29.3 第1课时 弧长和扇形面积 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#29.3第1课时弧长和\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积专项练习（人教版九上，约1450字）##一、核心知识点梳理1.**弧长公式**半径为$R$，圆心角为$n^\circ$的弧长：$$\boldsymbol{\(l=\)\dfrac{n\piR}{180}}$$推导：圆周长$C=2\piR$，圆心角$360^\circ$对应整个圆周；$n^\circ$占整个圆的$\dfrac{n}{360}$，所以弧长是周长的$\dfrac{n}{360}$。2.**\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)定义**：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)。3.**\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积两个公式**公式一（已知圆心角$n$、半径$R$）：$\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}$公式二（已知弧长$l$、半径$R$）：$\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)}=\dfrac12lR}$>两个公式按需选用：有圆心角优先用第一个；已经算出弧长，直接用第二个更简便。4.解题要点与易错提醒-$n$是圆心角的度数，不带单位；公式里的$R$是\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)所在圆的半径，不是弧长。-计算结果没有特殊要求时，保留$\pi$，不要直接算出小数。-常考组合：\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积加减求阴影面积；和直角三角形、等边三角形结合求不规则图形面积。-区分弧长（长度单位）、\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积（面积单位），不要混淆公式。##二、基础过关（选择+填空）1.半径为$6$，圆心角$60^\circ$的弧长是（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$3\pi$D.$6\pi$**答案：B**解析：$\(l=\)\dfrac{60\pi\times6}{180}=2\pi$2.\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)半径$\(R=3\)$，圆心角$120^\circ$，\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积为（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$3\pi$D.$6\pi$**答案：C**解析：$\(S=\)\dfrac{120\pi\times3^2}{360}=3\pi$3.半径为$8$，圆心角$45^\circ$，弧长$\(l=\)$____。**答案：$2\pi$**4.\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)弧长$\(l=\)4\pi$，半径$\(R=6\)$，\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积$\(S=\)$____。**答案：$12\pi$**解析：$\(S=\)\dfrac12lR=\dfrac12\times4\pi\times6=12\pi$5.\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积$\(S=\)10\pi$，半径$\(R=5\)$，则\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)弧长$\(l=\)$____。**答案：$4\pi$**解析：由$\(S=\)\dfrac12lR$，$10\pi=\dfrac12\timesl\times5$，解得$\(l=\)4\pi$##三、能力提升（解答题，写出完整步骤）6.已知\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)圆心角$n=90^\circ$，半径$\(R=4\)$，求弧长和\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积。**解**弧长：$\(l=\)\dfrac{n\piR}{180}=\dfrac{90\pi\times4}{180}=2\pi$\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积：$\(S=\)\dfrac{n\piR^2}{360}=\dfrac{90\pi\times4^2}{360}=4\pi$答：弧长为$2\pi$，\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积为$4\pi$。7.