浙江杭州北斗联盟2025-2026学年高一第二学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江杭州北斗联盟2025-2026学年高一第二学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由集合交集的定义可得.2.如果空间两条直线与没有公共点，那么与（）A.共面 B.平行C.是异面直线 D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D【解析】因为两条直线异面或平行时，都没有公共点，所以D选项正确.3.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知函数的，函数的最小正周期为．4.已知平面，，直线，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，由，则，故“”是“”的充分条件；若，平面，可能相交也可能平行，故“”不是“”的必要条件；综上可得：“”是“”的充分不必要条件.5.已知平面向量，，若，则（）A. B.2 C. D.5【答案】A【解析】由题意得：故.6.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，得，则，不符合题意；当时，，则，解得或，则或，综上，不等式的解集为.7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知余弦距离为，，的余弦距离为，，解得，已知，，则，，．8.已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为是R上的偶函数，故；由，令得，故的周期；当时，，是增函数，故在上单调递增.又因为，即.，即,由，得，所以

，且，即.即,且在上单调递增，所以,即.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数，则下列结论正确的是（）A.的虚部为 B.的共轭复数为C. D.【答案】BC【解析】选项：的虚部为，不是，选项A错误；选项：的共轭复数，选项B正确；选项：，选项C正确；选项：，选项D错误.10.已知函数，则（）A.B.的单调递增区间为C.的值域为D.是图象的一条对称轴【答案】BCD【解析】对于A：，，显然，故A错误；对于B：令，所以，所以的单调递增区间为，故B正确；对于C：因为，则，，所以的值域为，故C正确；对于D：令，所以，当时，，所以是图象的一条对称轴，故D正确.11.已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（）A.该四棱台的体积为14B.若为的中点，则平面C.该四棱台的侧面积为D.该四棱台的外接球表面积为【答案】ABD【解析】设棱台的上下底面中心分别为，对于A选项，由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A对；对于B选项，当点为的中点时，易知为的中点，所以，因为平面，平面，故平面，B对；对于C选项，侧面的斜高为，所以此四棱台的侧面积为，所以C错；对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为，因为正方形的边长为，正方形的边长为，所以,,设点，则，由可得，解得，故，因此，该四棱台的外接球表面积为，D对.故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的定义域是______________．【答案】【解析】依题意有，解得．13.在中，角所对的边为.若，，则外接圆的面积为____________.【答案】【解析】设外接圆的半径为，由正弦定理可得，故，则外接圆的面积.14.已知函数，向量，，是平面内三个不同的单位向量，其中向量，相互垂直，且满足，则的取值范围是______________.【答案】【解析】单位向量，相互垂直，所以，函数，，由，得，则且，所以且，单位向量，相互垂直，取，，设，由得，，，由得，，，所以，，，，所以的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知中的内角所对的边为，.（1）求角；（2）若，，求的周长.解：（1）由正弦定理得：，，，（2）由余弦定理，得：，又，，故的周长为.16.已知函数，，满足（1）求的值；（2）若，且，求.解：（1），或，或，，.（2）由题意得，由，得，，，，或，，或，故，或17.如图，在菱形中，已知，，点，分别是，的中点，点为的四等分点（），设，.（1）用向量，表示，；（2）判断，是否垂直？用向量的方法证明你的结论；（3）点为线段上的一个点，求的取值范围.解：（1）根据向量三角形法则：，.（2），，已知，，，，所以，与不垂直，故与不垂直.（3）设，，，，，的最大值为6，最小值为2，.18.如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上.（1）若为中点，求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论.解：（1）连接交于点，连接，因为是正方形，所以为中点，所以在中，为中位线，，又平面，平面，平面；（2）取的中点，因为为中点，所以在中，为中位线，所以，，所以为异面直线与所成角（或其补角），在中，，，，由余弦定理可得，又，所以为锐角，所以异面直线与所成角的余弦值为；（3）当是棱中点时，平面：证明如下：取中点，连接，，则，平面，平面，平面，在中，为中点，为中点，，平面，平面，所以平面；，所以平面平面；平面，平面.19.已知函数，.（1）求证：；（2）设函数，其中.（ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；（ⅱ）若函数在上有两个零点，，且，求实数的值.解：（1）由平方差公式可得，，，因此代入得，所以；（2）（ⅰ）当时，，令，则，因为函数为增函数，为减函数，所以函数为增函数，当时，，当时，，所以若，则，二次函数开口向上，对称轴为，所以当时，，，所以当时，取最小值，最小值为，当时，取最大值，最大值为，所以函数在区间上的最大值为，最小值；（ⅱ）方法一：函数在上有两个零点，可转化为方程在有两个不等根，设，所以，即，解出，设为方程在的两根，则，因为，，，又，得到①，，两边同乘得，，，代入整理得，整理得②，结合①②得，求出，满足题意.方法