25.1 一元二次方程的概念（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#25.1一元二次方程的概念专项练习（人教版，约1450字）##一、核心知识点梳理1.**一元二次方程定义**只含有**一个未知数**，并且未知数的**最高次数是2**的**整式方程**，叫做一元二次方程。三个必备条件，缺一不可：①整式方程（分母不含未知数，根号内不含未知数）；②只含1个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项系数**不等于0**。2.**一元二次方程一般形式**$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0}$（$\(a,b,c\)$是常数，$\boldsymbol{a≠0}$）-$ax^2$：二次项，$a$是**二次项系数**；-$bx$：一次项，$b$是**一次项系数**；-$c$：常数项（注意：系数包含前面正负号）。>注意：只有化成一般形式，才能准确找各项系数。3.**一元二次方程的根**使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（解）。检验方法：把数值代入方程左右两边，看两边是否相等。>易错提醒①$a≠0$是关键，若$\(a=0\)$，方程变成一次方程；②判断方程类型前，**不要直接看原式，要先化简整理**；③整式方程：$\dfrac1x+x^2=0$不是整式方程，不是一元二次方程；④写系数时，要带上前面的负号，例如$-2x^2+3x-1=0$，二次项系数是$-2$。##二、基础过关（选择+填空）1.下列是一元二次方程的是（）A.$\(\(x+2\)=0\)$B.$x^2-3x=0$C.$x^2+\dfrac1x=1$D.$x^3+x^2=5$**答案：B**2.方程$2x^2-5x-1=0$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.$2,-5,-1$B.$\(2,5,1\)$C.$2,-5,1$D.$-2,-5,-1$**答案：A**3.若方程$(m-2)x^2+3x+1=0$是一元二次方程，则$m$取值范围是____。**答案：$m≠2$**4.已知$\(x=2\)$是方程$x^2+kx-6=0$的根，则$\(k=\)$____。**答案：$-1$**解析：代入$\(x=2\)$，$4+2k-6=0$，解得$\(k=\)-1$5.将方程$(x+1)(x-2)=3$化为一般形式：____。**答案：$x^2-x-5=0$**##三、能力提升（解答题，写出完整步骤）6.判断下列方程是不是一元二次方程，并说明理由。(1)$3x^2=5x-1$(2)$(\(x+2\))^2=x^2-1$(3)$\dfrac1x+x^2=4$**解**(1)整理：$3x^2-5x+1=0$，整式方程，只含一个未知数，最高次数2，二次项系数3≠0，**是一元二次方程**。(2)展开：$x^2+4x+4=x^2-1$，化简得$\(4x+5=0\)$，未知数最高次数为1，**不是一元二次方程**。(3)分母含有未知数，不是整式方程，**不是一元二次方程**。7.把方程$3x(x-2)=2(x+1)$化为一般形式，写出二次项、一次项、常数项。**解**去括号：$3x^2-6\(x=2\)\(x+2\)$移项整理：$3x^2-8x-2=0$二次项：$3x^2$；一次项：$-8x$；常数项：$-2$。答：一般形式$3x^2-8x-2=0$。8.已知方程$(m+1)x^{m^2+1}+2x-3=0$是一元二次方程，求$m$的值。**解**一元二次方程要求未知数次数等于2，且二次项系数≠0：$\begin{cases}m^2+1=2\\m+1≠0\end{cases}$由$m^2+1=2$得$m^2=1$，$\(m=1\)$或$m=-1$。又$m+1≠0$，即$m≠-1$，∴$\(m=1\)$。答：$\(m=1\)$。9.易错题：判断正误（对√，错×）①$ax^2+bx+c=0$是一元二次方程（×，缺少$a≠0$）②方程$x^2=0$是一元二次方程（√）③一元二次方程常数项一定不为0（×，可以为0，如$x^2-2x=0$）④$(x-1)^2=4$整理后最高次数是2，是一元二次方程（√）##四、中考综合训练10.已知$x=-3$是一元二次方程$x^2+ax-3=0$的一个根，求$a$的值。**解**将$x=-3$代入方程：$(-3)^2+a\cdot(-3)-3=0$$9-3a-3=0$$6-3\(a=0\)$，解得$\(a=2\)$。答：$\(a=2\)$。11.根据题意列方程（不求解）：一个矩形，长比宽多2，面积是15，设宽为$x$，列出一元二次方程。**解**宽为$x$，长为$\(x+2\)$。矩形面积=长×宽，$x(\(x+2\))=15$。整理成一般形式：$x^2+2x-15=0$。答：方程为$x^2+2x-15=0$。12.方程$(k-3)x^2+2x=1$，当$k$取何值时，方程是一元二次方程？当$k$取何值时，方程是一元一次方程？**解**整理方程：$(k-3)x^2+2x-1=0$。①一元二次方程：二次项系数不为0，$k-3≠0$，即$\boldsymbol{k≠3}$。②一元一次方程：二次项系数为0，一次项系数不为0，$k-3=0$，$\(k=\)3$，此时方程$2x-1=0$，是一元一次方程。答：$k≠3$为一元二次方程；$\(k=\)3$为一元一次方程。##五、方法总结本节核心：**一元二次方程的3个判定条件**。做题步骤：1.判断类型：先化简整理，看是否整式方程，未知数个数、最高次数，重点检查二次项系数不等于0；2.写一般形式：移项，全部移到左边，右边等于0，注意符号；3.已知根求参数：直接代入方程，解方程求出字母的值。高频陷阱：1.忽略$a≠0$这个隐藏条件，求参数忘记检验；2.没有化简直接判断方程次数，平方展开后$x^2$抵消变成一次方程；3.分式方程带$x^2$，误以为是一元二次方程；4.找系数漏掉负号。本节是一元二次方程整章基础，后面解方程、判别式、根与系数关系都建立在此基础上，填空选择题高频考点，应用题第一步就是列出一元二次方程。（全文约1445字）需要我生成**无答案纯题目版本**打印练习吗？继续写25.2解一元二次方程吗？人教版（新教材）数学九年级上册25.1一元二次方程的概念授课教师：.

