2027新高中数学新课标 人教 A 版 必修1 第1章集合与常用逻辑用语1.2　集合间的基本关系

1.2集合间的基本关系第一章集合与常用逻辑用语1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.2.了解空集的含义.3.能用三种语言表示集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用.学习目标我们知道,两个实数之间有相等关系、大小关系,如5=5,5<7,5>3,等等,那么,两个集合之间是否也有类似的关系呢?引入课时精练一、子集二、真子集与空集三、由集合间的包含关系求参数课堂达标内容索引子集一探究1观察下面两个实例,回答问题:①集合A={0,1,2},B={0,1,2,3};②集合A={x|x=2k,k∈Z},B={偶数}.③具有北京市朝阳区户口的人组成集合A,具有北京市户口的人组成集合B.(1)三个实例中集合A中的元素都是集合B中的元素吗?提示

都是B中的元素.(2)三个实例中集合B中的元素都是集合A中的元素吗?提示

实例①B中的元素0,1,2是A中元素,但3∉A.实例②中集合B中的元素都是A中的元素.实例③中B中的元素不一定是A中的元素.1.在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为____________图.2.子集知识梳理Venn任意A⊆B定义一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中______一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的______记法与读法记作__________(或B⊇A),读作“________________”(或“B包含A”)图示子集A包含于B3.集合相等一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作__________,也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.A=B(1)“A是B的子集”的含义是:对任意x∈A都能推出x∈B.(2)注意“∈”与“⊆”的区别,“⊆”用于表示集合与集合之间的关系,比如N⊆R,{1,2,3}⊆{3,2,1};“∈”用于表示元素与集合之间的关系,比如1∈N.温馨提示(链接教材P8例2)指出下列各组集合之间的关系:(1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)=0};(2)A={x|x是长方形},B={x|x是两条对角线相等的平行四边形};例1(1)∵B={x|(x-1)(x-2)=0}={1,2},∴B⊆A.(2)A,B两个集合都表示长方形构成的集合,故A=B.(3)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*};(4)A={x|1<x<6},B={x|x-1<8}.(3)集合M与集合N都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,所以1∈M,但1∉N,故N⊆M.(4)A={x|1<x<6},B={x|x-1<8},则集合B={x|x<9},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A⊆B.判断集合关系的常用方法思维升华(1)设集合M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P训练1√正方形都是菱形,菱形都是平行四边形,平行四边形都是四边形,则Q⊆M⊆N⊆P.√(2)现有以下三组集合:①{a,b}和{b,a};②{1,0}和{(1,0)};③{y|y=x2,x∈R}和{x|y=x2,x∈R};其中,满足集合相等的有A.3组 B.2组C.1组 D.0组对于①,集合{a,b}中的元素a,b都是集合{b,a}中的元素,且集合{b,a}中的元素都是集合{a,b}中的元素,所以{a,b}⊆{b,a},且{b,a}⊆{a,b},故{a,b}={b,a}.对于②,集合{1,0}中的元素1,0不是集合{(1,0)}中的元素,故两个集合不相等.对于③,集合{y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},集合{x|y=x2,x∈R}={x|x∈R},故前者是后者的子集,两个集合不相等.真子集与空集二探究2观察下面两个例子,回答问题:①集合A={1,5,6},B={5,6};②集合M={x∈R|x2-2x+2=0}.(1)实例①中,集合A中的元素都是集合B中的元素吗?集合B中的元素都是集合A中的元素吗?提示

不全是.1∈A,但1∉B;集合B中的元素都是集合A中的元素.(2)集合M中有多少个元素?提示

M中没有元素.1.真子集:知识梳理x∉AA⫋B定义如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且______,就称集合A是集合B的真子集记法与读法记作_______(或B⫌A),读作“_______________”(或“B真包含A”)图示A真包含于B不含任何元素⌀2.空集:一般地,我们把__________________的集合叫做空集,记作___,并规定:空集是任何集合的______.3.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集,即________.(2)对于集合A,B,C:①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C;②若A⫋B,B⫋C,则A⫋C.子集A⊆A(1)符号⊆,⫋,⊇,⫌,=表示集合与集合之间的关系,其中“⊆”包含“⫋”和“=”两种情况,同样“⊇”包含“⫌”和“=”两种情况.(2)①⌀是不含任何元素的集合;②{0}是含有元素0的集合;③⌀⫋{0}.温馨提示(链接教材P8例1)设A={x|(x2-16)·(x2+5x+4)=0},写出集合A的子集,并指出其中哪些是它的真子集.例2由(x2-16)(x2+5x+4)=0,得x=-4或x=-1或x=4,因此集合A={-4,-1,4}.所以集合A的子集为⌀,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4}和{-4,-1,4}.集合A的真子集为⌀,{-4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4},{-1,4}.思维升华1.求给定集合的子集的两个注意点: (1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.2.假设集合A中含有n个元素,则有:(1)A的子集有2n个;(2)A的非空子集有(2n-1)个;(3)A的真子集有(2n-1)个.(1)已知集合{1,2,3},则该集合的子集个数为____________,真子集个数为____________.

