数学建模练习题

数学建模习题

题目1

1.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银

牙膏50g装的每支1.5元,120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.

试用比例方法构造模型解释这个现象。

(1)分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他

成木等决定，这些成木中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还

有与w无关的因素。

(2)给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但

是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。

解答：

(1)分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，

其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s

均无关的成本。又因为形状一定时一般有saw”3,故商品的价格可表示

为C=as+Ba?白+y(a,B,丫为大于0的常数)。

(2)单位重量价格c=1=3.十八/1显然c是w的减函数。说明大

包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装

的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。

函数图像如下图所示：

题目2

2.在考虑最优定价问题时设销售期为T,由于商品的损耗，成本q随时间增长，

设口=40+用,B为增长率。又设单位时间的销售量为x=a—bp(p为价格)。今

将销售期分为0<1</<7才叮72<1<1两段，每段的价格固定，记为p二.求

入巧的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期T内的总销售量为Q。,

再求当,为的最优值。

解答：

由题意得：总利润为

U(外内)=C°b»i-q⑼(a-bpj)dl+£g-q⑴](a-g)也

=T/21(a-bpj)-b,-9•+~)]+(«~如z)-bg-(q.+莘T/4)])

由券0,券=0,可得最优价格

P1=+争I昨三。+依0+季)]

设总销量为Q0,

rrbT

(a-b^dt+J.(a-bp)dt=aT-y+川

f2

在此约束条件下U（PI，PJ）的最大值点为

题目3

3.某商店要订购一批商品零售，设购进价%售出%订购费c。（与数量无关），随

机需求量r的概率密度为p（r）,每件商品的贮存费为q（与时间无关）。问如何

确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利

润为正值，需要对订购费c。加什么限制？

解答：

设订购量为u,则三均利润为

.

I(u)=J+J由+qu+QJ(u-r)p(r)dr]

=（勺一。1九一。一（七+与）［（u-r）p（r）dr

U的最优值u•满足「・p(r)dr.=~

最大利润为J(u*)=(q+q)rEr)dr-q.为使这个利润为正值，应有

7<&+%)Crp(r)dr.

题目4

4.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速

与雨滴质量的关系。

解答：

雨滴质量m,体积V,表面积S与某特征尺寸1之间的关系为mocVocP,

SaP,可得SocE?/*。雨滴在重力和空气阻力展的作用下以匀速v降落，所以

:1

，而Aam,f2aSv.由以上关系得vam£

题目5

5.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信

用等级、到期年限、收益如表1所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其

他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：

1)政府及代办机陶的证券总共至少要购进400万元；

2)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越

同);

3)所购证券的平均到期年限不超过5年。

表1证券信息

证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益/与

A市政294.3

B代办机构2155.4

C政府145

D政府134.4

E市政524.5

问：(1)若该经理有1000万元资金，应如何投资？

(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？

(3)在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改

变？若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变？

解答：

(1)设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为、］,与小3,4,4(百万元)，按照规定、

限制和1000万元资金约束，列出模型

max0.043rl+0.027巧+0.025xa+0X)22x4+0.045x£

s.t.X2+x34-x4>4

Xj+x24-x3+x4+x5<10

«L4,即64+6X2-TO,-4X4+36〃<0

AQ+15JT,♦Sr.+Zar,

<5,即4x+10x—x-2X—3x<0

Af・f・t234s

%x2,Xj,x4,0N0

用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元,7.364百万元,

0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。

（2）由（1）的结果中影子价格可知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298

百万元。大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。投

资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解得到：证券A,C,E分

别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007

百万元。

（3）由（1）结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的

税前收益可增加0.35%,故若证券A的税前收益增加为4.5%,投资不应改

变；证券C的税前收益可减少0.112%（按50%的税率纳税），故若证券C

的税前收益减少为4.8%,投资应该改变。

题目6

6.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两

种产品（分别记为A,B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入

混合池中混合，混合后的液体再分别为原料丙混合生产A,B。已知原料甲、乙、

丙、丁的含硫量分别为3%,1%,2%,1%,进货价格分别为6,16,10,15（千元/t）；

产品A,B的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%）,售价分别为9,15（千元/t）。根

据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50t；产

品A,B的市场需求量分别为1003200to问应如何安排生产？

解答：

设力,与分别是产品A中是来自混合池和原料丙的吨数，力,与分别是产品B中来

自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为人,巧户.