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9年级（

）班.

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间：.

2026/10/20

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第二十五章一元二次方程123理解一元二次方程的概念，能准确判断一个方程是否为一元二次方程.

通过观察、比较、归纳一元二次方程的共同特征，培养抽象概括能力和逻辑思维能力.1.下列哪些式子是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x−5<18

×没有未知数×代数式√√×不等式√2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫作方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？只含一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程.情境引入

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当堂练习有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3000cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？100cm50cm3600cm2x解：设切去的正方形的边长为

xcm，则盒底的长为

(100−2x)cm，化简，得

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当堂练习要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场），根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？

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当堂练习以下三个方程有什么共同点？

(1)方程的两边都是整式；(2)

都只含一个未知数；(3)

未知数的最高次数都是

2.一元二次方程

等号两边都是整式，只含有一个未知数

(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.ax2+bx

+c

=0(a≠0).ax2是二次项，a

是二次项系数；bx

是一次项，

b

是一次项系数；

c

是常数项.一元二次方程的一般形式是情境引入

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当堂练习一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的特殊形式：当c=0时，当b=0时，当b=0,c=0时，情境引入

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当堂练习下列方程是一元二次方程吗?(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)√√√√√×××××情境引入

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当堂练习把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x2=5x−1(x+2)(x−1)=64−7x2=03x2−5x＋1＝0x2＋x−8＝03−5111−8−704−7x2＋4＝01.返回下列方程中，是一元二次方程的是(

)A．x2－2＝0 B．x＋2y＝3C．x－＝1 D．x2＋x＝y＋1A返回2.若方程xm－1＋2x－3＝0是一元二次方程，则m的值为(

)A．0B．1C．2D．3D返回3.若关于x的方程(a－1)x2＋4x－3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是________．a≠1情境引入

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当堂练习若关于x的方程是一元二次方程，求m的值.解：是一元二次方程，情境引入

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当堂练习常数项是.一次项系数是，已知关于x的方程(m−2)x2+mx−1=0.⑴当m取什么值时，这个方程是一元一次方程？⑵当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？这时

它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？解：⑴当m−2=0，即m=2时，这个方程是一元一次方程.⑵当m−2≠0,即m≠2时，这个方程是一元二次方程，它的二次项系数是,m−2m−1情境引入

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当堂练习⑶若关于x的方程(m−2)x2+mx−1=0的一个根是2，你能求出m的值吗？

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.例如：对于方程x2+5x+6=0，

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当堂练习⑶若关于x的方程(m−2)x2+mx−1=0的一个根是2，你能求出m的值吗？

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当堂练习如果关于x的一元二次方程

的一个解是

，则代数式

的值为______．解：把

代入方程得

，整理得

，等式两边同时除以3得

，可得

，所以

．情境引入

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当堂练习已知

a是方程x2+

2x−

2=

0

的一个实数根，求2a2

+

4a+

2027的值.解：由题意得

求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解.情境引入

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当堂练习若实数x满足x2−x−1=0，则

______．利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果．解：∵x2−x−1=0，

，∴先化简，再求值：

，其中x为方程

的解．情境引入

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当堂练习解：原式∵x为方程

的解，∴

．∴原式=1．情境引入

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当堂练习已知m是关于x的一元二次方程x2−2026x+1=0的一个根，求代数式的值：

．解：∵m是方程x2−2026x+1=0的一个根，∴

．∴

，

，∵m=0时，方程左边等于1，不等于右边，∴m≠0，把

的两边都除以m得，

．∴

．返回4.一元二次方程3x2－4x＋2＝0的二次项系数是(

)A．2B．3C．4

D．－4B将一元二次方程3x2－2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为(

)A．3，－2 B．3，4C．3，－4 D．3x2，－4x返回5.C将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)9x2＝16;(2)x2－2＝5x；返回6.解：方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.解：方程化为一般形式为x2－5x－2＝0，二次项系数是1，一次项系数是－5，常数项是－2.返回(3)2x(3x＋1)＝17；(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－1.解：方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.解：方程化为一般形式为3x2－9x－4＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－4.返回7.下列各数中，是一元二次方程x2＋3x＋2＝0的根的是(

)A．－2B．0C．2

D．3A返回8.已知－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则下列等式正确的是(

)A．a＋b＋c＝0 B．－a＋b＋c＝0C．a－b＋c＝0 D．－a－b＋c＝0C返回9.【深圳中考】已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，则m＝________．2返回10.【新考法整体思想】已知a是方程2x2－x－1＝0的一个根，则2a2－a＝________．1返回11.[福建中考]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6m2的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为xm，根据题意可列方程(

)A．5x2＝6

B．5(1＋x2)＝6C．x(5－x)＝6

D．5(1＋x)2＝6C返回12.【情境题体育赛事】[教材P2问题2变式]我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段包括团体赛和单打预赛，其中团体赛比赛赛制为单循环赛(每两队之间都赛一场)．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，则可列方程为____________．13.在下列方程中，一元二次方程有(

)①3x2＋7＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③(x＋2)(x－5)＝x2;④3x2－

＝0.A．1个

B．2个

C．3个

D．4个A返回14.【易错题】若关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(

)A．0B．±3C．3D．－3D返回15.【新考向数学文化】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多少？设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x，根据题意，可列方程为(