微专题14　计数原理与概率

微专题14计数原理与概率真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有()A.CB.CC.CD.C400402．(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．3．(2022·新高考Ⅰ卷)(1－yx)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)4．(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)，则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为________．5．(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．11213140122233421322334315243444命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：(1)计数原理及与概率的结合，常以实际生活情境为背景命题，以选择题、填空题考查，难度不大．(2)条件概率、全概率公式是教材的新增内容，几乎每年必考．预测角度1排列与组合问题预测1高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有()A．66种B．93种C．195种D．273种[听课笔记](1)合理分类与准确分布；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．[对点练1](1)(2025·河南南阳模拟)有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止．假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为()A．8B．144C．120D．280(2)(2025·湖北宜昌模拟)运动会期间，校园广播站安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天3000米，1500米和跳高三个比赛项目的现场报道，每人选一个比赛项目，且每个比赛项目至少安排一人进行现场报道，甲不在跳高项目的安排方法有()A．32种B．24种C．18种D．12种预测角度2二项式定理预测2若(x－1)n(n∈N*)的展开式各项系数的绝对值之和为512，则(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为()A．－56B．56C．－70D．70[听课笔记](1)求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．(2)求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法．(3)求解系数和问题应用赋值法．[对点练2](1)(2025·湖南长沙模拟)(1＋2x－3y)5的展开式中含x3y的项的系数为________．(2)(2025·江西上饶模拟)(多选)若(x＋2)·(x－1)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a9(x＋1)9，则下列结论正确的是()A．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2B．a7＝96C．a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9＝4D．a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝－15预测角度3概率问题预测3在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9.若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为()A．0.2B．0.5C．0.8D．0.9[听课笔记](1)古典概型用古典概型概率公式求解．(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解．(3)根据事件间的关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．[对点练3](1)(2025·河南安阳模拟)甲、乙两人玩迷宫游戏，已知迷宫的入口编号为1，出口编号分别为2，3，4，5，6，7，两人从入口进入后，他们离开的出口编号之和为8的概率为()A．16B．536C．112(2)(2025·山东菏泽模拟)随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为()A．0.2B．0.5C．0.6D．0.8请完成：专题强化练22微专题14计数原理与概率真题重做1．解析：由题意，初中部和高中部学生人数之比为eq\f(400,200)＝eq\f(2,1)，所以抽取的60名学生中初中部应有60×eq\f(2,3)＝40(人)，高中部应有60×eq\f(1,3)＝20(人)，所以不同的抽样结果共有Ceq\o\al(\s\up1(40),\s\do1(400))·Ceq\o\al(\s\up1(20),\s\do1(200))种．故选D.答案：D2．解析：方法一由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))种方案．综上，不同的选课方案共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝64(种).方法二若学生从这8门课中选修2门课，则有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝16(种)选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))－Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝48(种)选课方案．综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种).答案：643．解析：因为(1－eq\f(y,x))(x＋y)8＝(x＋y)8－eq\f(y,x)(x＋y)8，所以(1－eq\f(y,x))(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(8))x2y6－eq\f(y,x)Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(8))x3y5＝－28x2y6，(1－eq\f(y,x))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28.答案：－284．解析：设甲在四轮比赛中的得分分别为X1，X2，X3，X4，四轮的总得分为X.对于任意一轮，甲、乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率P(Xk＝1)＝eq\f(6,4×4)＝eq\f(3,8)，所以E(Xk)＝eq\f(3,8)(k＝1，2，3，4)，从而E(X)＝E(X1＋X2＋X3＋X4)＝eq\i\su(k＝1,4,E)(Xk)＝eq\i\su(k＝1,4,)eq\f(3,8)＝eq\f(3,2).记pk＝P(X＝k)(k＝0，1，2，3).如果甲得0分，则组合方式是唯一的，必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以p0＝eq\f(1,Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)))＝eq\f(1,24)；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的，必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以p3＝eq\f(1,Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)))＝eq\f(1,24).而X的所有可能取值是0，1，2，3，故p0＋p1＋p2＋p3＝1，p1＋2p2＋3p3＝E(X)＝eq\f(3,2).所以p1＋p2＋eq\f(1,12)＝1，p1＋2p2＋eq\f(1,8)＝eq\f(3,2)，两式相减即得p2＋eq\f(1,24)＝12，故p2＋p3＝12.所以甲的总得分不小于2的概率为p2＋p3＝12答案：5．解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1＝24(种)选法；每种选法可标记为(a，b，c，d)，a，b，c，d分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为(11，22，33，44)，(11，22，34，43)，(11，22，33，44)，(11，22，34，42)，(11，24，33，43)，(11，24，33，42)，(12，21，33，44)，(12，21，34，43)，(12，22，31，44)，(12，22，34，40)，(12，24，31，43)，(12，24，33，40)，(13，21，33，44)，(13，21，34，42)，(13，22，31，44)，(13，22，34，40)，(13，24，31，42)，(13，24，33，40)，(15，21，33，43)，(15，21，33，42)，(15，22，31，43)，(15，22，33，40)，(15，22，31，42)，(15，22，33，40)，所以选中的方格中，(15，21，33，43)的4个数之和最大，为15＋21＋33＋43＝112.答案：24112命题预测预测1解析：①每个检测点均为一男一女通过，共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝36(种)不同的结果；②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝54(种)不同的结果；③六人均在同一个检测点通过，共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝3(种)不同的结果．则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有36＋54＋3＝93(种).故选B.答案：B[对点练1]解析：(1)将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按由下往上的顺序放入，相当于8个位置，取4个位置将中间一串气球按由下往上的顺序放入，有Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))种方法，再从余下4个位置中取3个将左边一串的3个气球按由下往上的顺序放入，有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))种方法，最后放入右边的一个气球于最后一个位置，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))种方法，由分步乘法计数原理得击破气球的不同顺序的种数为Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))＝280.故选D.解析：(2)按照跳高项目安排人数，可以分以下两类：第一类，跳高项目安排1人，共Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝18种安排方法，第二类，跳高项目安排2人，共Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝6种安排方法，由分类加法计数原理得，共有18＋6＝24(种)不同的安排方法．故选B.答案：(1)D答案：(2)B预测2解析：(x－1)n的展开式各项系数的绝对值之和等于(x＋1)n的展开式各项系数之和，则(1＋1)n＝512，得n＝9，则(x＋1)8(x－1)n＝(x2－1)8(x－1)，因为(x2－1)8的展开式中没有x11的项，所以(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为(x2－1)8的展开式中x10的系数，即C83(－1)3＝－56.故选答案：A[对点练2]解析：(1)因为(1＋2x－3y)5＝(1＋2x－3y)(1＋2x－3y)(1＋2x－3y)(1＋2x－3y)(1＋2x－3y)，所以含x3y的项为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))(－3y)Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))(2x)3Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))·1＝－480x3y，故含x3y的项的系数为－480.解析：(2)对于A，令x＝－1，得a0＝28＝256；令x＝0，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2，因此a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2－a0＝－254，A错误；对于B，(x＋2)(x－1)8＝[(x＋1)＋1]·[(x＋1)－2]8，因此a7＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))×(－2)2＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))×(－2)＝112－16＝96，B正确；对于C，令x＋1＝2，即x＝1，得a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9＝0，C错误；对于D，原等式两边求导得(x－1)8＋8(x＋2)(x－1)7＝a1＋2a2(x＋1)＋3a3(x＋1)2＋…＋9a9(x＋1)8，