优化目标是总利润最大，即

max（9—6xt—16x2—ISx^y,+（15—6xt—16x2—ISxJ%+（9—10）zt

+（15-10况

约束条件为:

1）原料最大供应量限制：勺67+也）£5。

2）产品最大需求量限制：（%+z/4100,仇十为）4200

3）产品最大含硫量限制：

对产品A,色也色也垃25,即（3%+巧+》.一25M一054二0

对产品B,类似可得（3力+巧+%—LS）%+0.5zxWQ

4）其他限制：（A+XN+XJM1，巧，x2rX.，%，4,力，勺之0

用LINGO求解得到结果为：X：=A=05由=句=100,其余为0；目标函

数值为450.

题目7

7.建立耐用消费品市场销售量的模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，

如何确定模型的参数？

解答：

设耐用品销售量为X（I）,可用logistic模型描述x（t）的变化规律，即詈kx（N-X）,

dt

其中N是市场饱和量，k是比例系数，N,k,可曰过去若干时期的销售量

x^,i=1,2,•,…确定，不妨设一4=A=1,则方程可离散化为

5=kNx「kx：,A菁可取x1H—0或区r-K.J/2,N和k可由最小二乘法估

计。

题目8

8.在鱼塘中投放小尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。

（1）设尾数n（t）的（相对）减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼质量的增

加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼质量的减少率与质量本

身成正比。分别建立尾数与每尾鱼质量的微分方程，并求解。

（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相

对减少量g7nl表示，记作E,即单位时间捕获量是En（t）.问如何选择T

和E,使从T开始的捕获量最大。

解答：

(1)尾数n(t)满足面=—右1(4>0),"(0二』得n(t)=%。-七每尾鱼重w(t)

满足的-03,不妨近似设w(0)=0,得W)

(2)设t=T时开始捕镑，且单位时间捕捞率为E,则t^T时有k=-(A+f)n,

因此得n(t)=%g-"e-a♦幻单位时间捕捞鱼的尾数为En(t),每尾鱼重

w(t),所以从T开始的鱼捕捞量是

y=Cwa)£Ut)d£=广电3卜_。-依什门与]‘£一「斯£七””出，问题为求

九E使y最大，可用数值法求解。

题目9

9.速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是p。用量纲分析方法确

定风车获得的功率P与v,S,P的关系。

解答：

设f(p,v,srp)=0,量纲表达式：1p]=[同="•-1/$]=民[p]=[Tm,

解得F(n)=0.n=p-^sp,故p=A”3sp(人是无量纲常数)。

题目10

10.大陆上物种数目可以看做常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。岛

上物种数量的增加与尚未迁移的物种数量有关，而随着迁移物种的增加又导致岛

上物种的减少。在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。

解答：

植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作。，巧(比巧(口若不考虑自然资源

对植物生长的限制，则模型为

父1="i(q-4巧)="式r+为巧-同W=巧(f+及%]

平衡点为Pl(0,0,0),P式六会,0).

