25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#25.2.3因式分解法专项练习（人教版，约1450字）##一、核心知识点梳理1.**因式分解法原理**若$A\cdot\(\boldsymbol{B\(=0\)}\)$，则$\boldsymbol{\(\boldsymbol{A\(=0\)}\)}$**或**$\boldsymbol{\(\boldsymbol{B\(=0\)}\)}$。把一元二次方程整理为**左边因式相乘，右边\(=0\)**的形式，转化为两个一元一次方程求解。2.**适用形式**方程能整理成：$\boldsymbol{(x-x_1)(x-x_2)\(=0\)}$常用因式分解方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式。3.**解题步骤**①移项：把所有项移到左边，使方程右边$\(=0\)$；②分解：将左边多项式因式分解；③降次：得到两个一次因式相乘等于0；④转化：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；⑤求解，写出两根。>易错提醒①**必须右边等于0**，不能直接两边同时除以含未知数的式子（会丢根）；②“或”表示两个因式只要一个为0即可，不是同时等于0；③提公因式注意符号；④不要在等式两边直接约去含有未知数的因式。##二、基础过关（选择+填空）1.方程$(x-2)(x+3)\(=0\)$的解是（）A.$\(x=2\)$B.$x=-3$C.$x_1=2,x_2=-3$D.$x_1=-2,x_2=3$**答案：C**2.方程$x^2-3x\(=0\)$因式分解后正确的是（）A.$x(x-3)\(=0\)$B.$x(x+3)\(=0\)$C.$(x-3)^2\(=0\)$D.$x^2=3x$**答案：A**3.$x^2-9\(=0\)$，因式分解得$(x+3)(\underline{\quad})\(=0\)$。**答案：$x-3$**4.方程$x(x-1)\(=0\)$的根：________。**答案：$x_1\(=0\),x_2=1$**5.解方程$2x^2=4x$，不能直接两边除以$2x$，原因：________。**答案：会丢失根$x\(=0\)$**##三、能力提升（解答题，写出完整步骤）6.用因式分解法解方程：$x^2-5x\(=0\)$**解**左边提公因式：$x(x-5)\(=0\)$$x\(=0\)$或$x-5\(=0\)$$\thereforex_1\(=0\),\x_2=5$。7.用因式分解法解方程：$x^2-16\(=0\)$**解**平方差分解：$(x+4)(x-4)\(=0\)$$x+4\(=0\)$或$x-4\(=0\)$$\thereforex_1=-4,\x_2=4$。8.用因式分解法解方程：$x^2-6x+9\(=0\)$**解**完全平方公式：$(x-3)^2\(=0\)$$x-3\(=0\)$$\thereforex_1=x_2=3$。9.易错题判断正误（对√，错×）①$\(x(x+2)=4\)$，直接令$x\(=0\),x+2=4$（×，右边不是0，不能直接分解）②解方程$x^2=2x$，两边同除以$x$，得到$\(x=2\)$（×，丢失$x\(=0\)$）③$(2x-1)(x+3)\(=0\)$，则$2x-1\(=0\)$或$x+3\(=0\)$（√）④$x^2-4x+4\(=0\)$，分解成$(x-2)^2\(=0\)$（√）##四、中考综合训练10.用因式分解法解方程：$3x^2-6x\(=0\)$**解**提公因式：$3x(x-2)\(=0\)$$3x\(=0\)$或$x-2\(=0\)$$\thereforex_1\(=0\),\x_2=2$。11.用因式分解法解方程：$(x-4)^2=25$**解**移项：$(x-4)^2-25\(=0\)$平方差：$(x-4+5)(x-4-5)\(=0\)$$(x+1)(x-9)\(=0\)$$x+1\(=0\)$或$x-9\(=0\)$$\thereforex_1=-1,\x_2=9$。12.解方程：$x^2-7x+12\(=0\)$**解**十字相乘分解：$(x-3)(x-4)\(=0\)$$x-3\(=0\)$或$x-4\(=0\)$$\thereforex_1=3,\x_2=4$。13.解方程：$(2x+1)^2=(x-3)^2$**解**移项：$(2x+1)^2-(x-3)^2\(=0\)$平方差：$[2x+1+(x-3)][2x+1-(x-3)]\(=0\)$$(3x-2)(x+4)\(=0\)$$3x-2\(=0\)$或$x+4\(=0\)$$\thereforex_1=\dfrac23,\x_2=-4$。##五、方法总结因式分解法是**最快**的解法，优先使用；解方程选择顺序：能因式分解优先因式分解，其次直接开平方法；配方法、公式法通用。核心口诀：**移项使右边为0，左边分解成乘积，各因式等于0，一次方程来求解。**高频陷阱：1.右边不为0，强行拆分因式；2.等式两边直接约掉含$x$的代数式，丢失根；3.十字相乘、平方差符号出错；4.混淆“且”和“或”。因式分解法计算题中考常考，和一元二次方程应用题结合紧密。需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？下一节写一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）？人教版（新教材）数学九年级上册25.2.4一元二次方程的根与系数的关系授课教师：.

班

级：

9年级（

）班.

时

间：.

