参数估计说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件

7-2第五章

参数预计（ParameterEstimation)本章规定：1.理解参数的点预计、预计量与预计值的概念；2.掌握矩预计法（一阶、二阶矩)和极大似然预计法；3.掌握预计量的无偏性、有效性（最小方差性)和一致性（相合性)的概念，并会验证预计量的无偏性；4.掌握区间预计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间；会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。本章重点、难点：矩预计法、极大似然预计法;区间预计;点预计的评价原则参数估计问题假设检验问题点估计区间估计统计推断DE基本问题7-2第五章参数预计参数是刻画总体某方面的概率特性的数量.当这个数量是未知的时候,从总体抽出一种样本,用某种办法对这个未知参数进行预计就是参数预计.例如,X~N(,2),点估计区间估计若,2未知,通过构造样本的函数,给出它们的预计值或取值范畴就是参数预计的内容.点预计——预计未知参数的值

区间预计——预计未知参数的取值范畴,使得这个范畴包含未知参数真值的概率为给定的值.（假定身高服从正态分布）设这5个数是:1.651.671.681.781.69估计为1.68，这是点预计.这是区间预计.估计在区间[1.57,1.84]内，如果我们要预计某队男生的平均身高.现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值的估计.而全部信息就由这5个数组成.§5.1点预计惯用办法点预计的思想办法设总体X的分布函数的形式已知，但它含有一种或多个未知参数:1,2,,k设X1,X2,…,Xn为总体的一种样本构造k个统计量:随机变量7-5当测得一组样本值(x1,x2,…,xn)时，代入上述统计量，即可得到k个数:数值称数为未知参数的预计值问题如何构造统计量?如何评价预计量的好坏?对应的统计量为未知参数的预计量7-6谋求预计量的办法1.矩预计法2.极大似然法3.最小二乘法4.贝叶斯办法……这里我们重要介绍前面两种办法.1.矩预计法其基本思想是用样本矩预计总体矩.理论根据:

它是基于一种简朴的"替代”思想建立起来的一种预计办法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.大数定律用样本的k阶矩作为总体的k阶矩的预计量,建立含有待预计参数的方程,从而可解出待预计参数7-11设待预计的参数为设总体的r阶矩存在,记为设X1,X2,…,Xn为同样本,样本的r阶矩为令——含未知参数

1,

2,,

k的方程组7-12解方程组，得k个统计量:——未知参数1,2,,k的矩预计量——未知参数1,2,,k的矩预计值代入一组样本值得k个数:例1：对某型号的20辆汽车统计其每5L汽油的行驶里程（公里)，观察数据以下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9对应总体为该型号汽车每5L汽油的行驶里程,其分布形式未知,计算例2设总体X~N(,2),X1,X2,…,Xn为总体的样本,求,2的矩法预计量。解例3设总体X~Exp(),X1,X2,…,Xn为总体的样本,求的矩法预计量。解令7-13故7-9普通地,不管总体服从什么分布,总体盼望与方差2存在,则它们的矩预计量分别为7-10事实上,按矩法原理,令例4设从某灯泡厂某天生产的一大批灯泡中

随机地抽取了10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时):1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200

试用矩法预计该厂这天生产的灯泡的平均

寿命及寿命分布的原则差.解7-14例5设总体X~U(a,b),a,b未知,求a,b的

矩法预计量.解由于令7-15解得7-16解:由矩法,样本矩总体矩从中解得的矩估计.即为数学盼望是一阶原点矩

例6设总体X的概率密度为是未知参数,其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计.解:由密度函数知

例7设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的矩估计.具有均值为的指数分布故E(X-)=

D(X-)=即

E(X)=

D(X)=解得令用样本矩预计总体矩即

E(X)=

D(X)=矩法的优点是简朴易行,并不需要事先懂得总体是什么分布.

