河北承德市三校2025-2026学年高一下学期3月份月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北承德市三校2025-2026学年高一下学期3月份月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.与角的终边相同的最小正角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，则与角的终边相同的最小正角是.2.若，，则是（）A.第二或第四象限角 B.第三象限角C.第二象限角 D.第三或第四象限角【答案】A【解析】根据三角函数的定义，由可得的终边在第三象限、第四象限或轴的负半轴，由可得的终边在第一象限或第三象限，所以若，，则是第三象限角，即，所以，当，即为偶数时，，此时是第二象限角，当，即为奇数时，，此时是第四象限角，综上是第二或第四象限角.3.下列说法正确的是（）A.若，方向相反，则与为相反向量B.模相等的两个平行向量相等C.零向量与任意向量平行D.共线向量是在同一条直线上的向量【答案】C【解析】选项A：若，方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误；选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误；选项C：由零向量的定义可知零向量与任意向量平行，故C正确；选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误.4.已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】由题意得，解得，所以，则为了得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.5.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，因为，等式两边平方得，所以，故，所以，所以，故，因此.6.函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为，所以函数的最小正周期为，所以，所以.由函数的图象关于点对称，得，所以.所以正实数的最小值为.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由.8.函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.取值范围为【答案】D【解析】A，当时，，则在上单调递减，，当时，，则在上单调递增，，即，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，，，，利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象如下，因为方程有四个不等的实根，所以与的图象有四个交点，则，错误；B，结合选项A中分析可得，所以，则，错误；C，由正弦函数的性质结合图象可知与关于对称，所以，错误；D，当时，，令，得，所以，，由图知同增同减，所以，正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】，故A正确；，故B正确；，故C正确，由，故D错误．10.已知函数，则（）A.的值域为B.的一个对称中心为C.在区间上单调递增D.曲线的一条对称轴为【答案】AC【解析】对于A，，可知值域为，故A正确；对于B，因为，故B错误；对于C，由得，取得，而，易知此时单调递增，故C正确；对于D，由，所以不为对称轴，故D错误.11.图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：m）表示在时间t（单位：s）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面70m，最低点Q距离地平面10m，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设，则（）A.B.C.入口处M距离地平面55mD.一个周期内过山车距离地平面的高度不大于25m的时长是4s【答案】BCD【解析】对于A，设的最小正周期为，则，解得，由题意得，得，则，A错误．对于B，由上面解答过程知，令，可得，即，又，解得，B正确．对于C，因为，所以，C正确．对于D，由，得，所以，解得，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的劣弧（弧长小于半圆的弧）BE的长为，，则矩形在圆外部分的面积为________．【答案】【解析】依题意，所以，又，,所以，所以，所以矩形在圆外部分的面积.13.已知为第一象限角，，，则________．【答案】【解析】为第一象限角，，，又，，则，.14.已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰有3个零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】已知，令，得，即，，在内恰有3个零点则显然有，第四个零点不在区间内.所以第4个零点需满足：.递增区间为，令，则，得递增区间：，，显然不为零,当时,有，.当时，有，，所以易得当时,不成立.综上所述：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）求值：（2）已知角终边上的一点，求的值．解：（1）；（2）由题意得，，则.16.已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由，得，即，而，所以，则.（2）由，得，而，则，由（1）知，，，所以.17.随着机动车数量的增加，对停车场所的需求越来越大．如图，是一块边长为100米的正方形地皮，其中是一座半径为60米的扇形小山，P是弧上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建一个边落在和上的长方形停车场．（1）设，试写出停车场的面积与的函数关系式；（2）求长方形停车场面积的最大值和最小值（数据精确到个位）．（注：）解：（1）由题可得，，且，所以停车场的面积；（2）由（1）长方形停车场面积，，令，则，所以，所以，因为，所以，又函数为上的减函数，所以当时有，当时有.18.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值；（3）将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和．解：（1），令，解得，所以的单调递增区间为；（2）令，因为，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，因为，，所以，所以当时，取得最大值，即，则，则在区间上的最大值为，最小值为.（3）函数的图象向左平移个单位得，，纵坐标伸长为原来的2倍得，所以，令，即，所以或，即或，又，所以只能取，所以或或或，即函数在上的零点为，所以函数在上所有零点之和为.19.已知函数，（）．（1）当时，求函数的对称中心；（2）若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围．解：（1）当时，，令，得，故函数的对称中心为；（2）因为为偶函数，所以，因为，所以，则，则，若，则，则，因