专题强化练10空间几何体的表面积和体积

专题强化练10空间几何体的表面积和体积授课提示：对应专题强化练18页(分值：73分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2025·河北秦皇岛模拟)如图，某工厂储存原料的储存仓是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是2，侧面积是2π，则该储存仓的体积为()A．3π3BC．73π3D．解析：设圆锥的底面圆半径为r，由侧面积是2π，得πr·2＝2π，解得r＝1，圆锥的高h＝22-12＝3，则圆柱的高为23，所以该储存仓的体积为V＝π3×12×3＋π×12×23答案：C2．(2025·山东济南模拟)已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为()A．πB．2πC．4πD．8π解析：如图，设展开图小圆半径和大圆半径分别为r，R，则圆台侧面积S＝π2R2-r2＝4π，即R2－r2＝8，上底面半径r1＝πr2π＝r2，下底面半径R1＝πR2π＝R2，圆台上下底面面积之差的绝对值为答案：B3．(2025·河南开封模拟)已知正方体的内切球的体积为43π，则该正方体的外接球的表面积为()A．12π B．36πC．93π D．123π解析：设正方体的边长为a，则正方体内切球的半径为a2，内切球的体积等于4π3×a23＝43π，解得a＝23，所以正方体的体对角线等于3a＝6，所以正方体外接球的半径等于12×3a＝3答案：B4．(2025·广东深圳模拟)已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为()A．363 B．366C．1083 D．1086解析：如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO为四棱锥的高，PE为侧面的高，因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，所以S侧＝4×12×6×PE＝2S底＝72，解得PE＝6，PO＝PE2-OE2＝33，所以VP-ABCD＝13S底·PO＝13×36×3答案：A5．(2025·河北石家庄模拟)已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为()A．4π B．43πC．63π D．83π解析：如图，轴截面为AB＝2，OE＝1，OC＝2，CE＝OC2-OE2＝3，所以圆柱的侧面积为S＝2π×1×23＝4答案：B6．(2025·河北沧州模拟)在正四棱台A1B1C1D1-A2B2C2D2中，A1B1＝2，A2B2＝32，A1A2＝6，则该正四棱台外接球的表面积为()A．108π B．54πC．36π D．27π解析：设正四棱台上底面A1B1C1D1的中心为O1，下底面A2B2C2D2的中心为O2，因为A1B1＝2，A2B2＝32，所以O1A1＝1，O2A2＝3.过A1作A1E⊥O2A2于E，易得A2E＝2.设该正四棱台外接球的球心为O，则O在直线O1O2上，O1O2＝A1E＝A设外接球的半径为R，则R2＝OO12+O1A12＝OO22+O2A22，即x2＋12＝(42－x)2＋32答案：B7．(2025·河北张家口模拟)已知正三棱柱的表面积为63，则当其体积取得最大值时，该三棱柱的高为()A．3 B．2C．433 D解析：设正三棱柱的底面边长为a，高为h，则其表面积S＝2×34a2＋3ah＝63，得h＝12-a223a，又h>0，所以0<a<23，故正三棱柱的体积V＝34a2h＝12a-a38，则V′(a)＝32-38a2.当0<a<2时，V′(a)>0，V(a)单调递增，当2<a<23时，V′(a)<0答案：B8．(2025·河南焦作模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12π，则侧面BB1C1C绕直线BB1旋转一周所得到的旋转体的体积为()A．12πB．16πC．20πD．24π解析：因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，则两个底面三角形的外接圆圆心分别为B1C1，BC的中点O1，O2，如图所示，BC＝B1C1＝22.设棱柱的外接球的半径为R，圆心为O，由4πR2＝12π，可得R＝3，由对称性知，O为O1，O2的中点，由图可知CC122＋BC22＝CC122＋因为侧面BB1C1C绕直线BB1旋转一周后得到的几何体是底面半径为22，高为2的圆柱，其体积为V＝π(22)2×2＝16π.故选B.答案：B二、多项选择题(每小题6分，共18分)9．(2025·江西南昌模拟)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为6，点P为线段A1B上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有()A．三棱锥P-C1CDB．三棱锥P-B1D1DC．三棱锥P-D1B1CD．