缺点是，当总体类型已知时，没有充足运用分布提供的信息.普通场合下,矩预计量不含有唯一性（如泊松分布其均值和方差都是λ，因而可用去预计λ)

其重要因素在于建立矩法方程时,选用那些总体矩用对应样本矩替代带有一定的随意性.2.极大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数预计办法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,GaussFisher然而,这个办法常归功于英国统计学家费歇.

费歇在1922年重新发现了

这一办法,并首先研究了这

种办法的某些性质.点预计的极大似然预计法思想办法:一次实验就出现的

事件有较大的概率例如:有两个外形相似的箱子,都装有4个球

甲箱1个黑球,3个白球

乙箱3个黑球,1个白球现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,成果所获得的球是黑球。

答乙箱.7-17问

所取的球来自哪一箱?再任取一箱，再从该箱中有返回地任取三个球，其中有一种黑球，问此时最像取自哪一箱?设X是抽取三个球中黑球的个数,又设P为箱中黑球所占的比例,则X~b(3,p),即设总体含有待估参数θ,它能够取诸多值,我们要在θ的一切可能取值之中选出一种使样本观察值出现的概率为最大的θ值作为θ的预计,并称为θ的极大似然预计。例

设总体X服从0-1分布,且P(X=1)=p,

用极大似然法求p的预计值。解X的概率分布能够写成设X1,X2,…,Xn为总体X的样本,设x1,x2,…,xn为总体X的样本值,则7-18对于不同的p,L(p)不同,见右下图现通过一次实验,发生了，事件则p的取值应使这个事件发生的概率最大。7-19在允许的范畴内选择p,使L(p)最大

注意到,lnL(p)是L的单调增函数,故若某个p使lnL(p)最大,则这个p必使L(p)最大。7-20所以为所求p的估计值.普通地,设X为离散型随机变量,其分布律为

X1,X2,…,Xn为总体X的样本,

x1,x2,…,xn为总体X的样本值,则X1,X2,…,Xn的概率分布为7-21或称L()为样本的似然函数这里每个x为u中的某个值,这一概率依赖于未知参数θ,可将它当作是θ的函数则称这样得到的为参数的极大似然预计值称统计量为参数的极大似然预计量7-22选择适当的=,使取最大值，即L()当给定一组样本值时，

就是参数

的函数,极大似然估计法的思想就是：L()简记若随机变量X持续,取f(xi,)为Xi的密度函数似然函数为7-23注1注2未知参数个数能够不止一种,如1,2,…,k设X的密度函数(或概率分布)为则定义似然函数为若关于

1,

2,…,

k

可微，为似然方程组若对于某组给定的样本值x1,x2,…,xn，参数使得似然函数取得最大值，即则称为1,2,…,k的极大似然预计值则称7-24显然,称统计量为1,2,…,k的极大似然预计量7-25例:设某工序生产的产品的不合格率为p，抽n个产品作检查，发现有T个不合格，试求p的极大似然预计值。分析:设X是抽查一种产品时的不合格品的个数，则X服从参数为p的两点分布。抽查n个产品，则得样本X1,X2,…Xn，其观察值为x1,x2…xn，如果样本有T个不合格，即表达x1,x2…xn中有T个取值为1，有n-T个取值为0。基于此求参数p的极大似然预计值。(1)写出似然函数(2)对似然函数取对数,得到对数似然函数:(3)对似然函数求导,令其为零,得到似然预计值可见频率也是不合格品率的极大似然预计。例:设某机床加工的轴的直径与图纸规定的中心尺寸的偏差服从，其中参数未知。为了预计，从中随机抽取n=100根轴，测得其偏差为x1,x2…x100。试求的极大似然预计。分析:显然，该问题是求解含有多个(两个)未知参数的极大似然预计问题。通过建立有关未知参数的似然方程组，从而进行求解。例

设总体X~N(,2),x1,x2,…,xn是X的

一组样本值,求,2的极大似然预计.解7-26,2的极大似然预计量分别为似然方程组为7-27

注:lnx是x的严格单增函数，lnL与L有相似的极大值，普通只需求lnL的极大值.求极大似然预计的普通环节:写出似然函数2.对似然函数取对数3.对

i(i=1,…,m)分别求偏导,建立似然方程(组)解得分别为的极大估计值.§5.2点预计的评价原则对于同一种未知参数,不同的办法得到的预计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用什么标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(1)无偏性(3)相合性(2)有效性

定义设是总体X的样本是总体参数

的估计量则称是

的无偏估计量.