一段弧长$\(l=\)5\pi$，所在圆半径$\(R=10\)$，求这条弧所对圆心角的度数。**解**由弧长公式$\(l=\)\dfrac{n\piR}{180}$，代入已知：$5\pi=\dfrac{n\pi\times10}{180}$，两边约去$\pi$，$5=\dfrac{10n}{180}$，$\(10n=900\)$，解得$\boldsymbol{n=90^\circ}$。8.如图，⊙O半径为2，△AOB是等边三角形，求劣弧AB的弧长与\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)AOB面积。**解**∵△AOB为等边三角形，∴圆心角$\(∠A\)OB=60^\circ$。弧长：$\(l=\)\dfrac{60\pi\times2}{180}=\dfrac{2\pi}{3}$\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积：$\(S=\)\dfrac{60\pi\times2^2}{360}=\dfrac{2\pi}{3}$答：劣弧AB长$\dfrac{2\pi}{3}$，\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)AOB面积$\dfrac{2\pi}{3}$。9.易错题：一个\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)的弧长是$12\pi$，面积是$48\pi$，求\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)半径与圆心角。**解**先用$\(S=\)\dfrac12lR$求半径：$48\pi=\dfrac12\times12\pi\timesR$，解得$\boldsymbol{\(\boldsymbol{R=8}\)}$。再代入弧长公式求圆心角：$12\pi=\dfrac{n\pi\times8}{180}$，约去$\pi$，$12=\dfrac{8n}{180}$，$\(8n=2160\)$，$\boldsymbol{n=270^\circ}$。>易错点：不要直接混用两个公式；优先用$\(S=\)\dfrac12lR$，计算更简单。##四、中考综合训练10.如图，在Rt△ABC中，$∠C=90^\circ$，$\(AC=4\)$，$\(BC=3\)$，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于D，求弧CD的长。**解**在Rt△ABC中，由勾股定理，$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。$\cosA=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac45$，$\(∠A\)$为弧CD对应的圆心角，半径$R=\(AC=4\)$。弧长$\(l=\)\dfrac{n\piR}{180}$，本题$n=\(∠A\)$，$\cosA=\dfrac45$。>换经典版本：Rt△ABC，$∠C=90^\circ$，$\(∠A\)=60^\circ$，\(AC=4\)，以A为圆心AC为半径画弧交AB于D，求弧CD长。**重新解题**圆心角$n=60^\circ$，$\(R=4\)$，$\(l=\)\dfrac{60\pi\times4}{180}=\boldsymbol{\dfrac{4\pi}{3}}$。11.判断题（对√，错×）①\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积一定随半径增大而增大（×，圆心角不确定）②弧长公式$\(l=\)\dfrac{n\piR}{180}$中$n$是圆周角（×，是圆心角）③\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积等于$\dfrac12lR$（√）④圆心角相等，\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积一定相等（×，半径不一定相等）##五、方法总结本节课两个核心公式：弧长公式和\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积公式，属于中考计算必考内容。做题第一步看清求弧长还是面积，已知条件有哪些。解题思路：1.已知圆心角、半径：直接套$\(l=\)\dfrac{n\piR}{180}$，$\(S=\)\dfrac{n\piR^2}{360}$。2.已知弧长求面积，优先用$\(S=\)\dfrac12lR$，简化运算。3.阴影面积高频题型：阴影面积=\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)面积±三角形面积。4.常见陷阱：看错半径；把圆周角当成圆心角；计算完擅自把$\pi$化成小数。本节内容经常和圆内接四边形、圆周角定理、直角三角形综合出题，填空选择以公式直接计算为主，大题常出阴影面积计算。后面下一课时就是圆锥侧面积和全面积，会用到\(\boldsymbol{S_{\(\boldsymbol{S_{扇形}=\dfrac12lR}\)}=\dfrac{n\piR^2}{360}}\)知识，所以本课时公式一定要熟练掌握。（全文约1447字）你要纯题目无答案版本吗？或者直接继续写29.3第2课时圆锥的专项练习？人教版（新教材）数学九年级上册29.3第1课时弧长和扇形面积授课教师：.

