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文档简介

5.1大数定律一、预备知识定义1若对任意n>1，随机变量X1X2,…，Xn，都相互独立，则称随机变量序列X1X2,…，Xn…相互独立.此时，若所有的X，都有相同的分布，则称X1X2,…，Xn…是独立同分布的随机变量序列.定义2设一个随机变量序列X1X2,…，Xn…及常数u，若对于任意ε<0，有则称X1X2,…，Xn…依概率收敛于μ，记为定理1设随机变量X的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2则对于任意给定的ε>o，有称上式为切比雪夫(Chebvshev)不等式.下一页返回5.1大数定律证明只对连续型随机变量进行证明.设连续型随机变量X及其密度函数f(x).由|X-μ|≥ε。得证毕.切比雪夫不等式还可以写成上一页下一页返回5.1大数定律在X分布未知的条件下，由切比雪夫不等式可以求出事件{|X-μ|≥e}发生概率的上界.但是这个上界可能与概率的真值相差较大，因为这个不定式适用于所有分布.二、大数定律定理2(弱大数定律或辛钦大数定律)设独立同分布的随机变量序列X1X2,…，X,…具有相同的期望E(Xi)=μ(i=1,2,…)，作前n个随机变量的算术平均值为则对任意的ε>o，有证明我们只在随机变量序列的方差存在且相等的条件下给出证明，设D(Xi)=σ2.上一页下一页返回5.1大数定律因为{Xn}相互独立由切比雪夫不等式得当n→∞时证毕。定理2还可以叙述为，在定理条件下，Yn概率收敛与μ，即定理说明，对于独立同分布且具有相同数学期望的随机变量序列,当n很大时，它们算术平均值很可能接近于它们的数学期望.推论(伯努利大数定律)设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中事件A发生的概率，即nA~(B(n,p).则对任意的ε>0，有上一页下一页返回5.1大数定律证明由nA~B(n，P)得其中X，相互独立且服从0——1分布，且代入定理2即可.推论表明，当n充分大时，事件A发生的频率收敛于事件发生的概率p，它从理论上证明了频率的稳定性.因此在实际应用中，当试验次数足够多时，可用频率代替概率.上一页返回5.2中心极限定理定理1(独立同分布的中心极限定理或林德伯格勒维定理)设独立同分布的随机变量序列X1X2,…Xn,…具有相同的数学期望和方差

则随机变量的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布的分布函数Φ(x)，即对任意实数x，有下一页返回5.2中心极限定理简单地说，在定理条件下，当n充分大时，Yn近似地服从标准正态分布,记，则根据定理1，有且可得上一页下一页返回5.2中心极限定理定理2(二项分布中心极限定理或棣莫弗拉普拉斯定理)设nn是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中A发生的概率nA~y,(n,p)，则随机变量的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布的分布函数Φ(x).即对任意实数x，有二项分布满足定理1的所有条件，代入Y，即可.上一页下一页返回5.2中心极限定理

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