存在,都有且对于任意

无偏性(unbiasedness)P(

)BA无偏有偏是总体X的样本,证明:

不论X服从什么分布,是的无偏估计量.证例1设总体X的k阶矩存在因而由于特别地,

样本二阶原点矩

是总体二阶的无偏估计量原点矩是总体期望E(X)的无偏估计量样本均值例2设总体X的盼望E(X)与方差D(X)存在,是X的一个样本,n>1(1)

不是D(X)的无偏估计量;(2)

是D(X)的无偏估计量.证前已证.证明因而证毕.在不少场合,特别是小样本场合,惯用S2去预计也称为无偏方差。都是总体参数的无偏预计量,且则称比更有效.定义设有效性(efficiency)AB的抽样分布的抽样分布P(

)定义设是总体参数

的则称是总体参数

的一致(或相合)估计量.估计量.若对于任意的

,

当n时,依概相合性(consistency)率收敛于,即一致性预计量仅在样本容量n足够大时,才显示其优越性.AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)相合性被认为是预计量的一种最基本的规定,如果一种预计量在样本容量n不停增大时都不能在概率意义下达成被估参数,那么这种预计量在小样本时会更差,因此不满足相合性的预计量我们对它不感爱好,更不会使用它。

这一讲,我们介绍了参数点预计,讨论了预计量的优良性准则.给出了谋求预计量最惯用的矩法和极大似然法.

参数点预计是用一种拟定的值去预计未知的参数.看来似乎精确,事实上把握不大.为了使预计的结论更可信,需要引入区间预计.这是下一讲的内容.§5.4区间预计引例已知X~N(

,1),x1,x2,…,xn是一组样本值

不同的样本值算得的的预计值不同,因此除了给出未知参数的点预计外,还但愿根据所给的样本拟定一种随机区间,使其包含参数真值的概率达成指定的规定.

的无偏、有效点估计为随机变量常数如引例中,若要找一种区间,使其包含的真值的概率为0.95.(设n=5)取查表得这阐明即称随机区间为未知参数

的置信度为0.95的双侧置信区间.

重复抽取容量为5的样本,都可得到一种区间,这个区间可能包含未知参数的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占95%.置信区间的意义

的置信区间

的置信上限置信度

的置信下限

我们称"置信区间以......的置信度包含参数真值”，而不说"参数真值以......的置信度落入置信区间”，由于参数真值非随机变量而置信区间却是随机变动的。

由置信度求得置信区间，它的意义是：若选用容量均为n的k个样本,则由此算出的k个置信区间中：大致有的区间包含了参数的真值。置信度与置信区间

不同的置信度对应不同的置信区间。置信区间越小，即预计越精确，置信度也就越小，即可靠性越低;反之，置信区间越大，预计误差越大，置信度就越大，即可靠性越高。

若测得一组样本值,它可能包含

的真值,也可能不包含的真值当置信区间为时则得一区间(1.86–0.877,1.86+0.877)重复抽样得到的区间中有95%包含的真值.算得区间的长度为———达到最短取=0.05设是一种待预计的参数,是一给定的数,(0<<1).

若能找到两个统计量使得则称随机区间为参数

的置信度为1-

的置信区间,为置信下限与置信上限,分别称1-

称为置信水平或置信度.

