浙江省嘉兴市清华附中嘉兴实验高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（A卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省嘉兴市清华附中嘉兴实验高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试试题（A卷）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本题共8小题，每小题5分共40分．）1.已知，，则（

）A. B. C. D.【答案】B2.在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（）A. B. C.0 D.1【答案】D3.已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C4.若随机变量服从两点分布，且，则（）A.0.24 B.2.4 C.0.28 D.2.8【答案】A5.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C6.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】D7.若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D8.若函数，且，则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.若随机变量且，则下列选项正确的有（）A.B.若，则C.D.的最小值为50【答案】CD10.已知，则下列描述正确的是（

）A.B.的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为C.被7整除所得的余数是4D.【答案】ABC11.已知定义域为函数和，且是奇函数，对任意满足且，下列说法正确的（）A.B.或1C.在上单调递增，在单调递减D.时，【答案】AD第Ⅱ卷（选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（用数字作答）_____.【答案】14413.若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________．【答案】14.已知定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为______.【答案】四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值．解：（1），，所以，又，所以函数在处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，，令得，则的变化入下表：单调递增极大值单调递减极小值单调递增故函数的单增区间为，，单减区间为；函数的极大值为，极小值为.16.为研究某款人工智能设备生产量和需求量的变化规律，收集得到了2016-2025年人工智能设备的生产量和需求量数据，如下表所示．年份2016201720182019202020212022202320242025生产量（万台）3.37.213.114.818.723.736.644.343.042.0需求量（万台）3.7713.814.414.024.627.129.744.640.1定义产需率为“产需率=（需求量/生产量）”．（1）从2016-2025年中随机取1年，求这款设备的产需率大于100%的概率；（2）从2018-2023年这6年中随机取2年，假设2年中这款设备的产需率大于100%有年，求的分布列、数学期望和方差．解：（1）由题意可知，产需率大于100%即需求量大于生产量.在2016-2025年这10年中，需求量大于生产量的年份有2016年，2018年，2021年，2024年，共4年．设从2016-2025年中随机取1年，求这款设备的产需率大于100%为事件，则.从2016-2025年中随机取1年，求这款设备的产需率大于100%的概率为.（2）在2018-2023年这6年中，这款设备的产需率大于100%的年份为2018年，2021年，共2年．从这6年中随机取2年，的可能取值为0，1，2．PX=0=C20所以X的分布列为：012P数学期望.∴EX∴DX17.已知函数在处有极大值．（1）求实数的值；（2）证明：．（1）解：求导得，又在处有极大值，，解得或，当时，，时，；时，，故为极大值点，符合题意，当时，，时，；时，，故为极小值点，不符合题意，综上，实数的值为.（2）证明：由（1）得，要证，即证对成立，令则，令，解得或，令，解得或，所以函数在和上单调递增，在和上单调递减，所以函数的极大值为和,且，,即对所有成立，成立.18.在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的.（1）求6次姿态修正后达到个单位的概率；（2）以下三种情况将导致校准流程终止：情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）；情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）；情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求．解：（1）若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正，且每次正方向和负方向修正的概率均为，故6次姿态修正后达到个单位的概率为.（2）（ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为，“能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种，则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择，故“完成6次修正”总的路线共有种，“校准到位”的路线有共有4种，故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为.（ⅱ）随机变量的取值为2,4,6，表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故,表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向，故,,的分布列如下：246故.19.函数.（1）当时，求函数在的单调区间；（2）若存在，使得成立，求的取值范围；（3）若函数有两个零点、，且，求的取值范围.解：（1）当时，，可得，令，可得，因为和在为单调递增函数，可得在单调递增，所以，所以在单调递增，又因为，所以当时，；时，；所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）由不等式，可得，即，因为存在，使得成立，即在上有解，令，则有解，构造函数，则，当时，；当时，，所以在递减，在递增，所以，即，又因为函数在单