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大一下学期高数期末试题及答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设函数z=f(x,y)A.f(B.f(C.f(D.以上均不一定成立答案：D解析：偏导数存在只是二元函数在该点的局部性质，不能推出函数连续、可微，也不能推出沿任意方向的方向导数存在。2.设D:I则I1A.IB.IC.ID.I答案：B解析：令t=x2+y2，则0≤3.设曲线积分L​P dx+QA.∂P∂yB.存在u(xC.C​P dxD.∂P∂x答案：D解析：曲线积分与路径无关的充要条件为∂P4.下列级数中收敛的是（）A.nB.nC.nD.n答案：C解析：C为交错级数，满足莱布尼茨条件，收敛；A、B、D均可由比较判别法或积分判别法判断发散。5.曲面z=x2A.2B.2C.2D.2答案：A解析：令F(x,y,z)=x2+二、填空题（每小题3分，共15分）1.lim(答案：不存在解析：沿y=x趋于原点时极限为12，沿y2.设z=ex答案：e解析：∂z∂x=23.设I=01答案：0解析：积分区域满足0≤x≤1，x≤4.幂级数n=1∞答案：1解析：由limn→∞5.设L为连接点O(0,0)答案：3解析：参数化为x=t，y=2tL三、计算题（每小题8分，共40分）1.设z=u2lnv，u=x∂解析：由链式法则，∂代入u=xy，v2.求函数f(答案：极小值f(解析：解方程组f得驻点(0,0f判别式AC−B2=36xy−9。在(03.计算二重积分D​y dxdy答案：1解析：两曲线交点为(0,0)，(1D4.计算三重积分Ω​z dV，其中Ω答案：4解析：采用球坐标，0≤θ≤2π，0≤ϕΩ5.计算曲线积分L​x2y 答案：−解析：令P=x2L其中D:D故原积分为−π四、综合题（每小题10分，共30分）1.求幂级数n=1∞答案：和函数S(x)=−解析：设S((0)=0$。在$|x|<1$内逐项求导，S积分得S取x=n2.计算曲面积分Σ​x dy答案：4解析：由高斯公式，Σ其中Ω为球体x2+y33.证明：若正项级数n=1∞答

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