置信区间的定义反映了预计的可靠程度,越小,越可靠.置信区间的长度反映了估计的精度越小,1-越大,预计的可靠程度越高,但这时,往往增大,因而估计的精度降低.越小,估计的精度越高.拟定后,置信区间的选用办法不唯一,常选最小的一种.几点阐明普通,增大样本容量能够提高精度.在求参数的置信区间时,普通先确保可靠性.在确保可靠性的基础上,再提高精度.寻找一种样本的函数它含有待估参数,不含其它未知参数,它的分布已知,且分布不依赖于待估参数(常由的点预计出发考虑).例如求置信区间的环节—称为枢轴量给定置信度1

,定出两个常数a,b,使得(引例中由解出得置信区间引例中,(一)一种正态总体X~N(2)的情形正态总体均值与方差的区间预计(1)方差

2已知,

的置信区间推导由选取枢轴量由确定解得

的置信度为的置信区间为下表是几个惯用的置信水平及其对应的临界值和置信区间置信水平临界值置信区间已知，估计例、已知某工厂生产的滚珠直径,从某天生产的滚珠中随机抽取6个，测得直径为（单位：mm)：滚珠直径均值的置信概率为0.95的置信区间。解：样本均值所求置信区间为：例

某车间生产滚珠，从长久实践中懂得，滚珠直径X能够认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位：cm)14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1)试求该天产品的平均直径EX的点预计；（2)若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信

区间：=0.05；=0.01。解

（1)由矩法预计得EX的点预计值为续解

（2)由题设知X~N（，0.06)构造U-统计量,得EX的置信区间为当=0.05时,而因此，EX的置信区间为（14.754，15.146)当=0.01时,因此，EX的置信区间为（14.692，15.208)置信水平提高,置信区间扩大,预计精确度减少。解:设最少需要随机调查n个游客，由题意例、假定到某地旅游的一个游客的消费额元。今要对该地的每一位游客的平均消费额作一个估计，为了能以不少于95%的置信概率，确信这估计的绝对误差不大于50元，问至少需要随机调查几个游客？答:最少需要随机调查385个游客。解法二:设最少需要随机调查n个游客，由题意，置信区间的半长度已知，估计置信区间为答:最少需要随机调查385个游客。例、假定到某地旅游的一个游客的消费额元。今要对该地的每一位游客的平均消费额作一个估计，为了能以不少于95%的置信概率，确信这估计的绝对误差不大于50元，问至少需要随机调查几个游客？(2)方差

2未知,

的置信区间

由确定故

的置信区间为推导选用枢轴量生产的滚珠中随机抽取6个，测得直径为（单位：mm)：例、已知某工厂生产的滚珠直径，从某天滚珠直径均值的置信概率为0.95的置信区间。解：样本均值样本均方差所求置信区间为：与前例的置信区间相比较，在相同的置信度下，例1的置信区间的长度比例3的置信区间的长度小，即例1中估计精确度更高些。我们掌握的信息更多些从而预计更准些。那是由于在例1中已知总体方差,例

某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克)：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。试用95%的置信度预计全部口杯的平均重量。解

由题设可知：口杯的重量X~N（，2)由抽取的9个样本,可得由得查表得全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54)练习

假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为10公斤，方差为9，如果某商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间预计（=0.01)，并依此考虑最少要准备多少这种商品才干以99%的概率满足需求？解

由题设可知：平均需求量X~N（，2)平均消费额的置信区间为（9.229，10.771)由查表得续解要以99%的概率满足10000户居民对该种商品的需求，则最少要准备的量为（公斤)最多准备（公斤)(3)当

已知时,方差

2的置信区间取枢轴量，得

2

的置信度为置信区间为

由概率例已知某种果树产量服从Ｎ（218，2)，随机抽取6棵计算其产量为（单位：公斤)221，191，202，205，256，236试以95%的置信水平预计产量的方差。解计算查表果树方差的置信区间为例、已知某厂生产的零件,从某天生产的零件中随机抽取4个，得样本观察值:求的置信度为0.95的置信区间。解：所求的置信区间为：(4)当

未知时,方差

2的置信区间选取得

2的置信区间为

••则由比较：，此处用例

设某灯泡的寿命X~N（，2)，，2未知，现从中任取5个灯泡进行寿命实验，得数据10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（单位：千小时)，求置信水平为90%的2的区间预计。解样本方差及均值分别为

