合二次函数图象的基本性质解题即可．【详解】分两种情况讨论：当点Q在A—D之间运动时，，图象为开口向上的抛物线；当点Q在D—C之间运动时，如图Q1，P1位置，由二次函数图象的性质，图象为开口向下的抛物线，故选:B．本题考查二次函数图象基本性质、其中涉及分类讨论法、等腰直角三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9、D【解析】由两抛物线关于y轴对称，可知两抛物线的对称轴也关于y轴对称，与y轴交于同一点，由此可得二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，由此可得关于m、n的方程组，解方程组即可得.【详解】关于y轴对称，二次项系数与常数项相同，一次项系数互为相反数，∴，解之得，故选D.本题考查了关于y轴对称的抛物线的解析式间的关系，弄清系数间的关系是解题的关键.10、D【详解】解：由两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得点（﹣3，2）关于原点对称的点是（3，﹣2）．故选D．本题考查关于原点对称的点的坐标．11、D【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；④当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；故选：D．本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．12、C【解析】根据位似变换的性质计算即可．【详解】由题意得，点A与点C是对应点，△AOB与△COD的相似比是3，∴点A的坐标为（1×3，2×3），即（3，6），故选：C．本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【解析】试题解析：连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，∴∠FCD=60°，∵在正五边形ABCDE中，∠BCD=108°，∴∠BCF=48°，∴的长=，故答案为．14、【解析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．【详解】四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，，则，故答案为：．本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.15、【解析】已知BC=8，AD是中线，可得CD=4，在△CBA和△CAD中，由∠B=∠DAC，∠C=∠C，可判定△CBA∽△CAD，根据相似三角形的性质可得，即可得AC2=CD•BC=4×8=32，解得AC=4.16、【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知：cos45°=，故答案为.本题主要考查了特殊角的三角函数值，比较简单，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答的关键．17、【解析】根据题意，设x＝5k，y＝3k，代入即可求得的值．【详解】解：由题意，设x＝5k，y＝3k，∴＝＝．故答案为．本题考查了分式的求值，解题的关键是根据分式的性质对已知分式进行变形．18、1【分析】根据题意首先由多边形外角和定理求出正多边形的边数n，再由正多边形的中心角=，即可得出答案．【详解】解：∵正多边形的每一个外角都等于1°，∴正多边形的边数为：，∴这个正多边形的中心角为：.故答案为：1．本题考查正多边形的性质和多边形外角和定理以及正多边形的中心角的计算方法，熟练掌握正多边形的性质并根据题意求出正多边形的边数是解决问题的关键．三、解答题（共78分）19、【分析】已知抛物线的顶点，故可设顶点式，由顶点可知，将点代入即可.【详解】解：设将点代入得解得所以本题考查了抛物线的解析式，由题中所给点的特征选择合适的抛物线的解析式的设法是解题的关键.20、检修人员上升的垂直高度为943米．【解析】如图，过点B作于点H，在中先求出BH的长，继而求出A1B1的长，一次方程的应用等知识，弄清是法运算，最后选择使原式有意义有在中，根据三角函数求出B1C的长，即可求得结论.【详解】如图，过点B作于点H．在中，，，(米)，(米)，在中，，，，，检修人员上升的垂直高度(米)答：检修人员上升的垂直高度为943米．本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.21、（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；（2）点D坐标（2，1）；（1）M坐标（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）根据解析式先求出△AOC的面积，设点D（xD，yD），由直线BC的解析式表示点E的坐标，求出DE的长，再由△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍，列出关于xD的方程得到点D的坐标；（1）设点M（m，0），点N（x，y），分两种情况讨论：当BD为边时或BD为对角线时，列中点关系式解答.【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+1经过点A（﹣1，0），B（1，0），∴，解得：∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；（2）如图，过点D作DH⊥x轴，与直线BC交于点E，∵抛物线y＝﹣x2+2x+1，与y轴交于点C，∴点C（0，1），∴OC＝1，∴S△AOC＝×1×1＝，∵点B（1，0），点C（0，1）∴直线BC解析式为y＝﹣x+1，∵点D（xD，yD），∴点E（xD，﹣xD+1），yD＝﹣xD2+2xD+1，∴DE＝﹣xD2+2xD+1﹣（﹣xD+1）＝﹣xD2+1xD，∴S△BCD＝1＝×DE×1，∵△BCD的面积等于△AOC的面积的2倍∴2＝﹣xD2+1xD，∴xD＝1（舍去），xD＝2，∴点D坐标（2，1）；（1）设点M（m，0），点N（x，y）当BD为边，四边形BDNM是平行四边形，∴BN与DM互相平分，∴，∴y＝1，∴1＝﹣x2+2x+1∴x＝2（不合题意），x＝0∴点N（0，1）∴，∴m＝1，当BD为边，四边形BDMN是平行四边形，∴BM与DN互相平分，∴，∴y＝﹣1，∴﹣1＝﹣x2+2x+1∴x＝1±，∴，∴m＝±，当BD为对角线，∴BD中点坐标（，），∴，，∴y＝1，∴1＝﹣x2+2x+1∴x＝2（不合题意），x＝0∴点N（0，1）∴m＝5，综上所述点M坐标（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）．此题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，动线、动图形与抛物线的结合问题，在（1）使以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，要分情况讨论：当BD为边时或BD为对角线时，不要有遗漏，平行四边形的性质：对角线互相平分，列中点坐标等式求得点M的坐标.22、相似，见解析【分析】先得出，，再根据两角对应相等两个三角形相似即可判断．【详解】解：相似，理由如下：在矩形中，，∴，∵，∴，∴，∴．本题考查矩形的性质、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，属于中考常考题型．23、（1）m≥—；（2）x1=0,x2=2.【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△＝b2−4ac≥0，从而建立关于m的不等式，求出实数m的取值范围．（2）答案不唯一，方程有两个不相等的实数根，即△＞0，可以解得m＞−，在m＞−的范围内选取一个合适的整数求解就可以．【详解】解:(1)△=[-2（m+1)]²-4×1×m²=8m+4∵方程有两个实数根∴△≥0，即8m+4≥0解得，m≥-（2）选取一个整数0，则原方程为，x²-2x=0解得x1=0,x2=2.此题主要考查了根的判别式，以及解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．24、（1）；（2）当x为160时w最大，最大值是2400元【分析】（1）根据“销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”表示出减少的件数，销量y=50-减少的件数；（2）根据“获利w=单利润×销量”可列出函数关系式，再根据二次函数的性质结合自变量x的取值范围即可得解.【详解】解：（1）由题上涨的单价为x-140元所以y=50-（x-140）÷2×1=（2）根据题意得，w＝（x-100）（）＝∵a＝﹣＜0，∴当x＜170时，w随x的增大而增大，∵该种玩具每件利润不能超过进价的60%∴∴x≤160∴当x＝160时，w最大＝2400，答：当x为160时w最大，最大值是2400元．本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的性质.解决此题的关键为：①根据题中的数量关系列出函数关系式；②能根据二次函数的增减性以及自变量的取值范围求最值.25、(1)答案不唯一，如AB＝BC.（2）见解析;(3)BE=2或或或.【解析】整体分析：(1)根据“准菱形”的定义解答，答案不唯一；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形，矩形的邻边相等时即是正方形；(3)根据平移的性质和“准菱形”的定义，分四种情况画出图形，结合勾股定理求解.解：(1)答案不唯一，如AB＝BC.(2)已知：四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，对角线AC，BO交于点O，且AC=BD，OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵OA=O