广东省深圳市宝安区2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷（含答案）

广东省深圳市宝安区2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷

一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个选项是正确

的)

1.方程x2=4的根是()

A.x=2B.X]=2,x2=-2C.x=-2D.=2,x2=0

2.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A,B,C

都在横格线上.若线段AB=4,则线段BC长为()

A

A.12B.16C.18D.2

3.黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中。如图，已知P是笛子AB的黄金分

割点(露=与1),若笛子AB长52cm,则PB长为()

j•u•・・・・・

APB

A.岳1cmB.3.5cmC.26(V5—l)cmD.26(3—V5)cm

4.关于x的一元二次方程乂2+2乂+2=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()

A.a<lB.a<lC.a<l且a#0D.a<l且a#)

5.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,/BAD的角平分线交BC于点E,若NAOB=45。，则

ZOAE=()

A.12.5°B.22.5°C.20°D.65°

6.电影《731》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10亿元，若

第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x,则根据题意，下列方程正确的是()

A.3(1+x)=10B.3(14-x)2=10

C.3(1+x)+3(1+x)2=10D.3+3(1+x)+3(1+x)2=10

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7.在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长2cm,若O到AB的距离是4cm,O到CD的距离是1cm,则

像CD的长足（）

C.0.5cmD.0.4cm

8.如图，正方形ABCD中，点E、F是BC、DC边上的点，连接AE、AF分别交DC、BC的延长线于点

G、H,若NFHG=90。，DF=FC=1,则CE的值为（）

A.1B.1C.1D.1

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

9.若3x=4y,则、=o

10.一个不透明的盒子里有n个除颜色外都相同的小球，其中有3个红球，每次摸球前先将盒子摇匀，任意

摸出I个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的概率为20%,那么可以推算出

n大约是。

11.在一次综合实践课上，小华测得旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为13

米，如果此时附近一座纪念塔的影子长为60米，那么这座纪念塔的高度为米。

12.中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴。如图是一个中国结装

饰，可以近似看作菱形ABCD,测得BD=16cm,AC=12cm,则菱形周长为cm。

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13.如图，RSABC中，NABO90。，AD=4DC,点E是线段BD上一点，将^BCE沿CE折叠，使点B落

在AC边上的点F处，若EFJ_BD,则第=o

三、解答题(本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题7分，第17题8分，第18

题9分，第19题10分，第20题11分，共61分)

14.解方程：

(1)x2-6x+5=0

(2)x(3x+2)=6x+4

15.为让学生感受传统文化魅力、学会规划时间，某图书馆在“世界读书日”期间推出“二十四节气・时光书签”

限定套装作为阅读打卡的纪念礼。套装内有四枚同款金属书签，正面分别以“春之萌芽”、“夏之繁茂”、“秋之

收获”、“冬之蓄力”为主题，融合对应季节的节气元素。已知书签的形状、大小、质地均相同，且背面也完全

相同，现将四枚书签正面朝下放在桌面上。

(1)小亮从中随机抽取一枚，抽出的书签恰好是“秋之收获''的概率是:

(2)若将四种不同主题的书签分别用A,R,C,D表示，小亮从中随机抽取一枚后放叵1,再从中随机抽

取一枚，请用画树状图或列表的方法求出小亮抽出的两枚书签恰好是同一主题的概率。

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16.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，4AOB的顶点都在格点上，点A、B的坐标分别为（2,

8）、（6,6）o请按要求完成下列问题：

（I）以点0为位似中心，在网格内画出△P]L0P2，使△P1OP2与△AOB位似，且相似比为I：2；

（2）APiOP?的面积为;

（3）点P3是△AOB边上的格点（不与顶点重合），若△PF2P3与△AOB相似，则点P3的坐标

为o

17.深圳湾文化广场凭借“AirPods”造型建筑成网红打卡地，某商家推出以其建筑轮廓为原型的金属纪念徽

章。运营数据显示：每个徽章的进货成本为30元，若每个徽章定价60元，平均每天可售出20个；当每个

徽章的售价每降低5元，平均每天的销售量就会增加10个。

（1）当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出个徽章，每天销售徽章的利润可

达到元；

（2）为让顾客得到实惠，每个徽章的售价降低多少元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元？

18.如图，在RsABC中，ZACB=90%点D为斜边上一点，连接CD,分别过点A、C作CD、AB的平

行线相交于点Eo

（I）在不添加新的点和线段的前提下，请增加一个条件：▲,使得四边形ADCE是菱形，并说明

理由;

