河南省南阳市2026届高三下学期一模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市2026届高三下学期一模考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，所以.2.样本数据151，177，209，210，218，223，252，281的75%分位数是（）A.223 B.237 C.237.5 D.252【答案】C【解析】样本数据从小到大排列，样本容量，，6为整数，因此75%分位数为第6项和第7项的平均值，故75%分位数为3.已知函数的周期为，值域为，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】，所以函数的周期不是，A，B错误；，所以函数的周期是，，所以，所以的值域为，C正确；D错误.4.已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设向量，则，，，联立解得，或，，所以或.当时，，当时，，，所以向量在向量方向上的投影向量为.5.今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（）A.一 B.二 C.三 D.五【答案】A【解析】因为所以则的余数为，又因为今天是星期四，所以天后是星期，即星期一.6.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】B【解析】由题可得，又，所以.即第二次的“晷影长”是“表高”的.7.在等差数列中，，当取得最小值时，（）A.5 B.6 C.2025 D.2026【答案】A【解析】设等差数列的公差为，则，，.所以，所以..当取得最小值时，，此时.8.已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（）A.4 B.5 C. D.【答案】D【解析】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点，因此有，所以椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，因此该圆的方程为，即，又两椭圆的交点与和的四个焦点在同一个圆上，所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上，由，代入椭圆：中，得化简可得：，解得：，又，故.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】设方程的复数根为（，），则，即，则，解得或，所以或，又，，且，所以方程的复数根的辐角主值是，.10.已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，若为等边三角形，则（）A.直线的斜率为 B.C.的周长为12 D.，，三点共线【答案】BCD【解析】对于A项，抛物线的焦点为，准线为，设，，则由抛物线的定义得到，因为为等边三角形，则，即，即化简得到，解得或（舍去），所以，所以直线的斜率为，故A错误；对于B，根据对称性，取直线的斜率为，则直线方程为，联立方程，得到，解得（点）或（点）由抛物线定义，，故B正确；对于C项，由抛物线定义，所以等边的周长为，故C正确；对于D项，根据对称性，取，则，因为，，所以且过原点O，故，，三点共线，同理可得当时，，三点也共线，故D正确.11.在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.周长取值范围为D.若是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为【答案】ABD【解析】由题意得，，则由正弦定理得，因为，所以，则，则，故A正确；因为，所以，则，因为，所以，故B正确；由，即，得，所以，因为为锐角三角形，所以，得，则，因为，所以，则，故，故周长取值范围为，故C错误；设的外接圆半径为，，则，则，故和面积之差为，因为，所以，则，故当时，；当时，当时，故和面积之差的取值范围为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______．【答案】【解析】对函数，令，则，得.所以.函数的定义域为，.，所以.所以函数的图象在处的切线方程为.因为该切线过点，所以，解得.13.采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______．【答案】【解析】设事件为“包含6个次品”，为“包含2个次品”，为“采购员拒绝购买”，则，则，，故故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是.14.如图为四棱锥的平面展开图，其中为平行四边形，是边长为1的等边三角形，为的中点，，则四棱锥的外接球表面积为______．【答案】【解析】是边长为1的等边三角形，故侧棱，，底边；是中点，，是平行四边形，故底边，，，.可知底面为等腰梯形，因为为等边三角形，且为平行四边形，可得：，在底面中连接，则，即，，在底面以分别为轴，过作平面的垂线为轴，如图：可得：，，，，因为，则底面外接圆，也即是的外接圆，即的中点即为底面外接圆圆心，坐标为，设，由、、，可得，解得，即0由四棱锥外接球的性质，外接球的球心在过​垂直于底面的直线上，故设球心，由得：

，解得​，因此外接球半径平方：

，外接球表面积：

.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：是否满意性别满意不满意合计男业主8020100女业主6040100合计14060200（1）依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？（2）从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值．附：．0.050.010.0053.8416.6357.879解：（1）假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异．因为，依据的独立性检验，所以假设不成立，即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异．（2）由题意，，，,,则，．16.已知数列的前项和为，且成等差数列，数列满足．（1）求数列，的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题，，成等差数列，所以，①当时，，②①②得：，即，所以，当时，，解得，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，又满足上式，因此，从而．综上：，．（2）由（1）得，，，从而．由于，为正整数，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．综上只有当，时满足条件，因此存在，使得原等式成立．17.已知三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，且，=，，分别为棱，的中点．（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角的正弦值．（1）证明：取线段的中点为，连接，，因为，所以，又因为为正三角形，所以，又，所以平面，故有．方法一：设，，，则，因为，所以，所以，所以，所以①同理由，可得②由①-②得，所以，又，所以，即．方法二：作平面于，易得，又，，所以平面，所以，同理，即为的垂心，故得，从而得平面，故．（2）解：方法一：作平面于，连接，作垂直，建立如图所示空间直角坐标系．则，，，，，，故有，，记平面的法向量，则，即，取，解得，取平面的法向量，不妨设平面与的夹角为，则，从而正弦值为，即平面与夹角的正弦值为．方法二：取中点，连接交于，可知为中点，连接，，易知，，过作的平行线，则，，因为为平面与平面的交线，故为平面与平面所成二面角的平面角，由平面几何知识易得，故，又为等腰三角形，故在中，，又在中，，在中，，故，于是在中由余弦定理得：，从而，即平面与夹角的正弦值为．18.已知函数，其中，且．（1）当时，讨论的零点个数；（2）若恒成立，求的取值范围．解：（1）函数（，）等价于，两端同取自然对数得，即，令，则原题转化为的解的个数，由于，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，则在处取得最大值，最大值为，又当时，；当时，，函数图象如图所示，由图知，当时，，解得，此时有1个零点；当时，，与有2个交点，此时2个零点；当时，，与有2个交点，此时2个零点；综上，当时，有1个零点；当或时，有2个零点．（2）由题知恒成立，即恒成立．当时，若，则，显然不成立，故时不符合题意；当时，由，可得，因为曲线与关于直线对称，所以，令，则，令，得，又因为单调递增，所以当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以时，取得极小值，也是最小值，所以的最小值为，其中，由，得，即，得到，所以．综上所述，实数的取值范围是．19.用圆规画一个圆，然后在圆外标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出直线与折痕所在直线的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，…进行折叠并得到标记点，，…，设圆的半径为4，点到圆心的距离为6，以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，所有的点，，，…形成的轨迹记为曲线．（1）求曲线的轨迹方程；（2）设为曲线上第一象限内的一点，记的重心为，内心为．①若，求点的坐标；②连接交曲线于第四象限一点，设的内心为，求四边形的面积的取值范围．解：（1）把圆周上的点折叠到点，折痕所在直线是的垂直平分线，∴，，若不断在圆周上取新的点，，…，进行折叠并得到标记点，，…，总有，成立，符合双曲线定义，故点，，，…形成的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线，故，由，得，∴，，即曲线的标准方程为：．（2）方法一：①设点（，），则的重心的坐标为，由题知，即内心的纵坐标为，也即内切圆半径为，于是由，得，而，，即，解得，从而有，解得，所以点的坐标为．②设内切圆与轴的切点为，其横坐标为．根据双曲线定义和内切圆性质：，，联立解得：，，所以圆心的横坐标为：，同理的内切圆与轴的切点横坐标也为2，连接和，则和均为角平分线，设直线倾斜角为，通过几何关系得：，由题，均在