浙江省金华十校2026届高三下学期4月模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省金华十校2026届高三下学期4月模拟考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.2.复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】复数，所以复数在复平面内对应的点的坐标为又，故点在第二象限，所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.3.一组样本数据依次为，，0，2，4，5．关于这组数据的数字特征，下列选项正确的是（）A.极差为 B.平均数小于0C.方差小于1 D.中位数为1【答案】D【解析】已知样本升序排列为：，，0，2，4，5，极差为：，故A错误；平均数为：，故B错误；方差为：，故C错误；因这组数据有6个，故其中位数为中间两个数的平均值，即中位数为，故D正确．4.如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球；B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体；C选项中的图形旋转得到的是内胎；D选项中的图形旋转得到的是球.5.某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的5倍，则该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过（）（参考数据：）A.10年 B.11年 C.23年 D.24年【答案】A【解析】设初始种群数量为，经过年后，种群数量变为.根据题意，种群数量变为原来的1000万倍，即.两边同时除以，得.两边同时取常用对数，有：.由于，且，代入得：，解得.因此该物种种群数量变成原来的1000万倍大约需要经过10年.6.在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，因为，且的面积为，可得，即，所以，由正弦定理得，所以，代入，可得，所以.7.抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设直线的方程为，，由抛物线可得准线方程为，又，，所以，，所以，又因为，，所以，所以，所以，所以.8.若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（）A.（不超过x的最大整数） B.C. D.【答案】D【解析】对于选项A，若，则对于任意的，都有，由已知，故函数的图象夹在平行直线和之间，故函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项B，若，​因为为增函数，故函数为增函数，且函数的值域为，所以函数为减函数，函数的值域为，因此在上单调递增，且函数的值域为，故函数的图象夹在平行直线和之间，所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项C，若，则恒成立，当且仅当时取等号，所以函数在上单调递增，由得，故函数的图象夹在平行直线和之间，所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项D，若则，当时，，，故，当时，，，故，所以对于任意的，，故函数在上单调递增，假设存在两条平行直线，​和，则对任意需要，但当时，三次项增长速度远快于一次项，，矛盾，故的图象无法被两条平行直线夹住，不满足条件，因此函数不满足“阶梯形函数”的定义，不是阶梯形函数.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】已知等差数列的公差为d，则，解得，，解得，故B错误；，故A正确；，故，故C错误；，故D正确．10.在棱长为3的正方体中，点E在棱上且，点F在正方形内运动（含边界），若平面，则（）A.点F的运动轨迹为线段B.的最小值为C.存在点F，使得D.过F，D，B，C四点的球的表面积最小值为【答案】ABD【解析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为正方体的棱长为3，可得，因为点在棱上且，可得，对于A，由向量，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为点在平面，设，可得又因为平面，可得，整理得，因为点在正方形内，可得，当时，，对应的点在棱上；当时，，对应的点在棱上，所以点的运动轨迹为线段，所以A正确；对于B，由点，点且，可得，其中，所以当时，取得最小值，且，所以，所以B正确；对于C，由，点且，可得，若，可得，解得，当时，可得，此时点，因为点在正方形内，即，此时，所以点不在正方形的区域内，所以不存在满足条件的点，所以C不正确；对于D，由点，可得都在的平面上，设球心，半径为，因为三点确定的圆是正方形的外接圆，其圆心为的中点，半径为，则球心必在过且垂直于底面的直线上，所以，设，球的半径为，因为点且，即在球面上，所以，可得，整理得，即，可得，又由球的表面积为，要使得表面积最小，只需最小，令，可得的图象开口向上，且对称轴为，所以当时，取得最小值，最小值为，所以，所以，所以D正确.11.第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由题意知，，，，因为，所以，故，对于A，当时，则，此时，，所以当四点共线或四点共线时成立（不重合），故A正确；对于B，因，故，即，故B错误；对于C，当时，将代入得，解得满足，故C正确；对于D，当时，，代入得，即满足，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的离心率为___________.【答案】【解析】由题可知：，由.所以离心率.故答案为：.13.数列中，，，记数列的前n项和为，则______．【答案】【解析】，.，又，14.已知实数a，b满足，若对任意实数c，d，记的最小值为M，则M的最大值为______．【答案】【解析】解：，或，即或，故点在如图直线族中，表示点与点距离的平方，又相邻两直线的距离，所以的最小值，故M的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数，．（1）求；（2）中，若构成等差数列，且，求．解：（1），或，又，（2）因为在中，构成等差数列，则，结合，可得，，，，，．16.三棱锥中，，，，平面，，．（1）证明：直线平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值．（1）证明：平面，平面，，又，，平面，平面（2）解：平面，平面，，，，平面，平面，平面平面，过点作，为垂足，平面平面，平面，由题意可得：，如图，以A点为原点，以为x轴，为y轴，过A点且与同向的方向为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，由，可得，，另外，设平面的一个法向量为，直线和平面所成角为，结合，，则有，，取，可得，，综上，直线和平面所成角的正弦值为．17.设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，．点P是椭圆C上的一点，轴，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点且斜率不为零的动直线l与椭圆C相交于两个不同的点T，S，过线段的中点Q作直线l的垂线与x，y轴分别交于M，N，求的取值范围．解：（1）由题意可得，，将代入中，可得,依题意，点在第一象限，故得，由，，得，解得，，所以，所以椭圆标准方程为．（2）设直线l的方程为，点，．联立，得，由解得且，，所以，从而，解得，，所以，令，则，综上，的取值范围为．18.已知函数，．（1）求函数的极小值；（2）讨论函数的单调性；（3）若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围．解：（1）因为的定义域为，且，当时，；当时，；可知在上单调递增，在单调递减，所以的极小值为．（2）因为的定义域为，且，令，解得或，当，即时，则，可知在上单调递减；当，即时，令，解得；令，解得或；可知在上单调递增，在，上单调递减；当，即时，令，解得；令，解得或；可知在上单调递增，在，上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在，上单调递减；当时，在上单调递增，在，上单调递减.（3）因为，即，可得，令，，①当时，若，则，不合题意；若，方程满足，且，可知方程有一正一负两个实根，取其正根为，则，不合题意；综上所述：当时，不存在实数a，使得恒成立；②当时，不妨取，则，记，则，令，则，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，则，即，可知在单调递减，则，即对，都存在，使得在恒成立，综上所述：实数b的取值范围为．19.某信息源仅发射信息A，B，C，且第n次发射的概率分别为，，，首次发射概率由二项分布生成，，，，第一次信息发射后遵循下表规则：第n次发射的信息第次发射信息的概率ABCA的概率B的概率C的概率当发射信息的次数足够多后，若该信息源发射信息A，B，