2026/10/20

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十五章一元二次方程123理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能运用该关系不解方程求出两根之和与两根之积.通过求根公式推导和因式分解法验证，经历根与系数关系的探究过程，培养学生观察、归纳、推理的能力.体会数学知识的内在联系，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生的探究兴趣.思考

上节课我们学习了一元二次方程的求根公式，谁能说一说求根公式是什么？它的适用条件是什么？

求根公式直接给出了根与系数的关系，那么除了这种形式，两个根的和、积与系数之间有没有更简洁的关系呢？这就是本节课我们学习的主题——一元二次方程根与系数的关系求根公式使用条件求根公式情境引入

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当堂练习一元二次方程

(x−

x1)(x−

x2)=0(x1，x2为已知数)的两根是什么？若将此方程化为

x2+px+q=0的形式，你能看出

x1，x2与

p，q之间的关系吗？(x−

x1)(x−

x2)=0x2

−

(x1+x2)x+x1·x2=0x2+px+q=0猜想x1+x2=−p，

x1·x2=q情境引入

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当堂练习证明：前提：b2−4ac≥0一元二次方程的根与系数的关系

如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为

x1，x2，那么满足上述关系的前提条件：△=b2−4ac≥0.注意情境引入

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当堂练习韦达（1540−1603）

韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进.

他生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）.

韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”.

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当堂练习2−130一元二次方程x1+x2x1·x2x2−2x−1=02x2−6x=03x2=4不解方程，求出下列方程的两根之和与两根之积：

0

首先判断每个方程的判别式△=b2−4ac≥0.情境引入

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当堂练习利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.(1)x2+7x+6=0;解：这里a=1,b=7,c=6.Δ=b2−4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=–7,x1x2=6.情境引入

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当堂练习利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.(2)2x2−3x−2=0.

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当堂练习

已知方程x2−(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得

4−2(k+1)+3k=0解这方程，得

k=−2由根与系数关系，得2x1

＝−3

k,

即

2x1

＝−6∴x1

＝−3答：方程的另一个根是−3,k的值是−2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系数学语言文字语言一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.使用条件1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；2.方程有实数根，即Δ≥0.重要结论1.若一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则x1+x2=−p，x1x2=q.2.以实数x1，x2为两根的二次项系数为1的一元二次方程是

x2−(x1+x2)x+x1x2=0.情境引入

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当堂练习已知x1、x2是一元二次方程

的两根，则解：首先化为一般式

则：情境引入

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当堂练习已知x1、x2是一元二次方程

的两根，则解：利用根与系数的关系常见代数式求值1.返回[广西中考]已知x1，x2是方程x2－20x－25＝0的两个实数根，则x1＋x2＝(

)A．－25B．－20C．20D．25C返回2.[湖北中考]一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(

)A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3C．x1x2＝4 D．x1x2＝3D返回3.以2和－5为根的一元二次方程可以是(

)A．x2－3x＋10＝0 B．x2＋3x＋10＝0C．x2＋3x－10＝0 D．x2－3x－10＝0C情境引入

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当堂练习

0解：根据题意得α+β=3，αβ=−4，所以原式=

α(α+β)−3α

=3α−3α

=0．

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当堂练习（2026·四川广安·中考真题）已知x1，x2是关于x的一元二次方程

的两个实数根，且

，则k的取值范围是_____．解：由题意，方程的根的判别式

，解得

，由根与系数的关系可得：，，

，代入得：

，移项，系数化为1得：

，综上，k的取值范围是

．情境引入

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当堂练习如果一元二次方程

的两个根互为相反数，那么m=_______.解：设原一元二次方程的两根为

x1，x2，∵两根互为相反数，∴

，该方程中

，

，根据根与系数的关系可得

，因此得

，解得

．当时，Δ=(m+1)²−4m=4>0，方程有两个实数根，∴

．情境引入

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当堂练习设x1，x2是方程x2−2(k−1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.

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当堂练习解：已知

有两个不相等的实根；(1)求k的取值范围;(2)是否存在k，使两根的倒数和等于0？(1)k≠0，且(2)则即k=−1，故不存在.情境引入

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当堂练习已知一元二次方程

的两个根为x1，x2，且x1+

x2

=4

，

，那么这个一元二次方程是_____.解：由题意，根据一元二次方程根与系数的关系可得：

，∵x1+

x2

=4

，x1·

x2

=3

，∴

，∴这个一元二次方程是

．情境引入

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当堂练习已知一元二次方程

的两个根为x1，x2，且x1+

x2

=4

，

，那么这个一元二次方程是_____.以实数x1，x2为两根一元二次方程是

a[x2−(x1+x2)x+x1x2]=0.因此可设一元二次方程为m(x2−4x+3)=0,对比

可知，m=1，∴这个一元二次方程是

．返回4.[教材P16例5变式]不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x2＋4x－2＝0；(2)3x2－2x－6＝0；解：x1＋x2＝－4，x1x2＝－2.返回(3)4x2＋1＝7x;(4)3x2＋5x－2＝2x＋3.已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－1＝0的两个根，且x1＋x2＝4，则b＝(

)A．－1B．1C．－4D．4返回5.C已知α，β分别是方程x2－4x－1＝0的两个根，则代数式α2＋β2的值为(

)A．16B．18C．20D．22返回6.B返回7.[苏州中考]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________．－3返回8.[眉山中考]已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2，那么(x1＋1)(x2＋1)的值为________．－2返回9.若关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是________．返回10.已知x1，x2是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个根，不解方程，求下列各式的值：(1)x12x2＋x1x22；

解：由题意得x1＋x2＝5，x1x2＝－2.(1)x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－2×5＝－10.返回11.[河北中考]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限C返回12.若一矩形的长和宽是方程x2－14x＋48＝0的两根，则该矩形的对角线长为(

)A．10B．12C．14D．16A13.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程(二次项系数