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（2）在（1）的条件下，尺规作到：求作点P,使得四边形ACBP为矩形。（保留作图痕迹，不写作法,

标明字母）

19.我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程。在数学史上，我国及其他国家的数

学家还研究过一元二次方程的几何解法。

例：用几何解法求方程乂2+2*-3=0即乂（x+2）=3的正根。

（1）方法（I）：三国时期数学家赵爽用4个以x和x+2为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为x+x+2

的大正方形（如图1）；

根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：（x+x+2）2=3x4+22,解得

正根;

（2）方法（II）：阿拉伯数学家以x和x+2为邻边构造一个矩形（如图2）,利用“割”、“拼”、“补”的方式

构造边长为x+1的正方形（如图3、4）；

根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：,解得正

根;

（3）实际上，对关于x的方程x（x+m）=n,可以用方法（I）、（II）求出方程的正根。若图1是由四个

面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16,那么，此方程中的n=,求得方程的正

根为;

（4）类比图1、图4,请选择一种方法求方程2x?+5x=3的正根。

①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度；

②根据①中的构图，可以得到新的方程：▲,解得止根为▲。

20.【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个

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是等腰三角形，另一个与原三角形相似，就称这条线段是该三角形的完美分割线。

备用图

(1)【应用】

如图1,△ABC中，AC=3,AB=4,BC=2,D是AB上一点，BD=1,求证：CD是△ABC的完美分割

线;

(2)如图2,菱形ABCD中，AB=4,点E是边CD的中点，点F是边BC上一点，连接AF交线段BE

于G,若BG是△ABF的完美分割线，且AB二AG,求FG的长;

(3)如图3,矩形ABCD中，点O是DB的中点，E为射线DA上的动点，连接EO并延长交射线BC于

F,G是射线0B上一点，ZGFO=ZDFO,若GO是△EGF的完美分割线，请直接写出器的俏。

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答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：X2=4

解得：Xi=2,x2=-2

故答案为：B

【分析】根据直接开平方法解方程即可求出答案.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：过点A作ADJ_点C所在的横格线于点D,AD与点B所在的横格线交于点E

•BCEDRMBC6

,,而二宿即丁=2

解得：BC=12

故答案为：A

【分析】过点A作人口，点©所在的横格线于点D,AD与点B所在的横格线交于点E,根据平行线分线段

成比例定理即可求出答案.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意可得：

黑=^21,解得：PB=26（V5-l）cm

故答案为：C

【分析】根据黄金分割即可求出答案.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：:x2+2x+a=0有两个不相等的实数根

.*.△=4-4a>0

解得：a<l

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故答案为：A

【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式△=b2-4ac>0,解不等式即可求出答案.

5.【答案】B

【解析】【解答】•・•四边形ABCD为矩形

.\OA=OB,ZBAD=90°

/.ZBAO=ZABO

YAE平分/BAD,ZAOB=45°

=^BAD=45。，/-BAO=4ABO=丁=675o

，ZOAE=ZBAO-ZBAE=22.5°

故答案为：B

【分析】根据矩形性质可得OA=OB,NBAD=90。，根据等边对等角可得NBAO=NABO,根据角平分线定

}SQA0B

义及三角形内角和定理可得=45。，Z.BAO=LABO=°-^-=67.5°,再根据角之间

的关系即可求出答案.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：设平均每天票房的增长率为x

由题意可得：3+3(l+x)+3(l+x)2=10

故答案为：D

【分析】根据题意建立方程即可求出答案.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意可得：AB〃CD

・•・△OAB^AODC

VAB=2,若O到AB的距离是4cm,O到CD的距离是1cm

.2_4

，9CD=1

解得：CD=0.5

故答案为：C

【分析】根据相似三角形判定定理可得△OABs^ODC,再根据相似三角形性质建立方程，解方程即可求出

答案.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是正方形

・・・AD二CD,AD〃BC,ZD=ZBCD=90°

・•・ZD=ZFCH=ZHCG=90°

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VDF=FC=1

.*.CD=DP+rC=2

AAD=CD=2

在^ADF和^CHF中

Z-D=Z.FCH

/-AFD=Z-HFC

DF=FC

.*.△ADF^ACHF(AAS)