三棱锥P-D1AC解析：记平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为V＝6，对于A，由平行六面体的性质，A1B∥平面D1DCC1，故点P到平面D1DCC1的距离等于点B到平面D1DCC1的距离，故VP-C1CD＝VB-C1CD＝13×12V＝1，故A正确；对于B，因为VP-B1D1D＝12VP-B1D1DB，底面面积固定，点P在线段A1B上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误；对于C，因为A1B∥CD1，A1B⊄平面D1B1C，D1C⊂平面D1B1C，故A1B∥平面D1B1C，点P到平面D1B1C的距离等于点B到平面D1B1C的距离，故VP-D1B1C＝VB-D1B1C＝VD1-BCB1＝13×12V＝1，故C正确；对于D，因为A1B∥CD1，A1B⊄平面D1AC，D1C⊂平面D1AC，故A1B∥平面D1AC，点P到平面D1AC的距离等于点B到平面D1AC的距离，故VP-D1AC＝VB-D1AC答案：ACD10．(2025·浙江台州模拟)如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为2cm.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是()A．截口曲线的离心率为1B．该几何体的体积为8πcm3C．该几何体的侧面积为8πcm2D．该几何体的上截面面积为42πcm2解析：对于A，因为截面与圆柱体的轴成45°，且圆柱体底面半径为2cm，故截面椭圆长轴长为2a＝4sin45°＝42，短轴长为2b＝4，故c＝a2-b2＝2，e＝ca＝222＝22，故A错误；对于B，因为上、下截面间的距离为2cm，所以AB＝2sin45°＝2cm，将该几何体沿点A平行于圆柱底面切割补到以沿点B平行于圆柱底面的位置，则正好是以底面半径为2cm，高为2cm的圆柱，则V＝π×22×2＝8πcm3，故B正确；对于C，同样以选项B的方法割补，侧面积即为以底面半径为2，高为2的圆柱的侧面，S＝2π×2×2＝8π(cm)2，故C答案：BCD11．(2025·河北张家口模拟)已知球O的表面积为16π，点P，A，B，C均在球面上，且PA＝PB＝PC，AB＝BC＝CA＝3，PA>AB，则()A．球O的半径为2B．平面ABC截球面所得小圆的面积为3πC．点P到平面ABC的距离为23D．球体挖去四面体P-ABC后余下部分的体积为9解析：由已知条件，且PA＝PB＝PC，AB＝BC＝CA＝3，所以三棱锥P-ABC为正三棱锥．点P，A，B，C均在球面上，所以球O为正三棱锥P-ABC的外接球，球心为O.设底面三角形的中心为O1，顶点P在底面ABC中的射影为底面正△ABC的中心O1，外接球的球心O位于射线PO1上，如图所示．对于A，设球O的半径为R，球的表面积公式为4πR2＝16π，解得半径R＝2，故A正确．对于B，平面ABC是一个等边三角形，边长为3，等边三角形的外接圆半径r为r＝AB3＝33＝3，这就是平面ABC截球面所得小圆的半径，此小圆面积为πr2＝3π，故B正确．对于C，球心到平面ABC的距离d＝R2-r2＝4-3＝1，点P到平面ABC的距离为h＝R＋d＝3(当球心O在线段PO1上时)或h＝R－d＝1(当球心O位于PO1的延长线上时)．当球心O位于PO1的延长线上时，h＝1，PA＝r2+h2＝2<3＝AB,与PA>AB矛盾，舍去；当球心O在线段PO1上时，h＝3，PA＝r2+h2＝3+9＝23>3＝AB，符合题意．所以点P到平面ABC的距离为3，故C错误．对于D，四面体P-ABC的体积为V四面体＝13×底面积×高，其中底面积为等边△ABC的面积，底面积＝34×AB2＝34×9＝934，高为点P到平面ABC的距离h＝3，因此V四面体＝13×934×3＝答案：AB三、填空题(每小题5分，共15分)12．(2025·湖南长沙模拟)已知圆台上下底面半径分别为1和2，母线与下底面所成角为60°，则圆台侧面积为________．解析：记圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，作圆台的轴截面如图所示，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，因为圆台上下底面半径分别为1和2，母线与下底面所成角为60°，所以AB＝4，CD＝2，∠DAE＝∠CBF＝60°，所以AE＝1，DE＝3，AD＝2，所以圆台的高为3，母线长为2.故圆台的侧面积S＝π(1＋2)×2＝6π.答案：6π13．(2025·江苏苏州模拟)某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6.一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为________．解析：由轴截面为等边三角形的高为6，易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为43.小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，可知扇环的半径为33，3，扇环所在扇形的圆心角为2π×2343＝π，所以扇环的面积为12·π332-32＝12综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为15π.答案：15π14．(2025·江西萍乡模拟)已知三棱锥A-BCD外接球的球心O为棱AB的中点，若AB＝4，CD＝3，则该三棱锥体积的