专题强化练17圆锥曲线中的焦点弦与中点弦问题

专题强化练17圆锥曲线中的焦点弦与中点弦问题授课提示：对应专题强化练32页(分值：100分)一、单项选择题(每小题5分，共30分)1．直线l与双曲线x24－y2＝1交于P，Q两点，线段PQ的中点为M(4，1)，则直线l的方程为(A．y＝x－3B．y＝－x－3C．y＝x＋5D．y＝－x＋5解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为线段PQ的中点为M(4，1)，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，所以x124－y12=1，x224－y22=1，两式相减可得x124－x224＝y12-y22，即x1+x2x1-x答案：A2．(2025·湖北黄冈模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为H，则tan∠HMN的值为()A．255BC．5D．6解析：由题意得焦点F(1，0)，由直线l过点F(1，0)且斜率为2，可得l：y＝2(x－1)，将其与y2＝4x联立，消元得x2－4x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，x1x2＝1.设H(x0，y0)，则x0＝x1+x22＝2，y0＝2(x0－1)＝2，即H(2，2)，且|AB|＝1+2·x1+x22-4x1x2＝3·16-4＝6(或运用抛物线焦点弦公式|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋2＝6)，故以AB为直径的圆的半径为|HM|＝12|AB|＝3.过点H(2，2)作HG⊥y轴，垂足为点G，则在Rt△MGH中，|HG|＝2，|MG答案：A3．已知曲线C：x29+y24＝1，直线l与曲线C交于A，B两点，且点P(1，1)是线段ABA．49B．－C．94D．－解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B两点在曲线C：x29+y24＝1上，所以有x129＋y124＝1①，x229＋y224＝1②，用①式减去②式可得x129＋y124－x229－y224＝答案：B4．(2025·河北张家口模拟)已知抛物线C：x2＝y的焦点为F，过点F的直线l交C于P1，P2两点，若l的一个方向向量为(1，tanα)，α∈(0，π2)，则|P1P2|＝(A．1＋cos2α B．1＋sin2αC．1＋tan2α D．1解析：由题意得F(0，14)，所以直线l的方程为y＝xtanα＋14，代入C：x2＝y得4x2－4xtanα－1设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝tanα，x1x2＝－14，所以y1＋y2＝x1tanα＋x2tanα＋12＝tan2α＋12，所以|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝y1＋y2＋12＝tan2α答案：C5.(2024·江西鹰潭模拟)已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，如图，过点F作倾斜角为60°的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若5|FM|＝|OF|(OA．33 B．C．223 D解析：依题意，椭圆的左焦点为F(－c，0)，|FM|＝15|OF|＝15c，过M作MM′⊥x轴，垂足为M′，由∠MFM′＝得|FM′|＝12|FM|＝110c，|MM′|＝32|FM|＝310c，则M(－910c，310c).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1-y2x1-x2＝tan60°＝3，x1+x22＝－910c，y1+y22＝310c.由x12答案：B6．(2025·河北保定模拟)过双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F的直线与双曲线右支交于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，若|AB|A．2B．3C．2D．3解析：设F(c，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x0，y0)，离心率为e＝ca，则|AF同理BF＝ex2－a.由x12a2－y12b2＝1，x22a2－y22b2＝1两式相减整理得kAB＝y1-y2x1-x2＝b2x1+x2a2y1+y2＝b2x0a2y0，所以弦AB的垂直平分线方程为y－y0＝－a2y0b2x0(x－x0)，令y＝0，得x＝e2x0，则P(e2x0，0)，此时P在F的右侧，因为x0>c，所以ex0－a>0，所以|PF答案：C二、多项选择题(每小题6分，共12分)7．(2025·湖北黄冈模拟)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是()A．若|FA|＝3|FB|，则直线AB的倾斜角为60°B．以线段AB为直径的圆与l相切C．存在直线AB，使得OA⊥OBD．若直线AO交l于点D，则BD⊥l解析：对于A，抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，准线l：x＝－1.设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立x=my+1，y2=4x，消去x得y2－4my－4＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.由抛物线的定义知|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1.因为|FA|＝3|FB|，所以x1＋1＝3(x2＋1)，即my1＋2＝3(my2＋2)．又y1y2＝－4，联立可解得m＝±33，则直线AB的斜率k＝±3，倾斜角为60°或120°，故A错误.