/.AD=CH=2

在RtAGCH中，ZCGH+ZCHG=90°

•・,ZCHF+ZCHG=ZFHG=90°

AZCHF=ZCGH

•・•ZFCH=ZHCG=90°

.*.△CHF^ACGH

.FC_CHl_2

♦♦而二'pNn2=CG

r.CG=4

/.DG=CD+CG=6

VAD//BC

・•・△GCESGDA

♦CECGnnCE4

••而=丽'即N=6

解得：CE=i

故答案为：B

【分析】根据正方形性质可得AD=CD,AD〃BC,ND=NBCD=90。，根据边之间的关系可得AD=CD=2,

再根据全等三角形判定定理可得△ADF0/XCHFIAAS),贝ljAD=CH=2,再根据角之间的关系可得

ZCHF=ZCGH,再根据相似三角形判定定理可得△CHFs/\CGH,则笠=然，代值计算可得CG,根据边

之间的关系可得DG,再根据相似三角形判定定理可得△GCESGDA,则筹=黑，代值计算即可求出答案.

9.【答案】|

【解析】【解答】V3x=4y

・.・*=?

x4

故答案为：2

【分析】根据等式性质即可求出答案.

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10.【答案】15

【解析】【解答】解：山题意可得:

3

-=20%

，V

解得：n=15

故答案为：15

【分析】根据概率公式建立方程，解方程即可求出答案.

11.【答案】25

【解析】【解答】解：如图，设AB为旗杆，则BC为旗杆的影子，AB，为纪念塔,

•・•旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，则BC=⑵AC=13

，旗杆的高度AB=7132-122=5

设这座纪念塔的高度为x米

由题意可得：△ABCs^ABC

.A'B'B'CAUX_60

解得：x=25

即这座纪念塔的高度为25米

故答案为：25

【分析】根据勾股定理可得旗杆的高度，设这座纪念塔的高度为x米，再根据题意建立方程，解方程即可求

出答案.

12.【答案】40

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD为菱形

11

・•・AC1BD,BO=^BD=8,AO=^AC=6

••AB=必。2+8。2=10

・•・菱形周长为4x1040

故答案为：40

【分析】根据菱形性质可得AC_LBD,BO=鼻0=8,40=鼻C=6,再根据勾股定理可得AB,再根据

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菱形周长即可求出答案.

13.【答案】嬖

【解析】【解答】解：,・・AD=4DC

设CD=m,则AD=4m,AC=5m

VEF1BD,ZABC=90°

.\ZCFE+ZFDE=90°,ZCBE+ZABD=90°

由折叠可知，NCBE二NCFE

Z.ZABD=ZFDE

AB=AD=4m

ABC=3m=CF

.\DF=CF-CP=2m

过点C作CP_LBD于点P

VEF1BD

・•・ZBEF=90°

.\ZBEC=ZFEC=135°

/.ZBEC=ZFEC=135°

••・ZCEP=45°

•••△CEP是等腰直角三角形

设CP二EP二k

VCP1BD

・・・CP〃EF

/.△FEDs/XCPD

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.DP_CP_CD_1

，9~DE~~EF~~DF~2

.\EF=2k=BE,DP=\PE=\k

-CD=7cp2+DP2=绊k

・・,九_乎忆国

BE=~2k=~T

故答案为：可

o

【分析】设CD=m,则AD=4m,AC=5m,由折叠可知，ZCBE=ZCFE,则NABD二NFDE,根据等角对等

边可得AB=AD=4m,根据边之间的关系可得DF,过点C作CP_LBD于点P,根据补角可得NCEP,根据等

腰直角三角形判定定理可得△CEP是等腰直角三角形，设CP=EP=k,根据直线平行判定定理可得CP〃EF,

再根据相似三角形判定定理可得△FEDS/\CPD,则嚣=嚣=徐=｝则EF=2k=BE,DP=gpE=gk,

再根据勾股定理可得CD,再根据边之间的关系即可求出答案.

14.【答案】(1)解：x2-6x+5=0

(x-5)(x-l)=0

・・・x-5=0或x-l=0

解得:X|=5,X2=l

(2)解:x(3x+2)=6x+4

x(3x+2)-2(3x+2)=0

(x-2)(3x+2)=0

x-2=0或3x+2=0

解得：xi=2,X2=-

【解析】【分析】(1)根据因式分解法解方程即可求出答案.

(2)根据因式分解法解方程即可求出答案.

15.【答案】(1)1

(2)解：列表如下

第一次

ABCD

第二次

A(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)

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共有16种等可能结果，符合题意的有4种分

所以P（同一主题）

1O4

【解析】【解答］解：（1）由题意可得：

小亮从中随机抽取一枚，抽出的书签恰好是“秋之收获''的概率是:

故答案为：1

【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.