2的置信区间为（0.4195，5.5977)由得查表得小结总体服从正态分布的均值或方差的区间预计（1)方差已知，对均值的区间预计假设立信水平为1-构造U-统计量,反查原则正态分布表,拟定U的双侧分位数得EX的区间预计为小结总体服从正态分布的均值或方差的区间预计（2)方差未知，对均值的区间预计假设立信水平为1-构造T-统计量,查t-分布临界值表,拟定T的双侧分位数得EX的区间预计为小结总体服从正态分布的均值或方差的区间预计（3)均值已知，对方差的区间预计假设立信水平为1-构造2-统计量,查2-分布临界值表,拟定2的双侧分位数得2的区间预计为小结总体服从正态分布的均值或方差的区间预计（4)均值未知，对方差的区间预计假设立信水平为1-构造2-统计量,查2-分布临界值表,拟定2的双侧分位数得2的区间预计为——综上所述，对给定的置信度——设是的一个样本已知估计置信区间：未知估计置信区间：——综上所述，对给定的置信度——设是的一个样本已知估计置信区间：未知估计置信区间：练习

某工厂生产一批滚珠,其直径X服从正态分布N(2),现从某天的产品中随机抽取6件,测得直径为15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1(1)若2=0.06,求的置信度为95%的置信区间;(2)若2未知,求的置信度为95%的置信区间;(3)求方差2的置信度为95%的置信区间.解(1)即由给定数据算得由公式(1)得

的置信区间为(2)取查表得由给定数据算得由公式(4)得

的置信区间为(3)选用枢轴量查表得由公式(2)得

的置信区间为为取自总体N(

1

12)的样本,为取自总体N(

2

22)

的样本,置信度为1

分别表达两个样本的均值与方差(二)两个正态总体的情形相互独立,的置信区间为(1)已知,

的置信区间(2)未知(但)的置信区间的置信区间为取枢轴量(3)方差比的置信区间(

1,

2未知)因此,方差比的置信区间为取枢轴量(4)方差比的置信区间(

1,

2已知)因此,方差比的置信区间为例2某厂运用两条自动化流水线罐装番茄酱.现分别从两条流水线上抽取了容量分别为13与17的两个互相独立的样本与已知假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布,其均值分别为

1与

2若它们的方差相同,求均值差的置信度为0.95的置信区间;解查表得由公式(6)的置信区间为取枢轴量

同窗们可通过练习,掌握多个求未知参数的置信区间的具体办法.这一讲,我们介绍了区间预计.(三)单侧置信区间定义对于给定的

(0<

<1),

是待估参数是总体X的样本,若能拟定一种统计量使得则称为置信度为1-

的单侧置信区间.

单侧置信下限单侧置信上限例3已知灯泡寿命X服从正态分布,从中随机地抽取5只作寿命实验,测得寿命为1050,1100,1120,1250,1280(小时)求灯泡寿命均值的置信度为0.95的单侧置信下限与灯泡寿命方差的置信度为0.95的单侧置信上限.解

未知(1)选用枢轴量(2)选用枢轴量(四)非正态总体的情形若总体X的分布未知,但样本容量很大,由中心极限定理,可近似地视若

2已知,则

的置信度为1-的置信区间可取为若

2未知,则

的置信度为1-的置信区间可取为例4已知X服从参数为p的0-1分布,样本为求p的置信度为1的置信区间解(n>50).(近似)令因此参数p的置信区间为(p1,p2)例如,自一大批产品中抽取了100个样品,其中有60个一级品,求这批产品的一级品率p的置信度为0.95的置信区间.p的置信区间为例1：某厂用两条流水线生产番茄酱小包装，现从两条流水线上各随机抽取一种样本，容量分别为，称重后算得（克)：设两条流水线上所装番茄酱的重量

与服从正态分布，

～，～求

的0.90的置信区间。总结x1,x2,…,xn是一组样本值

不同的样本值算得的的预计值不同,因此除了给出未知参数的点预计外,还但愿根据所给的样本拟定一种随机区间,使