题目11

11.下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入4（千元），风险偏好度巧

和人寿保险额y（千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调

查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段

中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预

计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏

好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应

以及两个自变量是否本人寿保险额有交互效应，心中没底。

请你通过表2中的数据建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一

步的分析。

表2

序

号123456789

y1966325284126144949266

66.240.972.9945.057.2026.8538.1275.79

xl966142235.846

x27510645469

序

号

101112131415161718

y4910598771456245133133

37.454.346.1846.130.3652.7655.91

xl1863639.0679.3866

x2527435186

解答：，

最终的回归方程为夕=-623489+0£396。+5.6846"+0J）371zf,且

/=0.9996,F=11070.29447<0.0001（如模型中力口入二*巧巧项，其回归系数

置信区间均含零点）。表明只有经理们的年均收入及其二次项和风险偏好度本身

对他们投保的人寿保险额有显著影响。

题目12

12.表3给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（单位：元）的数据，从散点

图可以明显的发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性

关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。希望

你构造一个合适的回归模型全面的描述生产批量与单位成本的关系。

表3

生产批量650340400800300600720480440540750

单位成本2.484.454.521.384.652.962.184.044.23.11.5

生产批量与单位成本分别记作x和y,为表示x在500以下和以上时，y与x的

不同关系，引入一个虚拟变量D,令D=[l'*>S0°建立线性回归模型

（0.x500.

y=4+6产+6式”—5。。）。+时得到

参数参数估计值参考置信区间

P06.1621[5.0368,7.2874]

P1-0.0047[-0.0074,-0.0020]

B2-0.0036[-0.0076,0.0003]

当生产批量小于500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047元；当生

产批量超过500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047+0.0036=0.0083

元。

从散点图看，也可以拟合x的二次回归模型y=%+及X+4/+£

题目13

13.在一项调查降价折扣券对顾客的消费行为影响的研究中，商家对1000个顾客

发放了商品折扣券和宣传资料，折扣券的折扣比例分别为5%,10%,15%,20%,

30%,每种比例的折扣券均发放了200人，现记录他们在一个月内使用折扣券购

物的人数和比例数据如表4.

表4

折扣比例/%持折扣券人数使用折扣券人数使用折扣券人数比例

5200320.16

10200510.255

15200700.35

202001030.515

302001480.74

（1）对使用折扣券人数比例先做logit变换，再对使用折扣券人数比例与折扣

比例，建立普通的一元线性回归模型。

（2）直接利用MATLAB统计工具箱中的glmfit命令，建立使用折扣券人数比例

与折扣比例的logit模型。与（1）作比较，并估计若想要使用折扣券人

数比例为25%,则折扣券的折扣比例应该为多大？

解答：

（1）记x为折扣比例，n（x）为使用折扣券人数比例，做logit变换

n；=加（言小普通的一元线性回归模型为行丁=角+61/+4这里没有

给出误差项的形成，利用MATLAB统计工具箱中的命令regress,可算出

Jr=-2.18604-0.1086x,通过检验，高度显著。

（2）利用glmfit命令可以得到logit（虱x））==­2.18554-0.10871,

拟合程度也非常好。（1）中模型表面上看起来很好，其实在做估计和检验

时，需要对误差项作较强的限制，而logit回归克服了这一缺陷。

又由卜=-21855+0.1087%,解得£=10,故想要使用折扣券人

数比例为25%,则折扣券的折扣比例应该为10%.

