2026-2027学年重庆市合川中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年重庆市合川中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l经过点A(0,1)，B(2,9)，则直线l的斜率为(

)A.−4 B.4 C.14 D.2.在平行六面体ABCD−A1B1C1A.A1D B.C1D C.3.在空间直角坐标系O−xyz中，A(1,−2,6)与B(a,b,c)关于x轴对称，则(

)A.a=−1 B.b=−2 C.c=−6 D.c=64.在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是A.−12AB−12AC+A5.已知点M(1,1)和N(4,2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为(

)A.(1,0)或(6,0) B.(−1,0)或(6,0) C.(2,0)或(3,0) D.(−2,0)或(−3,0)6.在空间直角坐标系O−xyz中，A(0,1,1)，B(2,2,2)，C(3,0,1)，D(m,2,2m)，E(4,3,5)，且DE//平面ABC，则m=(

)A.−2 B.2 C.−12 7.设点H(0,4)，若在直线l1：y=3x+4与直线l2：y=mx+4上分别存在点M，N，使得△HMNA.0 B.±3 C.0或3 D.8.空间直线l经过点A(3,0,0)，且直线l的方向向量为s=(2,2,1)，则点P(1,2,1)到直线l的距离为(

)A.553 B.453二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在平面直角坐标系Oxy中，直线li的位置如图所示，记li的斜率和倾斜角分别为ki和θi，其中i=1，2，3，4，则A.k2>k1

B.k4>10.现有如下记载：刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形ADFE为等腰梯形，EF//AD，AB⊥平面ADFE,AD=8,AB=EF=4,AE=25，点P在线段AD上，则(

)A.AB⊥EP

B.存在实数λ，使得FP=λEB

C.向量EF在向量AD上的投影向量为1211.定义集合Γ是满足下列性质的所有空间向量构成的集合：若∀a，b∈Γ，∀c，∃λ，μ，k∈R，且λ2+μ2+k2≠0，λa+μb+kcA.当AD∈Γ时，AA1∉Γ B.当CA1∈Γ时，BC∈Γ

C.当BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若平面α的一个法向量为u=(1,3,2)，平面β的一个法向量为v=(λ,−6,λ−2)，若α//β，则λ=

．13.在平面直角坐标系xOy中，A(−2,1)、B(1,4)、C(0,−3)，若P是△ABC的BC边上的动点，则直线AP的斜率k的取值范围为

．14.在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M为CD1的中点，N为底面四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知空间向量a=(−2,−2,1)，b=(4,2,z)．

(1)若a⊥(a−b)，求z的值；

(2)若z=−316.(本小题15分)

如图在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，C1D1的中点．

(1)证明：A17.(本小题15分)

如图，圆锥PO的底面半径为6，高为6，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，且∠BOC=3∠BOD=π2，H为PA的中点，点M为△PBC的重心.以O为坐标原点，OC、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

(1)求点M的坐标．

(2)证明：△HOM为直角三角形．

(3)求点D到平面PBC18.(本小题17分)

已知四边形ABCD和ABEF均是边长为3的正方形，且平面ABCD⊥平面ABEF，点P，Q分别在线段BD，AE上，且BP=AQ．

(1)证明：AC⊥平面BDE．

(2)当PQ取得最小值时，求平面APQ与平面BDE夹角的余弦值．19.(本小题17分)

如图，O为坐标原点，M，N均为函数y=2x的图象在第一象限的点，P，Q均为函数y=4x的图象在第一象限的点.已知O，M，N三点共线，且直线MP与直线NQ均与x轴平行．

(1)若m=(1,4)是直线OM的一个方向向量，求直线OM的斜率．

(2)证明：O，P，Q三点共线

(3)已知直线MQ的倾斜角为π2．

(i)求四边形MPQN的面积．

(ii)将三角形MQN沿着直线MQ进行翻折，使得点N到达点E的位置，且平面MQE⊥平面PMQ，连接OE.试问在线段OQ上是否存在点F，使得直线EF与平面OME所成角的正弦值为2391.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】ABD