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9年级（

）班.

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间：.

2026/10/21

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第29章圆问题1

半径为R的圆，周长是多少？OR问题2（1）360°的圆心角所对的弧长是多少？（2）1°的圆心角所对的弧长是多少？（3）n°的圆心角所对的弧长是多少？弧长计算公式及相关的计算知识点1弧长

＝

·2πR

＝弧长

＝

·2πR

＝弧长

＝

·2πR

＝弧长＝

·2πR

＝问题3下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?弧长是多少？OR180°OR90°OR45°ORn°我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分。想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？环节一：探究弧长公式的推导思考n°ABOR(1)半径为R的圆，周长是

；(2)圆的周长可以看作是

度的圆心角所对的弧；(3)1°的圆心角所对的弧长是圆周的

；即1°的圆心角所对的弧长=

=

.(4)若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为1°圆心角所对弧长的

倍,n°的圆心角所对的弧长=

.

360

n

环节一：探究弧长公式的推导n°弧长公式：若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为

.

ABO结论注意事项：

►

n是圆心角的度数（1°的倍数），不带单位；

►

180是常数，不带单位；

►若题目未要求精确，结果保留π的形式.环节一：探究弧长公式的推导

（1）半径为6cm的圆中，210°圆心角对应的弧长是多少？

（3）半径为

5cm的圆中，弧长是2π，所对的圆心角是多少度？解：设半径为R，则

解：设圆心角是n度，则

圆心角度数：1°×72=72°即时小练1.返回[无锡中考]已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为90°，则这条弧的长为(

)A．2πB．3πC．4πD．6πB返回2.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为(

)A返回3.[绵阳中考]将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为

，则扇形的圆心角大小为(

)A．30°B．60°C．90°D．120°D环节二：弧长公式基础应用制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中的管道的展直长度L(结果取整数).

在本书中，如无特殊说明，π取3.14.700mm700mmR=900mm(100°ACBDO思考

环节二：弧长公式基础应用

所以摩天轮半径：128-68=60（m）

即时小练环节三：探究扇形定义及面积公式1OAB定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。O半径半径圆心角弧BAOAB扇形扇形定义如图，∠AOB的两条半径OA、OB和弧AB围成的图形，记作“扇形OAB”.注意：不能说扇形是圆的一部分，扇形由两条半径和它们所夹的弧围成的封闭图形，扇形的周长=弧长+2半径弧半径R半径R环节三：探究扇形定义及面积公式扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关.n°R思考想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？圆心角为1°的扇形面积是多少？圆心角为n°的扇形呢？圆心角越大，扇形面积也就越大类比弧长与圆周的关系(1)半径为R的圆，面积是

；(2)圆的面积可以看作是圆心角

度的的扇形面积；(3)圆心角1°的扇形面积是圆面积的

；即圆心角1°的扇形面积=

=

.(4)若设⊙O半径为R，圆心角n°的扇形面积是圆心角1°扇形面积的

倍,

圆心角n°扇形面积=

.

360

n

环节三：探究扇形定义及面积公式1OABn°弧半径R半径R扇形面积公式：

结论注意:公式中n的意义

n表示1°圆心角的倍数，它和弧长公式一样是不带单位.环节四：扇形面积公式与弧长的关系设⊙O半径为R，圆心角n°比较扇形面积公式与弧长公式，你有什么发现？思考ROn°AB

S扇形

总结：⊙O半径为R，圆心角n°S扇形，l弧长，已知这四个量中的任意两个，都可以求出另外两个.扇形面积公式2环节五：探究弓形面积公式OO当弧是劣弧时：S弓形=S扇形−S三角形当弧是优弧时：S弓形=S扇形+S三角形弓形面积＝扇形面积

±三角形的面积一条弧与过它两端点的弦组成的封闭图形叫弓形，怎样求弓形的面积？因为弓形‌由一条弦和它所对的弧围成，看起来像一把弓，所以弓形面积是扇形面积去掉或加上三角形后的部分。讨论

O例题讲解

260°方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．例题讲解例2如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为__________(结果用含π的式子表示)．

方法总结：

此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．例题讲解例3.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）

OABCD∟返回4.【新趋势跨学科综合】某校在社会实践活动中，明明同学用一个直径为24cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(

)A．3.5πcmB．7πcmC．12πcmD．24πcmB[连云港中考]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°.若⊙O的半径为2，则劣弧

的长为________．返回5.π半径为1，圆心角为60°的扇形面积为(

)返回6.B返回7.一个扇形的半径为24cm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角为(

)A．300°B．240°C．180°D．150°D返回8.已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为(

)A．24B．22C．12D．6A返回9.如图是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，劣弧

的长为4πcm，阴影部分需要粘贴胶皮，则这一面胶皮的面积为(

)A．(32＋48π)cm2B．(16π－32)cm2C．64πcm2D．(48π－32)cm2A返回10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，CA的长为半径的圆交AB于点D.若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积．解：∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝BD＝

AB＝1.∴CD＝CA＝AD，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD＝60°，返回11.[镇江中考]如图，直线l1∥l2，直线m分别交l