题目14

14.“田忌赛马”是一个家喻户晓的故事：战国时期，齐国将军田忌经常与齐王

赛马，设重金赌注。孙膑发现田忌与齐王的马脚力都差不多，可分为上、中、下

三等。于是孙膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能让您取胜。”田忌相信并答

应了他，与齐王用千金来赌胜。比赛即将开始，孙膑对田忌说：“现在用您的下

等马对付他的上等马，拿您的上等马对付他的中等马，拿您的中等马对付他的下

等马。”三场比赛完后，田忌只有一场不胜而另两场胜，最终赢得齐王的千金赌

注。

（1）分析这个故事中还隐含了哪些信息，并思考合适可以建模为一个博弈问题。

何时只是一个简单的单人决策问题。

（2）如果齐王和田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不

可改变，这个博弈是否存在纯战略纳什均衡？如果不存在，求出该博弈模型的混

合战略纳什均衡。

解答：

（□这个故事中还隐含了以下信息：田忌的每一等级的马都不如齐王的同等级

的马，但田忌的上等马胜过齐王的中等马，田忌的中等马胜过齐王的下等

马。每人每一等级的马只允许出场一次（例如每人每一等级的马只有一匹，

且每匹马只允许出场一次）。此外，

1）如果齐王的马的出场顺序总是固定的（或者出场顺序在比赛开始前

就已经决定了且不可改变），而田忌知道这一点，那么齐王的行动

就已经是完全给定了，这时只有田忌需要决策，是一个简单的单决

策者的决策问题，可以用一般的优化方法进行建模和求解。不妨假

设齐王的马的出场顺序为（上、中、下），则田忌最优的应对行动

就是（下、上、中），这与孙膑给出的战略是一致的。

2）如果齐王的马的出场顺序并不总是固定的，每场比赛时齐王首凭决

定自己派哪个等级的马出场，然后田忌才决定派自己的哪个等级的

马与之对抗，是一个完全信息动态博弈。出忌必须见机行事，根据

齐王出哪种马，决定自己出哪种马［孙膑给出的战略仍是田忌的最

优战略）

3）比赛开始前双方同时决定马的出场顺序并且以后不可改变。假设齐

王和田忌在决策时所拥有的信息是一样的，这时就构成一个完全信

息静态博弈。

（2）双方的行动空间为｛（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），【中、

下、上），（下、上、中），（下、中、上））。不存在纯战略纳什均衡。混

合战略纳什均衡为：双方各以1/6概率选择6个行动之一。

题目15

15.我们经常见到报道：一些不文明现象或违法行为发生在众目睽睽之下，却无

人出面阻止或干预。如果不考虑这类事件的复杂社会、道德等因素，你能否完全

从数学的角度通过建立博弈模型来定量分析一下这种“人多未必势众”的现

象？具体来说，希望你的模型回答下面的问题：假设有多个人正在目睹某个不文

明现象或违法行为，那么当目睹人数增加时，有人出面阻止或干预的可能性是增

加了还是减少了？

解答：

博弈参与人集合"{1,2,…，n},每人的行动集合为A二{0,1},其中1为干

预，0为不干预。若有人出面干预（这是参与人都希望的），设对每个参与人的

价值为v（如由于不文明行为或违法行为得到阻止的心理安慰等）；若自己匕面

干预（这是参与人不希望的），设对每个参与人的成本为c（如遭到报复等）。可

设v>c>0.假设所有参与人完全相同，每个参与人都希望最大化自己的效用v-co

如果没有人干预，每个人的效用均为0.