对于B，设AB的中点为M，过A，B，M分别作准线l的垂线，垂足分别为A′，B′，M′.根据抛物线的定义，|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|，则|MM′|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12(|FA|＋|FB|)＝12|AB|.所以以线段AB为直径的圆与l相切，故B正确.对于C，OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，若OA⊥OB，则OA·OB＝x1x2＋y1y2＝0.由y12＝4x1，y22＝4x2，可得x1x2＝y12y2216＝1，则1－4＝－3≠0，所以不存在直线AB使得OA⊥OB，故C错误.对于D，直线AO的方程为y＝y1x1x，令x＝－1，得y答案：BD8．(2025·湖南邵阳模拟)已知双曲线C：x24-y25＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C的右支交于AA．直线y＝52x－1与CB．双曲线C的离心率为3C．当∠F1AF2＝60°时，△AF1F2的面积为53D．当直线AB的斜率为k1，过线段AB的中点和原点的直线的斜率为k2时，k1k2＝4解析：对于A，联立y=5x=655，y=2，所以直线y＝52x－1与C恰只有一个公共点，故A错误；对于B，对于双曲线C，a＝2，b＝5，c＝a2+b2＝3，所以双曲线C的离心率为e＝ca＝32，故B正确；对于C，设|F1A|＝m，|F2A|＝n，由双曲线的定义可得m－n＝2a＝4，由余弦定理可得|F1F2|2＝4c2＝36＝m2＋n2－2mncos60°＝m2＋n2－mn＝(m－n)2＋mn＝16＋mn，可得mn＝20，则S△F1AF2＝12mnsin60°＝12×20×32＝53，故C正确；对于D，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x1+x22，y1+y22)，则k1＝y答案：BC三、填空题(每小题5分，共10分)9．已知椭圆C：x24+y23＝1，若椭圆C上有不同的两点关于直线y＝4x＋解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上关于直线l：y＝4x＋m对称的两个点，M(x，y)是线段PQ的中点，则3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.∵x1≠x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，∴3x4y＝－y1-y2x∴M(－m，－3m)．∵点M应在椭圆C的内部，∴m24+9m23<1，解得－21313<m<213答案：(－21310．已知抛物线x2＝4y的准线与对称轴的交点为T，过点T的直线l1与抛物线相交于不同的两点A，B，直线l2经过抛物线的焦点F与抛物线相交于D，E两点，且l1∥l2.则TATBDFEF解析：由题意知T(0，－1)，F(0，1)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，易知直线l1，l2的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为y＝kx－1，与抛物线方程联立后消去x整理得y2＋(2－4k2)y＋1＝0，则Δ1>0，y1＋y2＝4k2－2，y1y2＝1，所以|TA||TB|＝xy12y22+6y22y1+y22+6y12y2+36y1y2+6y2+y12+6y1＋1＝4k2＋4.设直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立后消去x整理得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，则Δ2>0，答案：1四、解答题(共48分)11．(13分)(2025·湖南娄底模拟)已知双曲线C：x2－y2b2＝1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q是C上的两点，线段PQ的中点为R.当PF⊥AF时，|PF|＝(1)求C的离心率；(2)若R(12，32答案：(1)设双曲线的半焦距为c，则c2＝b2＋1，当PF⊥AF时，点P的横坐标为c，代入C的方程得y2＝b2c2－b2＝b2(c2－1)＝b4，故y＝±b2，即|PF|＝b2，因为|PF|＝|AF|，所以c＋1＝b2，故c2＝c＋2，解得c＝2，故C的离心率为ca＝答案：(2)由(1)知C：x2－y23＝1，设P(x1，y1)，Q(x2，y2因为P，Q是C上的两点，故x两式相减得x12-若x1＝x2，则直线PQ的斜率不存在，由双曲线的对称性可知，此时线段PQ的中点位于x轴，故不符合题意；若x1≠x2，则y1-y因为R(12，32)是线段PQ的中点，所以x1＋x2＝1，y1＋y则y1-y2x1-x所以直线PQ的方程为y＝(x－12)＋32＝x＋1，即x－y＋1＝经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意．则直线PQ的一般式方程为x－y＋1＝0.12．(15分)在以O为坐标原点的平面直角坐标系中，F(2，0)为椭圆Z：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的右焦点，过点F的直线l(斜率存在)与Z交于A，B两点，线段AB的中点为M(不与O重合(1)证明：a2＝2b2；(2)设直线OM与直线x＝4交于点N，若△AFN为等腰三角形，求l的一般式方程．答案：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于A，B在椭圆Z上，故x两式相减得x12-x22设M(x0，y0)，则有x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，故2x0x1-x2设直线l的斜率为k，则k＝y1-y2x故直线OM与直线