湖北孝感市楚天协作体2026届高三下学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北孝感市楚天协作体2026届高三下学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以．故选：C．2.已知为虚数单位，则的虚部为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】，虚部为－1故选：A.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，即，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以.故选：B.4.若平面向量两两的夹角相等，且，则（）A.3 B.4 C.3或0 D.4或1【答案】C【解析】当的夹角均为时，则，；当的夹角均为时，所以，综上或0；故选：C.5.若函数是奇函数，则的值为（）A.2 B. C. D.1【答案】D【解析】是奇函数，为偶函数，为奇函数，.故选：D.6.已知圆与直线相交于两点，当最小时，的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，得.，解得.所以直线过定点.由，得.所以圆心的坐标为，圆的半径为.过圆心作交直线于点，因为，所以.所以当最小时，也最小.，，且在上单调递减，所以当最小时，最大.显然，当，即重合时，取得最大值.此时，直线的斜率为，所以直线的斜率为，解得.故选：A.7.已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由为等腰直角三角形（，），得，由为等腰三角形（，），用余弦定理：验证ABBD：，故，又，，得平面；建立空间直角坐标系，，（在轴，在轴），点：由几何关系，可以得，过点作轴的垂线，依据勾股定理自然可得；设外接球心为，则，由：，由：，由：，化简得；因此，球心，半径：，.故选：B.8.若，则下列不等关系一定不成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，显然不成立，当时，由，令，设，在同一直角坐标系内画出三个函数的图象如下图所示：由数形结合思想可知：只有选项C不可能，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】A项：当时，命题不成立，所以A错误；B项：为上的增函数，且，所以B正确；C项：时，命题不成立，例如，，所以C错误；D项：，若，则，所以，即，所以D正确.故选：BD.10.下列说法中正确的有（）A.一组数据48，49，53，54，55，55，55，57的下四分位数为51B.在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系C.经验回归方程为时的观测值为34，则残差为0.009D.将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差【答案】ABC【解析】对于A，，下四分位数为：，故A正确；对于B，相关系数，表示变量没有线性相关关系，故B正确；对于C，，残差，故C正确；对于D，不妨设两层数据分别为，，，因为，所以总体平均数，则，，所以总体方差为，则，只有，或时才有，否则，故D错误.故选：ABC.11.已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（）A.的横坐标为B.直线与双曲线相切C.的最大值是D.若轴，则【答案】ABD【解析】如图所示，内切圆与三边的切点分别为，延长交于，连接．对于A选项：由题意可知、、，，，可知，，所以内心的横坐标为，故A正确；对于B选项：与的外角平分线相互垂直，由双曲线的光学性质可知直线是双曲线在点处的切线，故B正确；对于C：设，则有，其中为双曲线的离心率，设内切圆的半径为，则有，化简可得，两边同时平方，代入，化简可得，所以，故C错误；对于D选项：轴，由重心的性质可知，由题意及角平分线定理可知，则，在中，由余弦定理可知，代入数据可得，因为，所以，所以，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____．【答案】【解析】，，由题意可得，解得.故答案为：.13.已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，满足，则椭圆的离心率_____．【答案】【解析】因为，所以可设过点的直线与椭圆在第一象限的交点为，如图所示：设，则，，，由题意可得，，在分别由余弦定理解得：，，即，，解得，，即.故答案为：.14.已知，则_____；_____．【答案】1；【解析】令，易知．令，则，代入化简可得．故答案为：1；．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知分别为的内角所对的边，且．（1）求；（2）已知是边的中点，求的最大值．解：（1）根据正弦定理有．因为，所以，，则有，．（2）由（1）及余弦定理可知，当且仅当时，“”成立．是的中点，，两边平方得，即，由（1）知，代入得，，，所以的最大值为．16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点．（1）求证：平面；（2）试问在线段上是否存在一点，使得平面与底面所成夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由．（1）证明：由题意可知，侧面底面，侧面底面平面，平面，又平面，平面，平面．（2）解：如图，分别取、的中点、，连接、、，已知两两垂直，则以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系由题意可知，，设，则，又所以，设平面的法向量为，则，代入数值可得，不妨令，则，，故，由题意可知，即为平面的法向量，则有，所以，等号两边平方，化简后可得，解得或（舍去），所以.17.2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立．（1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；（2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；（3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．解：（1）记3人中通过第一轮的人数为，由题意可知，记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件，则.（2）记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为，则由题意可知，则，所以.（3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为，则，，，由相互独立可知，，，所以的分布列是0123则的数学期望是．18.已知函数为无理数且.（1）求在区间的最值；（2）若对恒成立，求的取值范围；（3）对于，证明：．（1）解：，可知，令，则，易得当时，，当时，，即在单调递减，在上单调递增，，则在单调递增，所以．（2）解：构造函数，，易知，若，则使得在上单调递减，，与题意矛盾，则，此时，令，只需证在恒成立即可．，令，则，恒成立，即在单调递增，在单调递增，则恒成立，所以的取值范围是.（3）证明：由（2）可知在恒成立，则有在恒成立，令，则有恒成立，所以，又，则.19.已知点是抛物线的焦点，是抛物线上的一点且有．（1）求抛物线的方程；（2）已知点，连接、并延长交抛物线于另外一点．（i）若抛物线上有且仅有3个点使得的面积均为定值，求的值；（ii）已知点、是抛物线上异于、的两点，且是的角平分线．请问直线是否过定点，若过定点，求出点的坐标，若不过定点，请说明理由．解：（1）由题意可知，则点的坐标为，代入抛物线方程解得或（舍去），所以抛物线的方程为．（2）（i）由题意可知直线的方程为，直线与抛物线联立可得，解得，所以，所以．如图所示，由图象可知，对任意面积，抛物线位于直线右上方的部分均存在2点使得的面积均为定值，则抛物线在直线的左下方部分存在唯一的一点满足条件，此时到直线的距离