新北师大版53平面向量的数量积及平面向量应用举例学案

第三节平面向量的数量积及平面向量应用举例

【考试要求工，会用数量枳判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单

的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

夯实:主干知识如识诊斯基以夯实V

f知识梳理回顾知识

1.向星的夹角及范围

已知两个非零向量。和力，在平面内任选一点0,作晶=a,OB=从则<9=NA0仇0°

W"W180°)称为向量〃与。的夹角.当。=0°时，a与6同向：当。=180°时，a与b反

向；当0=90°时，。与力垂直.规定零向量可与任一向量垂直，即对任意向量。，都有0J_〃.

2.平面向量的数量积及几何意义

(1)平面向量数量积的定义

已知两个非零向量。与人作方'=a,OB=力，向量。与b的夹角NAOB记为〈°,

定义

b)或6(或W〃WI8O0).|a||Z»|cos〃称作。与力的数量积(或内积)

记法记作ab,即ab=|a||b|cos(a,b)=|a||ft|cos0

规定零向量与任一向量的数量积为0

(2)当0°W储，力〉<90°时，a/»0：当(a,b)=90°时，。力=0；当90°<(a,h)

W180°时，ab<0：当(a,b>=0°时，a-b=\a\\b\；当(a,b)=180°时，ab=-\a\\b\.

(3)投影向量

①投影向量：己知两个非零向量m从作晶=a,OB=b,过点A向直线08作垂线,

垂足为A’,得到。在力上的投膨7=01',7称为投影向量.设向量”与力的夹角为仇则

lalcos。称为投影向量y的数量，也称为向量。在向量分方向上的投影数量，可以表示为。卷.

所以投影数量是数量积的特殊情况.

②投影向量的表示

向量。在向量b上的投影向量为|a|,cos〃•或修得.

3.向量数量积的运算律

(1)ab=ba.

(2)(加)。=>(ab)=a(劝).

(3)(“+/>)•<?=a,c+b,c.

4.平面向量数量积性质及其坐标运算

已知非零向量4=S，yi）,b=。2,月），〃与力的夹角为〃

向量表示坐标表示

数量积a-Z>=|a||Z>|cos〃““迎2土心

模\a\=y[g^g_l«l=^4-±rf—

„ab八.中二+）心

夹角cos°=酶35+丁介+固

aLb的充要条件.¥1%2+>'1>'2=0

1。到三1。㈣（当且仅当a//b时等号岗也+广丁2G

1。创与网网的关系

成立）（耳+）彳）（君+吩）

［常用结论］

1.平面向星数星积运算的常用公式

①（。+办（4—》）=，一^^：②3土力）2=。2±24仍+62：

③”2+〃=0=>Q=b=0.

2.有关向量夹角的两个结论

①两个向量。与b的夹角为锐角，则有〃力>0,反之不成立（因为夹角为0时不成立）.

②两个向量。与力的夹角为钝角，则有。•反0,反之不成立（因为夹角为丸时不成立）.

（3）a_Lb<=>a》=0是对非零向量而言的，若4=0,虽然〃力=0,但不能说a_L6.

匹诊断自测激活技能

［思考辨析］

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

⑴两个向品:的夹角的范围是0,y.（）

（2）向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量.（）

（3）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.（）

（4）若a/>=ac（GW0）,则b=c.（）

答案：⑴X（2）X（3）7（4）X

［对点查验］

1.已知闷=2,俗|=6,一6小，则〃与b的夹角。等于（）

n5nJI9.n

BC

A•飞-V-TD.亍

D价ab_6^3_A/3

Bcos”丽=2X6=-2'

又因为OWeWn,所以8=当".故选B.

O

2.已知向量a,力满足|a|=l,向=2小，。与5的夹角的余弦值为sin—,则乐（2a

一协等于（）

A.2B.-IC.-6D.-18

坐,所以

=|a||Mcos〈a,b〉=1X2木X一号=一3,h(2a-b)=2ab~b2D.

3.在RIAA5C中，ZA0C=6O",/6AC=9（T,则向量函在向星就上的投影向

量为（）

B.坐正

D.一坐BC

A由邈意：|放|=||M?|,・••丽在正上的投影向量为|眩|・cos〈丽，於〉-7^

=；cos60°,BC=：BO,故选A.

4.设向量a,8的夹角的余弦值为g,且|a|=l,步|=3,则（2。+㈤为=.

答案11

解析（2a+b）协=2。协+/=2X|X3xg+32=11,

5.设平而向量a=（—2,1）,b=@,—1）,若。与人的夹角为钝角，则2的取值范围

是.

答案（T2）U（2,内）

解析由。与〃的夹角为钝角，所以。•反0,即一射一1«）,解得2>—g,又当。与力

共线且反向时，2—2=0,得M的取值范围是一段且4X2.

探究•核心考点考点突破苫难解感Y

考点一平面向量数量积的简单应用

命题点1平面向量的模

、例U（2022•全国乙卷）已知向量a,8满足同=1,网=小，|°一2〃|=3,则。力=（）

A.-2B.-1C.1D.2

C由题设，|a—2臼=3,得同2-4«山+41bl2=%代入同=[,|例=小，有4a仍=4,故

ab=\,故选C.

