山东省济南市商河实验中学2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年山东省济南市商河实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题1.下列方程中是一元二次方程的是(

)A.3x+52=0 B.x2+5y=3 2.一元二次方程x2+6x−7=0配方后可变形为(

)A.(x+3)2=4 B.(x+3)2=163.把等式7x=9y，写成比例式，其中错误的是(

)A.7y=9x B.xy=4.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是(

)

A.当∠ABC=90°，□ABCD是矩形 B.当AC=BD，□ABCD是矩形

C.当AB=BC，□ABCD是菱形 D.当AC⊥BD，□ABCD是正方形5.已知关于x的一元二次方程mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是A.m<−1 B.m>1 C.m<1且m≠0 D.m>−1且m≠06.根据下面表格中的对应值：x3.233.243.253.26a−0.06−0.020.030.09判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解xA.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.267.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为(

)A.12x(x+1)=28 B.12x(x−1)=28 C.8.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，且△ABF的面积是30cm2，则CE的长为(

)A.512 B.125 C.29.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE.若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为(

)A.4

B.4.5

C.5

D.5.510.如图，边长为22的正方形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，点E为BC边上一动点(不与点B，点C重合)，OF⊥OE交CD于点F，点G为EF中点.给出如下四个结论：①∠OEF=45°；②点E在运动过程中，△OEF面积不变化；③△CEF周长的最小值为2+22；④点E在运动过程中，当OG=FC时，∠EFC=60°.其中正确的结论是A.①③ B.②③ C.①④ D.①③④二、填空题11.若ba=32，则a+bb12.如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=6，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为

．

13.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1

14.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF=

．

15.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°，若∠BAE=α，则∠EFC一定等于

．三、解答题16.解下列一元二次方程：(1) 2(2) (3) 4((4) 2(5) (x−1(6) 17.如图，∠B=∠D，∠1=∠2.求证：△ABC∽△ADE．18.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，AB=3，求BD的长．19.如图，有一矩形花坛，其长为30m、宽为20m，在其中修相互垂直的两条等宽小道，若剩余面积为551m2，小道的宽为多少米？20.如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．

(1)求证：△ADE≌△CBF．

(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．21.已知关于x的一元二次方程x2+2(m−1)x+m2−2=0有两个不相等的实数根x1，x2．

(1)求m的取值范围；

(2)22.商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同．

(1)求该商品销售量的月增长率；

(2)该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？23.已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(1)请用含t的代数式表示PB、BQ的值，PB=

，BQ=

(2)求几秒后，△PBQ的面积等于6cm(3) P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由24.如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE.

(1)求证：BE=DE；

(2)如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.

①求证：矩形DEFG是正方形；

②若正方形ABCD的边长为9，CG=32，求正方形DEFG的边长．

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】D

11.【答案】5312.【答案】2

13.【答案】20

14.【答案】24515.【答案】90°−2α

16.【答案】【小题1】2x2=32；

x2=16，

x=±4【小题2】移项可得：

x2+6x=−4，

x2+6x+9=−4+9，

(x+3)2=5，

x+3=±【小题3】原方程化简可得：

4x2−4x+1=0，

(2x−1【小题4】2x2−x+1=0，

Δ=(−1)【小题5】(x−1)2=3x−3，

(x−1)2−3(x−1)=0，

(x−1)(x−4)=0，

x−1=0或【小题6】因式分解可得：

(x−6)(x+1)=0，

x−6=0或x+1=0，

x1=6

17.【答案】证明：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，

∴∠BAC=∠DAE，

又∵∠B=∠D，

∴△ABC∽△ADE．

18.【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AO=BO=12BD，

又∵∠AOB=60°，

∴△AOB为等边三角形，

∴BO=AB=3，

19.【答案】解：设小道的宽为x m，则剩余部分可合成长为(30−x)m，宽为(20−x)m的矩形，

根据题意得：(30−x)(20−x)=551，

整理得：x2−50x+49=0，

解得：x1=1，x2=49(不符合题意，舍去)20.【答案】(1)证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，

∵E、F分别为AB、CD的中点，

∴AE=CF．

在△ADE和△CBF中，AD=CB∠A=∠CAE=CF

∴△ADE≌△CBF(SAS)；

(2)解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．

证明：∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．

∵E是AB的中点，

∴DE=12AB=BE．

∵在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，

∴EB/​/DF且EB=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

21.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m−2)x+m2−2=0有两个不相等的实数根x1，x2．

∴Δ=(2m−2)2−4×1×(m2−2)>0，

解得：m<32；

(2)∵x1和x2是一元二次方程x2+(2m−2)x+m2−2=0的两根，

∴x122.【答案】解：(1)设该商品销售量的月增长率为x，

依题意得：150(1+x)2=216，

解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)，

答：该该商品销售量的月增长率为20%；

(2)设售价应定为y元，则销售量为(400−y−585×40)件，

依题意得：(y−48)(400−y−585×40)=6048，

整理得：y223.【答案】【小题1】(5−t)cm2t cm【小题2】设经过t秒后，△PBQ的面积等于6cm2，

根据题意，得：12×(5−t)×2t=6，

整理得：t2−5t+6=0，

解得：t=2或t=3；

∵当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，5÷1=5，7÷2=3.5，

∴t≤3.5，

∴2【小题3】存在时间t，使得△PBQ的面积最大．理由如下：

由题意得：S△PBQ=12BP⋅BQ=12×(5−t)×2t=−t2+5t=−(t−52

24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAE=∠DAE=45°，AB=AD，

在△ABE和△ADE中，

AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，

∴△ABE≌△ADE(SAS)，

∴BE=DE；

(2)①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，

得矩形EMCN，

∴∠MEN=90°，

∵点E是正方形ABCD对角线上的点，

∴EM=EN，

∵∠DEF=90°，

∴∠DEN=∠MEF=90°−∠FEN，

∵∠DNE=∠FME=90°，

在△DEN和△FEM中，

∠DNE=∠FME=90°EN=EM∠DEN=∠FEM，

∴△DEN≌△FEM(ASA)，

∴EF=DE，

∵四边形DEFG是矩形，

∴矩形DEFG是正方形；

②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，

∴DE=DG，AD=DC，

∵∠C