对每个参与人来说，如果其他人不出面干预，自己应该出面干预；如果有人

出面干预，自己就不用出面干预了。因此，这个博弈存在纯战略纳什均衡：有且

只有一个参与人出面干预，其他人不出面干预，从所有参与人整体上看这也是最

优的方案。

但是，如果参与人之间没有信息的交流与行动上的合作，这一均衡是很难发

生的，很可能要么没有人出面干预，要么有多人出面干预，这都不是纳什均衡。

对这个问题，在不存在合作的情况下，假设所有参与人采用相同的战略是比较合

理的，这样的战略组合如果构成纳什均衡，则称为对称纳什均衡。显然，这个博

弈不存在纯战略对称纳什均衡，所以考虑混合战略对称纳什均衡：每个人的战略

为以概率P采取行动1（以概率bp采取行动0）。对一个参与者来说：

如果他出面干预（采取行动1）,其效用为V-C。

如果他不出面干预（采取行动0）,有两种可能：其他人也都不出面干预

（可能性为（i-p）其效用为0；其他人至少有一人出面干预（可能性为

1-（l-p）其效用为v。因此他不出面干预时的期望效用为

V（1-（1-p）i）。

当出面干预与不出面干预的效用相等时，他就没有动机改变他的战略了。所

以，纳什均衡满足的条件可以很简单的从等式V-C.=V（1—（l-p）*T）得

到，即

题目16

16.同类型的商家经常会出现“扎堆”现象，形成各式各样的商品城，如“书

城”、“灯具城”等。人们有时不得不跑很远的路去这类商品城，于是会抱怨：

如果他们大致均匀的分布到城市的不同地点，难道不是对商家更为有利可图，也

更方便顾客？请你以下面的问题为例，作出适当的假设，进行建模分析：某海滨

浴场准备设立两个售货亭，以供海滩上游泳和休闲的人购买饮用水和小食品等。

那么，这两个售货亭的店主将会分别将售货亭设立在哪里？

解答：

将海滨浴场的海滩近似看成一条线段，售货亭位置的选择空间记为［0,1］区

间。设两售货亭的位置分别位于与占式。4441）,其中点为

m=（%+X2）/2假设顾客是均匀分布的。则售货亭1会吸引m左侧的顾客，售

货亭2会吸引m右侧的顾客。于是售货亭1、2的效用（份额）分别是：

火（卬巧）二^1；^2（X1»X2）=1

容易证明唯一的纯战略纳什均衡为=1/2.即双方“扎堆”于区间中

点。

题目17

17.奇数个席位的理事会由三派组成，议案表决实行过半数通过方案。证明在任

一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重

都是一样的。

解答：

设三派的席位分别为心,”,惘,记z+上+%=力（奇数）。任一派不能操纵表

决，即%,叼,13于是七+七・"+%'+与＞三，即任两派的席位过

半数。显然三派的权重都是一样的，各占1/3.

题目18

18.在基因遗传过程中，考虑三种基因类型：优种D（dd）,混种H（dr）和劣种

R（rr）o对于任意的个体，每次用一混种与之交配，所得后代仍用混种交配，如

此继续下去。构造马氏链模型，说明它是正则链，求稳态概率及由优种和混种出

发的首次返回平均转移次数。如果改为每次用优种交配，再构造马氏链模型，说

明它是吸收链，求由混种和劣种出发变为优种的平均转移次数。

解答：

状态定义为1=1（D）,2（H）,3@,用混种交配时，转移概率矩阵为

1/21/20

P=1/41/21/4

01/21/2

由p2>0知,马氏链是正则链,稳定状态向量为2是/4,1/2,1/4).优种(D)和混

种(R)出发的首次平均转移次数分别为4和2.

100

用优种交配时，转移概率矩阵为P=1/21/20，i=l(D)是吸收状态，

010

Pj1>0,马氏链是吸收链。

由M=G—Q)T=C：]，y=:^=(23)7.知力仁25),仁3位)出发，变为

i=l(D)的平均转移次数分别为2和3.

题目19

19.一家集生产、销售于一体的公司，希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设

定的水平上，如果销售量可以预测，公司需要制订一个根据贮存量控制生产率的

策略。

(1)以在一定时间T内生产率和贮存量与设定值误差的(加权)平方和最小为

目标，给出泛函极值问题。

(2)设销售量为常数，求出最优解，并在T很大的情况下给出生产率和贮存量

之间的关系。

解答：

(1)记时刻t的贮存量x(t),单位时间产量(即生产率)和销售量分别为u(t)

和V(t),则

设预先给定的生产率和贮存量分别为乙和用,则在时间T内u(t)和x⑴与小和工

误差的(加权Q)平方和最小的泛函极值为

J(U(t))=/g(3⑴rJ+y(x(t)-Xo)4也

若设t=0和T=0的贮存量为0,则

x(O)=x(T)=0

化简得

22

J(u(t))=/[|(x(t)+v(t)-Ue)+g(x(t)-x0)]</t

⑵当销售量V(t)=%(常数)时，欧拉方程为

2

i-a(x-x0)=0

解得

x(t)=XO-x0------------dr_eF------------

化简得

-tfrar

2ax0(l—e)e

u(t)=v0+a(xo-x(0)

在T很大的情况下，最后一项可忽略，于是

u=v0+a(x0-x)