命题点2平面向量的夹角

M例园(2022・新高考H卷)已知向量。=(3,4),b=(l,0),c=a+tb,若(a,c)=(b,

c〉，则，=()

A.-6B.-5C.5D.6

9+3/+163+f

Cc=(3+f,4),cos(a,c〉=cos(b.c},即丁丁二诃解得/C.

命题点3平面向量的垂直

、例图（2022•海南海口二嗔）已知向量a,b的夹角为45°,\a\=^2，旦ab=2,若

（入。+力）_LZ>,则4=.

答案一2

解析因为。6=同I"CDS450=2得IN=2,又因为（zU+b）±h,

所以（/U+Z>）•方=痴仍+/=22+4=0,所以2=-2.

思维升华（I）求解平面向量模的方法

①若。=（x,y）,利用公式.

②利用|。|=而.

（2）求平面向量的夹角的方法

①定义法：cos6=编，6的取值危围为[0,n].

②坐标法：若。=（片，y\）,b=（X2,yi）,

raiIQ_______内处+纳2

则COS6—/s,f=j5,5.

W+yT・#+族

③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中.

对点强化1（1）（2022唐山模拟）已知白，C2是两个单位向量,且⑶+阅=小，则H-ed

答案1

解析法一由0+匐=小,两边平方，得e；+2eI•e?+e：e\,e?是单位向量，所

以2ei,«2=1,

所以期一e21=e；-26•戊+£=1,所以同一e^—\.

法二如图，设花=ei,AD=e2,又0，e?是单位向量，所以|恭

\=\AD|=1,以A8,A。为邻边作平行四边形A8CZ）,连接AC,BD,所

以启=ei+e2,DB=e\~e2;因为|约+62|=小，即|危|=小,所以乙48。=120°,则

ZDAB=60°,所以|加|=1,即期一匐=1.

(2)(2022•河北邯郸二模)若向量”，。满足同=2，向=2小，且。力=3,则向量力与〃

一。夹角的余弦值为()

近

,2¥。.喑D.嚼

D因为I"=2小,且ab=3,

所以小(〃-a)=〃一儿i=(2小产-3=9,

因为也一“|='(b—a)?=y]b2-\-(r—2ba=^/l2+4—6=A/T6,

所以向童b与b一夹角的余弦值为端号=2摄①=嚼•

(3)(2022•河南安阳模拟)已知向量。=(一26，4),5=(1,cos?,其中，£(0,八)，

若a_L方，则sin°=.

答案1

解析因为a_Lb,所以。6=0,

QQ历Q口

即-2位Xl+4cos-=0=>cos—=2，因为。£(0,n),所以亏£(0,—),

因此=?-=>0=,,所以sin6=1.

考点二平面向量数量积的综合运算

，例副⑴在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DELAB于点

E.DF//AB且交AC于点F,则|2匠+而|的值为：(DE+DF)DA的最小值

为.

答案।9

解析设8E=x,x£(0,0，

:△ABC为边长为1的等边三角形，DE工AB,AZBDE=30°rBD=2x,DE=y[3xf

DC=1~2x,

'：DF//AB,.•.△OFC为边长为l-2r的等边三角形，DELDF,

.•・(2诙+赤)2=4病+4砥•DF+/5F2=4X2+4X1-2V)XCOS0°+(]一*=[,

：.\2BE+5?|=i,

\'(DE+DF)DA=(DE+DF)\DE+函)=DE1+DF・EA=(5x)2+(l-

=5G-K))+20，

ZV)X(1-X)=5A2-3X+1

所以当片得时，(DE4-DF)-DA的最小值为器

⑵（2022•河南安阳模拟）已知A”是为△A8C斜边8c上的高，AH=2y[2,点M在线段

AH上，满足（麻+MC）AH=8^2,则而•MC=（）

A.-4B.-2

C.2D.4

A因为A”是RtZiA8c斜边BC上的高，AH=2y/2

所以AH•HB=0,AH•HC=0,\ffc\,\HB\=|后|=也

因为（麻+MC）AH=872,

所以（丽+讪+而+A7C\AH=8啦,

所以2加•AH+HB*AH+HCAH=8小,

所以-AH=41，所以|A77Y|•\AH\=4巾,所以|A京|-2,

所以赢・MC=（MH+俞）\MH+HC）

2

=曲+而/・HC+汤・MH+HC・HB=\MII\+|而|•\HB\COSn

=22+8XA.

（3）（2022•新疆克拉玛依三模）设a,8是两个非零向量，赢=a,[人

CD=b,过通的起点A和终点8,分别作诙所在直线的垂线，垂/7

足分别为4,&,得到4%,则4%叫做向量。在向量力上的投影孑I

向量.如下图，已知扇形AOB的半径为1,以O为坐标原点建立平面直角坐标系，OA=

（1,o），/=&坐）,贝！弧A3的中点C的坐标为；向量B在油上的投影

向量为.

