黑龙江哈尔滨市2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江哈尔滨市2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，2.哈尔滨市某月连续10天的AQI（空气质量指数）分别为29，32，34，36，39，50，47，66，48，78，则这组数据的第75百分位数为（）A.33 B.34C.49 D.503.已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（）A.1 B.C.2 D.34.已知复数满足，则的取值范围为（）A. B.C. D.5.已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（）A.2 B.1C. D.6.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（）A.2寸 B.3寸C.4寸 D.5寸7.已知半径为2的圆O，如图所示，AB为圆的一条直径，C为线段AB上异于端点A、B的任意一点，过C作与线段AB垂直的弦交圆于D、E两点，连接AD和BD，则的最小值为（）A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中，已知点、点，动点B满足，点C满足，记的面积为S，则S的最大值为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下运算正确的是（）A. B.C. D.10.已知正项等差数列的前项和为，，公差为，若，则（）A.或 B.C. D.11.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点为A，下顶点为B，点为曲线C上第一象限内一动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则下列结论正确的是（）A.坐标原点O到直线AB的距离为B.若，则的取值范围为C.的面积最大值为D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的各项都是正数，，则______．13.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则______．14.设函数，如果存在函数（、为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性上界函数”，若函数是函数的一个“线性上界函数”，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.作为哈尔滨的地标性建筑，圣·索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史气息，成为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣·索菲亚教堂地面上观测点C处发现两栋建筑物A、B，测得A在C的北偏东的方向上，B在C的北偏东的方向上，从C处向正东方向行走后到达D处，测得A在D的北偏西的方向上，B在D的北偏东的方向上．（1）求观测点C与建筑物A之间的距离；（2）为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣·索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物A与B三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面积．

16.已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和．（1）求证：；（2）当时，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由．17.已知函数．（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）若，都有恒成立，求实数a的取值范围．

18.2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图：规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示：若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为；若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为．（1）估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）；（2）该企业将AI智能质量检测投入使用．①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率；②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列；（3）企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望．

19.双曲线绕虚轴旋转一圈形成的空间曲面叫做单叶双曲面．由于双曲面可以由一条斜线通过连续旋转构成，容易建造，因此发电站的冷却塔、广州塔等一些高耸建筑通常采用单叶双曲面型结构，如图所示．空间直角坐标系中，，动点在直线MN上，则．令参数，，则u，v所在的平面直角坐标系中动点在某双曲线