训练287集合{1,2,3}的子集个数为23=8,真子集个数为23-1=7.(2)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}.∴A的子集有:⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.由集合间的包含关系求参数三[链接教材P9习题1.2T5(2)]已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围.例3当B=⌀时,满足B⊆A,此时m+1>2m-1,解得m<2.当B≠⌀,且B⊆A时,如图所示.

若本例条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5},且B⫋A”,其他条件不变,求实数m的取值范围.(1)当B=⌀时,满足B⫋A,此时m+1>2m-1,解得m<2.(2)当B≠⌀,且B⫋A时,如图所示.迁移

思维升华利用集合间的关系求参数的注意点(1)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值.(2)要注意“空集”的情况,空集是任何集合的子集.已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},B⫋A,求m的取值集合M.训练3

【课堂达标】1.(多选)已知集合A={x|x2-2x=0},则有A.⌀⊆A B.-2∈AC.{0,2}⊆A D.A⊆{y|y<3}√√√由题意得A={0,2},且空集是任何集合的子集,故A,C,D正确,B错误.

√

√√

3.已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A=____________;若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B=____________.

{-1,0}{-1,0}由x2+x=0,得x=0或x=-1,∴A={-1,0}.由于{0}⫋B⊆A,知B={-1,0}.4.若集合A={0,1,2,3},B={y|y=x2-1,x∈A},则集合B的所有子集的个数是____________.

由A={0,1,2,3},得B={y|y=x2-1,x∈A}={-1,0,3,8},共4个元素,因此集合B的子集有24=16个.16【课时精练】√1.下列各选项中,表示M⊆N的是由M⊆N知,表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中.√2.下列四个集合中,是空集的是A.{x|x+3=3} B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}C.{x|x2≤0} D.{x|x2-x+1=0,x∈R}因为x2-x+1=0,Δ=1-4=-3<0,方程无解,所以{x|x2-x+1=0,x∈R}=⌀.3.以下五个式子中,错误的个数为①{1}∈{0,1,2};②{1,-3}={-3,1};③{0,1,2}⊆{1,0,2};④⌀∈{0,1,2};⑤⌀∈{0}.A.5 B.2C.3 D.4√①应是{1}⊆{0,1,2},故①错误.②集合中的元素具有无序性,故②正确.③任何集合都是其本身的子集,③正确.④应是⌀⊆{0,1,2},故④错误.⑤应是⌀⊆{0},故⑤错误.故错误的有①④⑤.√4.已知集合A={x|1<x<2026},B={x|x≤a}.若A⫋B,则实数a的取值范围为A.{a|a≥2026} B.{a|a>2026}C.{a|a≥1} D.{a|a>1}∵A={x|1<x<2026},B={x|x≤a},又A⫋B,∴a≥2026.√5.(多选)已知集合M={2,4},集合M⊆N⫋{1,2,3,4,5},则集合N可以是A.{2,4} B.{2,3,4}C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}√√依题意N中至少有元素2和4.又N⫋{1,2,3,4,5},知N中至多有包含2,4在内的4个元素,因此集合N可以是选项A,B,C.6.设集合A={(x,y)|x2+y2=16,x∈Z,y∈Z},则集合A的非空子集的个数为A.8 B.32C.16 D.15√∵集合A={(x,y)|x2+y2=16,x∈Z,y∈Z}={(0,4),(4,0),(0,-4),(-4,0)},即集合A中有4个元素,∴集合A的非空子集有24-1=15个.

√

8.已知集合A={2,-1},集合B={m2-m,-1},若A⊆B且B⊆A,则实数m=____________.

2或-1∵A⊆B且B⊆A,∴A=B,∴m2-m=2,解得m=2或m=-1.

B⫋A

10.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B⊆A,则实数a的取值范围是____________.

{a|a≤1}

11.(链接教材P9练习T3)判断下列集合间的关系:(1)A={x|x-3>2},B={x|2x-5≥0};(2)A={x∈Z|-1≤x<3},B={x|x=|y|,y∈A}.

12.(多选)下列集合中子集个数等于1的是A.{x∈N|x2+3x+2=0} B.{x|x是边长分别为1,2,3的三角形}C.{x∈R||x|=1} D.{⌀}√√{x∈N|x2+3x+2=0}=⌀,子集个数为1;{x|x是边长分别为1,2,3的三角形}=⌀,子集个数为1.因此选项A,B中的集合的子集个数均等于1.在C项中,{x∈R||x|=1}={-1,1}有4个子集.又D项中,{⌀}有一个元素,所以其子集个数为2.13.已知集合A={a1,a2,a3}的所有非空真子集的元素之和等于9,则a1+a2+a3=____________.

3集合A={a1,a2,a3}的所有非空真子集有:{a1},{a1,a2},{a1,a3},{a2},{a2,a3},{a3},故3(a1+a2+a3)=9,即a1+a2+