答案惇9（邛，T）

解析由巴知，OA=（1.0）,OH本）,

~_1

“,ff、6A♦6B21

所以cos〈OA,03〉=---------=TT7T=5,

\SA\\OB\1X12

所以,因为点C为弧AB的中点，所以N40C=不，

所以中点。的坐标为

fn近

lx=cos-=2

V=sin6=2

所以C的坐标为停0,CO=(一坐一目，0B=色，坐),

___近_且

向量昂在加上的投影为,:阳=—\■——=一平，

同I12

3

因为励=g,由，所以向量由在初上的投影向量为(一小,-\

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思维升华向量数量积综合应用的方法和思想

(1)坐标法.

把几何图彩放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相

应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

(2)基向量法.

适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来

进行求解.

(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题

思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.

对点强化2(1)(2023•全国高三专题练习)ZkABC为等边三角形,且边长为2,若|防|=1,

CE=EA,则病・BE的最小值为.

答案一3一小

解析因为△ABC是边长为2的等边三角形，且走=EA,则E为AC的中点，故

BELAC,

以点B为坐标原点，BE、EA分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标

系，

K'lA（yf3.1）、氏馈，0）、B（0.0）,谩点Z）（cos0,sin8）.RE=（市.0）.

AD=（cos6—小，sinl）,

所以，AI）•BE=小（cos。一小）2—3-3,当且仅当cos6=—1时，等号成

立，因此，AD•BE的最小值为一小-3.

（2）（2022.黑龙江佳木斯期中）已知△ABC的外接圆圆心为0,且历=AB+AC,则向

量丽在向量衣上的投影向量为（）

A.|BC1-

B.5BC

D.一；BC

C.BC

B如图示:

因为△ABC的外接圆圆心为0,AO=M+AC,

则四边形08人。为平行四边形，又08=0。，

所以OZMC为菱形，OA1BC.

故向量就在向量正上的投影向量为］BC.故选B.

（3）（2022•天津市西青区模拟）如图，在菱形ABCO中，AB=2,

/班。=60°,E,尸分别为8C,C。上的点，CE=2EB,CF=

2FD,若线段即上存在一点M,使得病=!赢+4病，则

\AM|=,若点N为线段8。上一个动点，则俞•疝的取值范围为

答案I_37_!_

一历3

解析因为A8CD为菱形，所以ACLBO,以8。、AC所在直线,分别为x、y轴建立平

面直角坐标系，

因为48=2,ZBAD=6（T,所以03=00=1,OC=OA=y[3

则A（0,一小）,8（1,0）,0（-1,0）,设M（m,乎），N（n,0）

5

病

病

前

病

小

小

为

因-

fz-

.\6

油+：Xb,

所以（〃i,挚）=1（1,、公）+1（-1,小）

解得"1=（,所以以法|=、^+竽=g

r-1小、

又MN=（〃­?,—）

_rI]37

所以AN•MN=〃（〃一§）—1=（〃-1A一石,因为一所以当〃=d时,

AN•MN有最小值一盆,

当n=—1时，AN•MN有最大值;，

所以病«MN的取值范围为一亲，|.

考点三平面向量的实际应用

命题点1平面几何中的句量方法

▲例❺如图，在四边形A8CO中，Z23=60°,A〃=3,。。=6,且而

3

流

病

•油-

・--

X2则实数A的值为：若M,N是线段

BC上的动点，且|疏U=l,则£51-ON的最小值为

答案iT

解析因为A。=XBC,所以AO〃8C,则NBAO=I20°,

3

-

所以AO-AB=\AD|•|•cos120°=2解得|A/)|=1.

因为病，比同向，且8C=6,所以n飞BC,即4d•

3

在四边形A8CO中，作其0_1_8。于点0,则8O=ABcos60°=弓，AO=ABsin600

3小

2

以O为坐标原点，以8c和A0所在直线分别为x,y轴建立平面

直角坐标系.

如图，设例（凡0）,不妨设点N在点用右侧,

37

--

22

又4匕2），所以血=（。一1,一平），加=Q，-2），

所以/希•DN=/—〃+,'+号•

所以当时，曲•DN取得最小值号.

命题点2向量在物理中的应用

，例肠若平面上的三个力人，尸2,尸3作用于一点，且处于平衡状态，已知|八|=1N,

IB尸玛也N,Fi与3的夹角为45°,求：

（1）尸3的大小;

（2）尸3与人夹角的大小.

解（1）,・,三个力平衡，

.,.FI+F2+F3=0,

••・|正3|=囱+四

=3入F+2/「B+IBF=

、/1?+2XIX吟区。,45。十晤可

川4+2小=1+4.

（2）法一设吊与尸1的夹角为仇

则I尸2|=#入2+尸32+2历||五3|COSe,

即用二

A/12+（1+^3）2+2XlX（1+^3）cos6,

解得cos8=一日，

5n

・；8£[0,nJ,0=—.

法二设尸3与人的夹角为0,

山余徐定理得

cos（n-0）

12+（1+V3）2—（逅乎J亚

2X1X（1+小）-2'

八八5n

V"[0,n],A6=—.

思维升华用向量方法解决平面几何（物理）问题的步骤

对点强化3（1）（2022・烟台模拟）若0在△ABC所在的平面