浙江丽水发展共同体2025-2026学年高二下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江丽水发展共同体2025-2026学年高二下学期4月期中联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（）A.抛掷硬币的次数 B.出现正面的次数C.出现正面或反面的次数 D.出现正面和反面的次数之和【答案】B【解析】抛掷一枚均匀硬币两次，则抛掷硬币的次数为，不是随机变量，A不满足；出现正面的次数是随机的，可作为随机变量，B满足；出现正面或反面的次数，标准不明确，不是随机变量，C不满足；出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，不是随机变量，D不满足.2.某校高一新生中的四名同学打算参加“文学社”、“街舞社”、“美术社”三个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（）A.18 B.36 C.48 D.72【答案】B【解析】依题意，可将四名同学先按照分组，再对三个社团进行分配即可，故不同的参加方法的种数为.3.的展开式中的系数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的展开式中的系数是故选：B.4.已知曲线在点处的切线与直线平行，则a的值为（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】，因为在点处的切线与直线平行，所以，解得.5.设{}是首项为，公差为﹣2的等差数列，为前项和，若S1，S2，S4成等比数列，则＝（）A.2 B.﹣2 C.1 D.﹣1【答案】D【解析】由等差数列的前项和公式得,所以,,,因为S1，S2，S4成等比数列,所以,即,解得.故选D.6.甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确；乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确；则有，故C不正确；则，故D正确；故选：D.7.已知，，是不相等的实数，且，随机变量的分布列为则下列说法正确的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】因为（当且仅当时取等号）因为故选：C.8.设a，，函数，若函数恰有3个零点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设，恰有3个零点当时，，是一次函数若，，该函数有无数个零点，与题目要求不符；若，，该函数无零点；若，当时，该函数存在一个零点，当，该函数没有零点，所以当时，至多有一个零点，要使得函数有三个零点，则当时，函数应至少有两个零点，当时，，，若，则在上，在上有最小值；此时在区间的图象大致为：若，则函数在上没有零点；若，则函数在上只有一个零点，所以当时，在上至多只有一个零点，不满足题意，若，则在上，，在上，，此时在区间的图象大致为：故在上有最小值，为保证有两个零点，，即，且，即，所以，当时，，，有两个零点，那么，当时，则必然存在一个零点，即满足，因，所以，因此，综上所述，，.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知数列满足，则下列结论正确的有（）A.数列是等差数列 B.数列是等比数列C.的通项公式为 D.数列是递增数列【答案】AC【解析】由，得，则，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误；则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误.10.下列命题中，正确的是（）A.已知随机变量的分布列为，则B.若随机变量且，则C.在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则D.用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则【答案】ABD【解析】对于A选项，由分布列的性质可知，解得，A对；对于B选项，若随机变量且，则，B对；对于C选项，在含有件次品的件产品中，任取件，表示取到的次品数，则，C错；对于D选项，由题意可知，由二项分布的期望和方差公式可得，，解得，，D对.11.已知函数在处取得极值，的导函数为，则（）A.B.C.当时，D.时，【答案】BCD【解析】对于A选项，,，,所以选项A错误；对于B选项,,，，,所以选项B正确；对于C选项,，令，得或，在上单调递减，当时，,,所以，，所以，选项C正确；对于D选项,当且时，由于在上单调递减，在上单调递增，处取得极小值，处取得极大值，由于，，因为,由于,所以，,所以，即,所以，,所以，在上，所以，在上，，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的导函数为，且，则________．【答案】【解析】已知函数，求导可得，代入，可得，即.13.已知数列的前n项和为，且，则________．【答案】75【解析】当为奇数时，为奇数，则，故数列的奇数项均为；当为偶数时，为偶数，则，即，则数列的偶数项，是以为首项，公差为1的等差数列，所以.14.袋中装有大小相同的五个小球，其编号分别为1，2，3，4，5．每次从袋中随机摸出一个小球，记下编号后放回袋中，搅拌均匀再进行摸取，设第次摸取小球的编号为，则在中：圆的个数的方差为________．【答案】##【解析】若表示圆，则，则符合的情况有：，，，，，则，又，所以.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.已知为数列的前n项和，，.（1）求数列的通项公式：（2）若，为数列的前n项和.求，并证明：.（1）解：当时,，,则,当时，，则,两式相减得：即即∵，∴,∴数列是2为首项，公差为2的等差数列，∴.（2）证明：由（1）得，，，∵，∴，∴又∵，∴随着n的增大而减少，从而随着n的增大面增大，∴，综上所述，.16.已知函数．（1）若，求函数的单调区间和极值；（2）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．解：（1）若，则．则，令，得或；令，得或；令，得，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时,取得极大值，当时，取得极小值．（2）因为对所有，有成立，即对所有，，因为，所以，有设，其中，则，因为，所以．当，即时，．当，即时，．因此在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故a的取值范围为17.如图在三棱锥中，平面平面，，，点、分别为、的中点，为线段上的动点．（1）求证：；（2）若平面，求直线与平面所成角的正切值．（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，故.（2）解：以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、、，则，设，其中，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，可得，因为平面，则，所以，解得，故，故可取平面的一个法向量为，又因为，则，设直线与平面所成角为，则，，故，因此直线与平面所成角的正切值为.18.甲、乙、丙三个人组团参加某闯关游戏，规定闯关时每次只能派一人上场，且每人最多只能上场一次，若前一个人在规定时间内不能完成闯关，则再派下一个人继续闯关，直至有人闯关成功或三人均闯关失败则游戏结束．现已知甲、乙、丙三人各自在规定时间内能完成闯关的概率分别为，且，假定各人能否完成任务的事件相互独立．（1）若，求这三人闯关成功概率，并回答闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序是否有关？（2）设游戏结束时所需要派出人员数目为，求的分布列和期望的最小值．解：（1）因为无论以怎样的顺序派出人员，闯关不能成功的概率都是，所以闯关成功的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于；（2）设依次派出的三个人各自完成任务的概率分别是，其中是对于的任意排列，随机变量的分布为123；根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值．即下面证明：．（*）当且时，，当或时，因为，所以综上：成立．19.已知椭圆经过点，右焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于不同的、两点，直线、的斜率之积为．（ⅰ）求坐标原点到直线的距离的取值范围；（ⅱ）设的中点为，点满足，过作轴，过作轴，直线与直线交于点，求的最小值．解：（1）由题意可得，又，解得，故椭圆的标准方程为.