即生产率U可以由贮存量X直接确定。

题目20

20.遭受巨大损失：考虑由于预计全球温度会上升而导致的北极冰盖的融化对陆

地的影响。特别要对由于冰盖融化在今后50年中每10年对佛罗里达州沿岸，尤

其是大城市地区的影响进行建模。试提出适当的应对措施来处理这个问题。对所

用数据的仔细讨论是回答本问题的重要组成部分。

解答：

仅仅北极冰盖融化对海平面的直接影响可能较小，而引起其他冰块融化的间接影

响会是决定性的。可以分别对各个冰块提升海平面的影响建模，用常微分方程预

测发生改变的速度。

对于小的冰盖和冰川用全球平均温度对海平面改变影响的模型，参数为融化对温

度的敏感度等，对参数的不同取值计算50年后海平面的升高。对于大冰原考虑

受热体积膨胀引起海平面的升高。一种计算结果是50年后升高20-30cmo

对佛罗里达州沿岸海平面升高1个单位等价于海沿岸水平损失100个单位。在最

坏的情况下，到2058年几乎将损失27m陆地，会失去大多数较小的岛屿及沙滩,

许多城市的港口都会遭到损失。讨论对物种和生物多样性、气候、旅游业、食品

业及全球变暖的影响。

题目21

21.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简

化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。

解答：

假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量

主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸1之间的关系

是Soc"所以饲养食物量woe~

题目22

22.一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：

春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘

的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作(新保姆包括培训)

65天。保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季

开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后。将有15%的保姆自动离职。

（1）如果公司不允许解聘保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。哪些季度

需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？

（2）如果公司在每个季度结束后允许解聘保姆，请为公司制定下一年的招聘计

划。

解答：

（1）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为“「x〉”力X，人，4个季度

开始时保姆总数量分别为工，S2,方，S,人。以本年度付出的总报酬最少

（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为

min51+5：+5?+枭

s.t65AZ6000+5X1

655二>7500+5三

6553>5500+5xa

655.29000+54

S,=120+

S2=0.85Si+x2

Sa=0.85S2+xa

54=0.8553+x4

用LINGO求解并对结果取整。4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为0,

15,0,59人。

上面的模型中没有要求巧,叼.均,。"..5r5S.名取整数，是因为保姆数量较

大，可以近似看做实数处理。此外，由于非整数因子0.85的影响，如果要求

$2,%%为整数，则可能使得新招聘的保姆数量远远超过实际

需要的数量，从而难以找到合理的整数解。

由以上结果中约束的松弛（或剩余）的数据知道，春季和秋季需求的增加不影响

招聘计划,可以分别增加1800人日和936人日。

（2）设4个季度开始时公司招聘的保姆数量分别为句人，4个季度结

束时解雇的保姆数量分别为力,外,为，以人，4个季度开始时保姆总数量分

别为5],S2,SrS、人。以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时

保姆总数量之和最小）为目标，则模型为

min5X+S2+5?+S”

s.t65^>6000+Sxj

6SS2>7500+5%

655a>5500+5xa

6554>9000+5X4

St=120+Xj

S2=0.855—巧一力

Ss=03SS2+x3-y2

SA=0.855a+x4f

5[.Sy5.Z0

用LINGO求解并对结果取整得到，第二个季度开始时公司新招聘15人，

第二个季度结束时解聘15人；第4个季度开始时新招聘72人。目标函数

值为465.1218,比不允许解聘时数量略有减少。

题目23

23.对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型：

（1）推广工作通过己经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的

人数成正比，推广是无限的。

（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而

降低。

（3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用。

解答：

设I时刻采用新技术的人数为x⑴.

(1)指数模型弋=萩.

(2)Logistic模型1*•ax(N-x),N为总人数。

(3)广告等媒介在早期作用较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技

术的人数成正比，在模型(2)的基础上，有言=(ox+b)(N-x).

题目24

24.考虑阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度

成正比。给出周期的表达式，然后讨论物