（2）列表，求出所有等可能的结果，再求出小亮抽出的两枚书签恰好是同一土题的结果，再根据概率公式

即可求出答案.

16.【答案】（1）解：aPiOP?即为所求

（3）（4,7）

【解析】【解答】解：（2）SAp10p2=3x4-1xlx4-|xlx2-1x3x3=^

故答案为：\

（3）如图所示，点P3即为所求，坐标为（4,7）

故答案为：（4,7）

【分析】（1）根据相似定义作图即可.

第13页

（2）根据割补法，结合矩形，三角形面积即可求出答案.

（3）根据相似二角形定义即可求出答案.

17.【答案】（1）60；600

（2）解：设每个徽章的售价降低x元，

（60-X-30）（20+孚）=750

解得:xi=5,X2=15

•・•为了让顾客得到实惠，

x=15,

答：每个徽章的售价降低15元时，该商家每天销售微章的利润可达到75。元.

【解析】【解答］解：（1）由题意可得：

20-5=4,20+4x10=60个

（60-20-30）x60=600元

故答案为:60；600

【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.

（2）设每个徽章的售价降低x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.

18.【答案】（1）解：点D为AB中点（或DC=DA：DC=DE；CE=AE；AE=AD）：

证明如下：VCE//AB,AE//CD

・•・四边形ADCE是平行四边形

在RtAABC中，点D为AB中点

.-.CD=iAB=DA

・•・平行四边形ADCE是菱形

第14页

法二:法三:法四:

【解析】【分析】(1)根据平行四边形判定定理可得四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的

中线性质可得CD=1AB=DA,再根据菱形判定定理即可求出答案.

(2)根据矩形定义作图即可.

19.【答案】(1)x=l

(2)(X+1)2=3+I2;X=1

(3)5；2

(4)解：①・・・2xz+5x=3

・,・%[+乡=|

・•・图中四个完全相同的矩形边长如图，面积为会

5

-

2

22

②(x+x+务=4x|+;x=

【解析】【解答]解：(I)・・・(x+x+2产=3x4+22

说明一个矩形的面积是3,正方形的边长是2

/.x=1,

故答案为：X=l

(2)V(x+1)2=3+12,解得止根x=l

故答案为：x=l

第15页

（3）;若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16

n=5

•・•每个矩形面积是5,小正方形面积面积是16,得出大正方形面积是36

；・正方形的边长x+x+2=6

x=2

・・・方程的正根为x=2

故答案为：5,x=2

（4）②根据图5,得出新方程

（2x+号=4x|+（|）

•・•方程的右边=竽

249

©=T

A2x=l

x=1

【分析】（1）根据题意，结合图形即可求出答案.

（2）根据题意，解方程（X+1）2=3+12,即可求出答案.

（3）根据图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16,结合题意即可求出答案.

（4）根据（1）（2）结论即可求出答案.

20.【答案】（1）解：VAB=4,BC=2,BD=1

.DB_BC

,*BC-AB

VZB=ZB

.*.△BCD^ABAC

VAB=4,BD=1,AC=3

・・・AD=AC=3

ACD走〉ABC的完美分割线

（2）解：•・,菱形ABCD

・・・AB〃CD,AB=BC

AZABG=ZBEC

VAB=AG

/./ARG=/AGR

AZBEC=ZAGB

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・・・BG走XABF的完美分割线，AB=AG

/.△BGr^>AADF

AZGBF=ZBAF

/.△BAG^ACBE

ABG=EC=2

•・•△BGF^AABF

GFBFBG1

：~BF=AF^AB=2

・••设FG=x,则FB=2x,FA=4x,

/.4x-x=4

•*«x=揶FG=^

(3)1或4或9

【解析】【解答】解：(3)①当GO=OF或FO=OE时，如图

则四边形EGFD是正方形

.0G_.

,•0D~,

②当GF=OF时，如图

AED

BF

设GF=OF=OE=1

.\EF=2

VAEOG^AEGF

.EG_EFnnEG2

,,前F'刈丁二宙

・'•EG=V2

.EO_E£_GO_1

•9EG~EF~"GF=^

VAEOG^AEGF

・•・ZEGO=ZEFG

ZGFO=ZDFO

第17页

••・ZEGO=ZDFO

VZEOG=ZDOF

/.△EOGDOF

.EO_