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】−2

13.【答案】[−2,1]

14.【答案】1315.【答案】解：(1)∵a=(−2,−2,1)，b=(4,2,z)，∴a−b=(−6,−4,1−z)．

∵a⊥(a−b)，∴a⋅(a−b)=0，

即(−2)×(−6)+(−2)×(−4)+1×(1−z)=0，

解得z=21，此时a−b为非零向量，∴z=21．

(2)若z=−3，则b=(4,2,−3)，a+16.【答案】解：(1)证明：建立空间直角坐标系，如图所示，

设AB=2，则A1(0,0,2)，E(0,0,1)，D1(0,2,2)，C(2,2,0)，F(1,2,2)，

A1F=(1,2,0)，ED1=(0,2,1)，EC=(2,2,−1)，

设平面CD1E的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅ED1=2y+z=0,n⋅EC=2x+2y−z=0,令y=1，则n=(−2,1,−2)，

因为A1F⋅n=1×(−2)+2×1+0×(−2)=0，

所以A1F⊥n17.【答案】解：(1)底面半径6，高6；OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，

∠BOC=π2，3∠BOD=π2⇒∠BOD=π6，

O(0,0,0)，C(6,0,0)，B(0,6,0)，A(0,−6,0)，P(0,0,6)，

∠BOD=π6，在xOy平面，D(6sinπ6,6cosπ6,0)=(3,33,0)，

由M是△PBC的重心，得M(0+0+63,0+6+03,6+0+03)=(2,2,2)．

(2)证明：H(0,−3,3)，O(0,0,0)，M(2,2,2)，

向量：OH=(0,−3,3),OM=(2,2,2)，

点积：OH⋅OM=0×2+(−3)×2+3×2=−6+6=0，

OH⊥OM，即∠HOM=90°，所以△HOM是直角三角形．

(3)PB=(0,6,−6),PC=(6,0,−6)，设法向量18.【答案】解：(1)证明：在正方形ABEF中，BE⊥AB．

因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，BE⊂平面ABEF，所以BE⊥平面ABCD．

又AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC．

在正方形ABCD中，BD⊥AC，

又BD∩BE=B，BD、BE⊂平面BDE，所以AC⊥平面BDE．

(2)由(1)知BE⊥平面ABCD．

又BE/​/AF，所以AF⊥平面ABCD，则AB，AD，AF两两垂直．

以A为坐标原点，AB，AF，AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，E(3,3,0)，D(0,0,3)，B(3,0,0)，C(3,0,3)．

设AQ=λAE=(3λ,3λ,0)(0≤λ≤1)，所以Q(3λ,3λ,0)．

因为BP=AQ，所以BP=λBD=(−3λ,0,3λ)，所以P(3−3λ,0,3λ)，

则PQ2=(6λ−3)2+(3λ)2+(−3λ)2=54λ2−36λ+9，

当λ=−−362×54=13时，PQ2取得最小值，即PQ取得最小值，

此时AP=(2,0,1)，AQ=(1,1,0)．

设平面APQ的法向量为n=(x,y,z)，则AP⋅n=0,AQ⋅n=0,即2x+z=0,x+y=0,

令z=2，得x=−1，y=119.【答案】解：(1)因为m=(1,4)是直线OM的一个方向向量，

所以直线OM的斜率为kOM=41=4；

(2)证明：法一：设M(a,2a)，N(b,2b)，则P(p,4p)，Q(q,4q)，其中a>0，b>0，

直线MP与直线NQ均与x轴平行，所以4p=2a，4q=2b，得p=a2，q=b2，

直线OP的斜率kOP=4pp=22pp=2aa2=2a+1a，直线OQ的斜率kOQ=4qq=22qq=2bb2=2b+1b，

因为O，M，N三点共线，所以2aa=2bb，则2×2aa=2×2bb，即2a+1a=2b+1b，

所以kOP=kOQ，又OP，OQ有公共点O，故O，P，Q三点共线；

法二：设M(a,2a)，N(b,2b)，则P(